Metode for a avgjre gyldighet av formler. En av verdens raskeste teorembevisere, Vampire, bruker resolusjon.

Transkript

1 Forelesning 15: Avanserte emner Roger Antonsen mai Resolusjon 1.1 Overblikk John Alan Robinson, Metode for a avgjre gyldighet av formler. Populr, eektiv og enkel a implementere. En av verdens raskeste teorembevisere, Vampire, bruker resolusjon. Vi begynner med a se pa resolusjon for utsagnslogikk. 1.2 Resolusjon: regel og utledninger I resolusjon har man kun en regel: resolusjonsregelen. { Den forteller hvordan utleder nye klausuler fra de man har. Utledningene i resolusjon har kun en gren. Denisjon 1.1. Resolusjonsregelen er C [ fag D [ f:ag C [ D hvor C og D er klausuler og A en utsagnsvariabel. En resolusjonsutledning fra en mengde klausuler M er en endelig sekvens av klausuler hvor hvert element kommer fra M eller fra to foregaende elementer ved anvendelse av resolusjonsregelen. Eksempel 1 La M besta av klausulene f:p g, fp; :Qg og fqg. Vi kan na anvende resolusjonsregelen og utlede fg. 1

2 f:p g fp ; :Qg fqg 1. f:p g f:qg fg 2. fp; :Qg 3. fqg 4. f:qg (fra 1 og 2) 5. fg (fra 3 og 4) Dette brukes for a vise at (P ^ (P! Q))! Q er gyldig. Denisjon 1.2. Et resolusjonsbevis for en formel F er en resolusjonsutledning fra matrisen som representerer F hvor den siste klausulen er tom. Teorem 1.1. En formel F er gyldig hvis og bare hvis det ns et resolusjonsbevis for F. Sunnhet. Anta at matrisen M representerer F. { Anta at en resolusjonsutledning for M ender med fg. { Resolusjonsregelen bevarer falsiserbarhet (av mengden av klausuler). { Den tomme klausulen er ikke falsiserbar. { Matrisen M og formelen F er ikke falsiserbar. { F er gyldig. Kompletthet. { Kan gjres direkte ved et modelleksistensargument. { Kan gjres indirekte ved oversettelse til LK. Eksempel 2 Avgjr om (P! Q) ^ (:P! R) ^ (Q _ R! S)! S er gyldig. Overfrer til DNF: (P ^ :Q) _ (:P ^ :R) _ (Q ^ :S) _ (R ^ :S) _ S Mengden av klausuler: fp; :Qg, f:p; :Rg, fq; :Sg, fr; :Sg, fsg. fp ; :Qg f:p ; :Rg fq; :Sg fr; :Sg fsg f:q; :Rg f:r; :Sg f:sg Vi konkluderer med at formelen er gyldig! fg 2

3 Eksempel 3 Merk: dette er ikke en resolusjonsutledning: f:p; :Qg fg fp; Qg Korrekt anvendelse av resolusjonsregelen gir: f:p; :Qg f:q; Qg fp; Qg (:P ^ :Q) _ (P ^ Q) er ikke gyldig. La f.eks. v (P ) = 1 og v (Q) = Resolusjon for frste-ordens logikk Denisjon 1.3. Resolusjonsreglene for frsteordens logikk er C [ fag D [ f:bg C [ fa; Bg (C [ D) (C [ fag) hvor C og D er klausuler, A og B er atomre formler og er en mest generell unikator for A og B. Krever skolemisering og overfring til klausalform. Unngar problemer som inkrementell lukking lser. Mengden av genererte klausuler eksploderer. { I teorembevisere er malet a ha eektiv subsumering, som lses ved hashing-teknikker (termindeksering). Konjunktiv normalform og oppfyllbarhet Det er vanlig a presentere resolusjon pa den duale maten: { Med utgangspunkt i konjunktiv normalform. { En klausul tolkes disjunktivt. (Klausul = disjunkson av literaler.) { En matrise tolkes konjunktivt. (Matrise = konjunksjon av klausuler.) { Resolusjonsregelen bevarer oppfyllbarhet i stedet for falsiserbarhet. { Den tomme klausulen er ikke oppfyllbar. { For a avgjre gyldigheten av en formel ', overfrer man :' til konjunktiv normalform og sjekker for oppfyllbarhet. { Resten er likt. 3

