b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

Transkript

1 Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer og vi må avgi et svar, kan vi svare på 4 forskjellige måter. Hvis det er to spørsmål der begge har 4 svaralternativer, kan vi for hvert av de 4 alternativene på første spørsmål velge fritt blant de 4 alternativene på andre spørsmål. Dette gir 4 6 muligheter. a) Når det er 0 spørsmål blir det dermed mulige måter å svare på. b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Oppgave 4 På nytt er det produktreglen som gjelder. Det er farger. For hver farge er det 3 størrelser og hvert valg av farge og størrelse finnes i to modeller: gutt/jente. Dette gir 3 kombinasjoner. Oppgave Three-letter initials betyr initialer på 3 bokstaver for eksempel ABC, ABA, BAB, osv. Med andre ord er dette utvalg med tilbakelegging. Hvis vi bruker det engelske alfabetet blir det 6 mulige bokstaver på. plass, 6 mulige på. plass og 6 mulige på 3. plass. Det blir mulige kombinasjoner. Oppgave 8 Nå blir det utvalg uten tilbakelegging. Dvs. 6 mulige bokstaver på. plass, 5 mulige på. plass og 4 mulige på 3. plass. Det blir 6*5* mulige kombinasjoner. Oppgave 9 Hvis det skal være A på. plass, er det 6 mulige bokstaver på. plass og 6 mulige på 3. plass. Dermed 6 66.

2 Oppgave 0 I en bitstreng på lengde 8 kan det være 0 eller på hver plass, dvs. to muligheter på hver plass. Til sammen 8 56 muligheter. Oppgave Det må være både på første og siste plass, men på de 8 andre plassene er det 8 8 muligheter på hver plass. Dermed 56 muligheter. Oppgave k Generelt har vi at antall bitstrenger av lengde k er. Antall bitstrenger av lengde eller mindre må derfor bli. Dette er en geometrisk 6 k rekke og summen blir. k0 Teori til oppgavene 9, 0 og La n og k være positive heltall. Hvor mange av tallene,,..., n er delelige med k? Svar: n div k. La n, k og k være positive heltall. Hvor mange av tallene,,..., n er delelige med både k og k? Svar: n div k der k er minste felles multiplum for k og k. Obs: hvis k og k er innbyrdes primiske, så er minste felles multiplum for k og k lik k k. Oppgave 9 a) Flg. tall mellom 50 og 00 er delelige med : 56, 63, 0,, 84, 9, 98. Dette antallet er også gitt ved ( 99 div ) (50 div ) 4. b) Flg. 5 tall mellom 50 og 00 er delelige med : 55, 66,, 88, 99. Dette antallet er også gitt ved ( 99 div ) (50 div ) c) Tallene og er innbyrdes primiske. Et tall er derfor delelig med både og hvis og bare hvis det er delelig med. Derfor er kun av tallene mellom 50 og 00 delelig med. Antallet er også gitt ved ( 99 div ) (50 div ) 0. Oppgave 0 La A og A være mengden av tallene fra og med til og med 999 som er delelige med henholdsvis og. A betyr antallet tall i A og A antallet i A. 999 a) A 999 div 4.