4 2 Dualiteter Oppfyllbarhet Sker etter bevis for ` En motmodell oppfyller Tablaer (vanligvis ogsa resolusjon) Konjunktiv normalform / negativ representasjon Falsiserbarhet Sker etter bevis for ` Et motmodell falsiserer Ensidig sekventkalkyle, matriser, koblingskalkyle Disjunktiv normalform / positiv representasjon Dualitet For a nne ut om ' er gyldig, sjekk om :' er oppfyllbar. Sekventkalkylen ivaretar begge aspektene! 3 Modallogikk pa en under en halvtime Modale sprak er enkle, men utrykksfulle, sprak for a snakke om relasjonelle strukturer. { Enkel syntaks og avgjrbarhet. { Uttrykkskraftig nok til a fange inn aspekter ved andreordens logikk. Modale sprak gir et internt, lokalt perspektiv pa relasjonelle strukturer. { \Vi ser grafer innenfra." Anbefaler Modal Logic av Blackburn, de Rijke og Venema (2001). Vi utvider utsagnslogikk med de modale operatorene og. Alle utsagnslogiske formler er formler. Hvis ' er en formel, sa er ' og ' formler. og er duale: ' := : :'. Modallogiske formler tolkes i Kripke-modeller, men vi stiller ingen krav til den binre relasjonen (partiell ordning, monotoni) slik vi gjorde for intuisjonistisk logikk. En enkel graf: w x y z punkt x y z w sanne utsagnsvariable P Q, R S R 4

5 En mengde punkter: fx; y ; z; wg. En binr relasjon R: xrw, xry, y Rz og w Ry. { x kan se w og y, men kan ikke se z. For hvert punkt en mengde sanne utsagnsvariable. { x P betyr at P er sann i x ' uttrykker at vi kan se et punkt hvor ' er sann. { x ' betyr at det ns et punkt x 0 slik at xrx 0 og x 0 '. ' uttrykker at ' er sann i alle punkter vi kan se. { x ' betyr at for alle punkter x 0 slik at xrx 0, sa x 0 '. w Q p siden w Ry og y Q. x Q p siden xrw og w Q. x Q Nei, siden w 6 Q. x p R siden bade w R og y R. p x S x S p siden xry og y S. x (Q! S) p siden y S. Lesninger av og 1. Ndvendighet og mulighet / metafysisk ' kan leses som `det er mulig at ''. ' blir `det er ikke mulig at ikke '' eller `det er ndvendig at ''. Vi br ha '! ': `det som er ndvendig er mulig'. Vi br ogsa ha '! ': `det er tilfellet, er mulig'. Br vi ha '! '? Hvis vi har '! ', sa kollapser modalitetene. 2. Epistemisk logikk og kunnskap ', eller K', kan leses som `vi vet at ''. Vi br ha K'! ': `hvis vi vet at ', sa ma ' vre sann' Vi br ikke ha '! K'. Br vi ha K'! KK'? (positiv introspeksjon) 3. Bevisbarhetslogikk Vi kan lese ' som `' er bevisbar'. Hvordan aksiomatisere bevisbarhet? Lob-formelen ( '! ')! ' er sentral. 5

6 4 Kompakthet Alt vi har gjort til na har vrt for endelige sekventer, dvs. objekter pa formen ` hvor og er endelige multimengder av formler. Na tillater vi at og er tellbart uendelige multimengder av formler. Alle denisjoner og resultater overfres og holder fremdeles. Et bevis er fortsatt et endelig tre hvor alle grener er lukket. Sunnhet og kompletthet er likt: ` er gyldig hvis og bare hvis ` er bevisbar. Merk: hvis og er uendelige, sa vil et bevis for sekventen ` ha endelig mange grener. Da ns det en endelig delmengde 0 av og en endelig delmengde 0 av slik at sekventen 0 ` 0 er bevisbar. Teorem 4.1 (Kompakthet). La vre en mengde frsteordens formler. er oppfyllbar, enhver endelig delmengde 0 av er oppfyllbar. Bevis. ) Trivielt ( Anta at ikke er oppfyllbar. Da er sekventen ` gyldig. Ved kompletthet er ` bevisbar. Da ns det en endelig delmengde 0 av slik at 0 ` er bevisbar. Ved sunnhet kan ikke 0 vre oppfyllbar. Da ns en endelig delmengde av som ikke er oppfyllbar. 4.1 En anvendelse av kompakthet Lemma 4.1. Hvis en mengde har vilkarlig store endelige modeller, sa har en uendelig modell. Bevis. La ' n vre en formel som uttrykker at `det ns minst n elementer'. (Vi kan anta at vi har likhet i spraket.) La = [ f' n j 1 ng. Siden har vilkarlig store endelige modeller, ma hver endelig delmengde av vre oppfyllbar. Ved kompakthet ma vre oppfyllbar. Modellen som oppfyller ma vre uendelig, siden den oppfyller ' n for alle n. Teorem 4.2. Det ns ingen mengde formler som er slik at er sann i alle og bare de endelige modellene. Med andre ord: endelighet er ikke aksiomatiserbart i frsteordens logikk. Bevis. Flger umiddelbart fra forrige Lemma. Siden har vilkarlig store endelige modeller, ma ha en uendelig modell. 5 Teorier, aksiomer og ufullstendighet 5.1 Teorier og aksiomer Denisjon 5.1 (Teori). En teori er en mengde formler T som er lukket under logisk konsekvens: hvis T j= ', sa er ' 2 T. Ved sunnhet og kompletthet sa er dette det samme som a si: hvis sekventen T ` ' er bevisbar, sa ' 2 T. Denisjon 5.2 (Aksiom). En mengde slik at T = f' j j= 'g kalles en aksiommengde for teorien T. Elementene i kalles aksiomer. 6

7 Fullstendighet og konsistens Denisjon 5.3 (Fullstendig teori). En teori T er fullstendig hvis for enhver formel ' i spraket, sa er enten ' eller :' med i T ; ellers kalles teorien ufullstendig. Denisjon 5.4 (Konsistent teori). En teori T er inkonsistent hvis bade ' og :' er med i T, for en formel '; ellers er teorien konsistent. Vi kan lage fullstendige teorier for mange omrader av matematikken. { Teorien for grafer. { Teorien for boolske algebraer. { Teorien for algebraisk lukkede kropper. { Teorien for tett ordnede mengder uten endepunkter. { Presburgeraritmetikk (bare pluss, ikke gange). Mal: a lage en fullstendig teori for all matematikk! Peanoaritmetikk Aksiomer for suksessor { 8x(Sx 6= 0) { 8x8y (Sx = Sy! x = y ) { (8x(x 6= 0! 9y (x = Sy ))) Aksiomer for addisjon { 8x(x + 0 = x) { 8x8y (x + Sy = S(x + y )) Aksiomer for multiplikasjon { 8x(x 0 = 0) { 8x8y (x Sy = (x y ) + x) Induksjonsaksiomet { '(0) ^ 8x('(x)! '(Sx))! 8x'(x), for hver formel '(x) med hyst x fri. Peanoaritmetikk er teorien vi far fra denne mengden av aksiomer. Uten induksjonsaksiomet far vi Robinsonaritmetikk. 7

8 5.2 Ufullstendighet Kurt Godel beviste i 1931 sitt bermte ufullstendighetsteorem. Teorem 5.1 (Godels frste ufullstendighetsteorem). Enhver konsistent, aksiomatisk teori som er tilstrekkelig sterk er ufullstendig. Tilstrekkelig sterk betyr at vi kan bevise grunnleggende pastander om pluss og gange. Robinsonaritmetikk er tilstrekkelig. Hvis teorien er sterk nok, sa ns det alltid en pastand ikke kan bevises i teorien. I alle tilstrekkelig sterke tallteorier vil det nnes pastander som er sanne (i standardmodellen) men som ikke er bevisbare. Avslutning Dette er siste forelesning... Resten av tiden setter vi av til diskusjon og sprsmal. Takk for flget! 8