3 999 b) Vi har A A 999 div. Dermed A A c) Fra b) får vi A A. 999 d) Vi har A 999 div 90 og dermed A A A A A A e) A A A A A A 30 (90 ) f) 999 A A g) Vi regner med at ingen tall har ledende 0-er. Her ser vi først på de tallene som har kun ett siffer, så de som har to siffer og til slutt de som har tre siffer. Alle tall med kun ett siffer har forskjellige siffer og det er 9 slike tall. Av de 90 tallene med to siffer er det kun,,..., 99 som har like siffer. Dermed er det av dem som har forskjellige siffer. Vi kan konstruere et tall med tre forskjellige siffer ved å velge et vilkårlig et fra til 9 først (vi kan ikke ha 0 først). Som neste siffer har vi 0 muligheter, men vi må unnta det sifferet som står først. Dermed 9 muligheter som andre siffer. Tilsvarende er det 8 muligheter for det tredje sifferet. Til sammen tall med tre siffer der alle er forskjellige. Dermed vil av de positive tallene mindre enn 000 ikke ha like sifre (alle sifrene forskjellige). h) Blant tallene med kun ett siffer er det 4 partall. Et partall med to siffer og der sifrene er forskjellige, må ende på enten 0,, 4, 6 eller 8. Hvis det ender på 0, er det 9 muligheter som på første siffer. Hvis det ender på, 4, 6 eller 8 er det kun 8 muligheter på første siffer siden 0 ikke kan være første siffer. Til sammen partall med to siffer der sifrene er forskjellige. Et partall med tre siffer og der sifrene er forskjellige, må ende på enten 0,, 4, 6 eller 8. Hvis det ender på 0, er det 9 muligheter på første siffer og deretter 8 muligheter på andre siffer. Til sammen 8 9. Hvis tallet ender på, 4, 6 eller 8, er det kun 8 muligheter på første siffer siden vi ikke kan ha 0 der. Deretter er det 8 muligheter på andre siffer. Til sammen Sammenlagt for alle tall med tre siffer blir det Sammenlagt for tall med et, to og tre siffer blir det Oppgave a) ( 999div ) (99 div ) b) Fra og med 00 til og med 999 er det 900 tall og halvparten av dem er oddetall, dvs. 450 oddetall. c) Det er tallene,,..., 999. Til sammen 9 stykker. 3

4 d) 900 ((999div 4) (99 div 4)) e) Delelig med 4: Delelig med 3: ( 999div 3) (99 div 3) Delelig med : ( 999div ) (99 div ) Delelig med 3 eller 4: f) g) (dvs. delelig med 3, men ikke med ). h) Delelig med 3 og 4 er det samme som delelig med. Svar (se punkt e) ): 5 Oppgave 9 License plate betyr registreringsnummer for eksempel for bil. Her må en lese teksten nøye. Det står enten to eller tre (engelske) bokstaver fulgt av enten to eller tre siffer. Det betyr nr. av typen AB, AB3, ABC eller ABC3. To bokstaver og to siffer: To bokstaver og tre siffer: Tre bokstaver og to siffer: Tre bokstaver og tre siffer: Sammenlagt blir dette Oppgave 3 På engelsk er det 6 bokstaver. Det er litt uenighet om hvor mange av dem som er vokaler. Bokstavene a, e, i, o og u er vokaler, og noen sier at også y er vokal. I læreboken i diskret matematikk regnes det med at det er fem vokaler. a) Det kan være forskjellige konsonanter på hver av de 8 plassene i strengen, dvs forskjellige strenger. b) Her kan en konsonant forekomme bare én gang i strengen. Det blir da mulige konsonanter på. plass, 0 på.plass, osv. Totalt c) Det er 5 mulige vokaler på. plass, så 6 mulige bokstaver på. plass, 6 mulige på 3. plass, osv. Totalt d) Det er 5 mulige vokaler på. plass, så 5 mulige bokstaver på. plass siden den på. plass ikke kan brukes på nytt, 4 mulige på 3. plass, 3 mulige på 4. plass osv. Totalt

5 e) Her kan vi bruke negasjonsreglen. Det motsatte av minst én vokal er ingen 8 8 vokaler. Det kan lages forskjellige strenger uten vokaler og totalt 6 strenger. Differansen mellom disse blir antallet strenger med minst én vokal. Dvs. antallet blir f) Når det skal bare være én vokal kan den plasseres på 8 forskjellige steder og vi har 5 vokaler å velge mellom. For hver slik plassering kan de andre plassene fylles med hvilken som helst av de vokalene. Dermed blir det g) Strengen skal starte med X og inneholde minst én vokal. Her kan vi bruke negasjonsreglen. Det er totalt 6 strenger som starter med en X og totalt stykker som starter med en X og som ikke inneholder noen vokaler (dvs. bare konsonanter). Negasjonsreglen gir dermed at det er strenger som starter med X og som inneholder minst én vokal. h) Samme type argumentasjon som i g) gir svaret Oppgave 4 a) Vi kan se på brud og brudgom som en enhet y. Da blir det igjen 4 personer x. vi kan plassere y på 5 forskjellige steder: først, nest først, osv. y x x x x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x y De 4 andre personene kan plasseres på 4! måter. I tillegg kan brud og brudgom bytte plass innbyrdes. Dermed blir det 5 4! 40 muligheter. b) Vi kan ha 6! 0 mulige plasseringer. Negasjonsregelen sier at når det er 40 av dem der bruden står ved siden av brudgommen, så må det bli plasseringer der brud og brudgom ikke står ved siden av hverandre. c) I halvparten av plasseringene må bruden stå til venstre for brudgommen og i den andre halvparten til høyre for brudgommen. Svaret blir derfor 0/ 360. Oppgave 4 Dette er en enkel anvendelse av prinsippet om inklusjon/eksklusjon. Hvis A og B er to mengder, så er A B A B A B. Dvs. antallet elementer i unionen av to mengder er lik summen av antallene i de to mengdene minus antallet i snittet. Gitt tallene S {,,..., 00}. La A være mengden av de n fra S slik at 4 går opp i n, og la B være mengden av de n slik at 6 går opp i n. Vi skal finne A B. Vi ser at 4 går opp i 4, 8,, 6,..., 96, 00. Til sammen 5 stykker. Tallet 6 går opp i 6, 5

6 , 8, 4,..., 96 til sammen 6 stykker. Hvilke tall er det som både 4 og 6 går opp i? Det er, 4, 36, 48, 60,, 84 og 96. Til sammen 8 stykker. Dermed A B A B A B Oppgave 53 Vi skal kombinere bokstavene a, b, c og d slik at b ikke kommer rett etter a. Da vil for eksempel acbd og bacd være lovlige, mens abcd og dcab er ulovlige. Her kan det lønne seg å se på det motsatte, dvs. hvor mange muligheter er det der b kommer rett etter a. La x bety c eller d. Da har vi disse tre mulighetene: abxx, xabx og xxab. Hver gang kan x være c eller d. Dermed 3 6 tilfeller der b kommer rett etter a. De fire bokstavene kan kombineres på 4! 4 måter. Dermed vil gi oss antallet der b ikke kommer rett etter a. Avsnitt 5. Oppgave Hvis det er 30 studenter kan det maksimalt være 9 (6 på engelsk) forskjellige forbokstaver i deres etternavn siden det ikke finnes flere enn 9 bokstaver. Oppgave 3 a) Det holder å ta ut 3 sokker. Hvis sokkene er brune eller svarte, må to av dem ha samme farge. De tre sokkene kan ikke ha forskjellige farger siden vi bare har to farger brun og svart. b) Vi må ta ut minst 4 sokker. Tar vi ut bare kan alle være brune. Tar vi ut 3 kan det være svarte og en brun. Men tar vi ut 4 må det være minst to svarte. Oppgave 4 a) Det holder å ta ut 5 kuler. Når det bare er to farger kan det være 5 av samme farge, 4 av en farge og av den andre eller 3 av en farge og av den andre. I alle tilfellene er det minst 3 av en farge. Det holder ikke å ta ut 4 siden vi da kan ha to av hver farge. b) Vi må ta ut minst 3 for å være sikre på at vi har minst 3 blå kuler. Oppgave 3 a) Gitt mengden S {,,3,4,5,6,,8} og de disjunkte delmengdene A {,8}, B {,}, C {3,6} og D {4,5}. Hvis vi velger 5 tall fra S, må minst to av dem komme fra samme delmengde siden det bare er 4 delmengder. Tallene i hver delmengde har sum lik 9. b) Velger vi kun 4 tall stemmer det ikke. F.eks. vil det ikke blant tallene,, 3 og 4 finnes to som ah sum lik 9. 6

7 Avsnitt 5.3 Oppgave Tre verdier kan permuteres på 3! 6 måter. For a, b og c blir det: a,b,c a,c,b b,a,c b,c,a c,a,b, c,b,a Oppgave Det er verdier og antall permutasjoner blir derfor! Oppgave 3 Permutasjonen skal ende med a, men de 6 andre bokstavene foran kan permuteres på 6! 0 måter. Dermed blir det 0 permutasjoner av a, b, c, d, e, f, g der a står sist. Oppgave b) Til sammen 0 3-kombinasjoner (uordnede utvalg på 3). Det er: Oppgave 5 a) P(6,3) b) P(6,5) c) P(8,) 8 d) P(8,5) e) P(8,8) 8! 4030 f) P(0,9) 0! Oppgave a) C ( 5,) 5 b) C ( 5,3) c) C ( 8,4) 0 d) C ( 8,8) e) C ( 8,0) f) C (,6) Oppgave a) Nøyaktig 4 av de 0 plassene skal inneholde -ere. Vi kan velge de 4 plassene på

8 måter. b) Da skal 0,,, 3 eller 4 av plassene inneholde -ere. Antallet muligheter blir måter. c) Minst 4 er det motsatt av maksimalt 3. Husk formelen n k0 n k n. Svaret blir dermed ( ) ( ) d) Da må det være nøyaktig 5 -ere, dvs Oppgave Her blir det samme tankegang som i oppgave. 0 a) b) c) ( ) 4096 ( 66) 40 0 Oppgave 3 La K stå for kvinne og M for mann. Vi har flg. to mulige oppstillinger: ) KMKMKM..... KM ) MKMKMK..... MK I hver av de to mulige oppstillingene kan de n kvinnene og den n mennene omstokkes uavhengig av hverandre. Til sammen blir det n! n! n! n! ( n!) muligheter. Oppgave 5 Vi skal plukke ut en mengder på 5 bokstaver fra det engelske alfabetet. Dette må vi tolke som uordnet utvalg (uten tilbakelegging). Svaret blir dermed 8

9 Oppgave En mynt som kastes 0 ganger gir oss enten mynt eller krone. a) Hvor mange utfall blir det? Det er to utfall i første kast, to nye utfall i. kast, osv. Til sammen mulige utfall b) Nøyaktig to av kastene må gi krone og det kan skje på c) Kastene må gi mynt 0,, eller 3 ganger, dvs. 0 3 måter d) Oppgave Gitt bokstavene A, B, C, D, E, F, G. a) Vi kan se på BCD som en enhet, dvs. vi har de 5 enhetene A, BCD, E, F og G og disse 5 enhetene kan settes sammen på 5! 0 måter. b) Nå ser vi på CFGA som en enhet, dvs. vi har de 4 enhetene B, CFGA, D og E, og disse 4 enhetene kan settes sammen på 4! 4 måter. c) Nå ser vi på BA og GF som hver sine enheter, dvs. vi har de 5 enhetene BA, GF, C, D og E, og disse 5 enhetene kan settes sammen på 5! 0 måter. d) Nå ser vi på ABC og DE som hver sine enheter, dvs. vi har de 4 enhetene ABC, DE, F og G. De kan settes sammen på 4! 4 måter. e) Skal en streng inneholde både ABC og CDE må den inneholde ABCDE. Dermed blir det 3 enheter som kan permuteres på 3! 6 måter. f) Dette er umulig å få til, dvs. 0 muligheter. Oppgave 3 De 8 mennene kan stille seg opp på 8! forskjellige måter. To kvinner kan ikke stå ved siden av hverandre. En kvinne må derfor plasseres lengst til venstre, lengst til høyre eller mellom to menn. Det gir 9 mulige plasseringer for hver enkelt kvinne. Første kvinne kan plasseres på 9 steder, andre kvinne på 9

10 8 steder,...., femte kvinne på 5 steder. Til sammen muligheter. Kvinnenes og mennenes innbyrdes plasseringer er uavhengige av hverandre. Produktregelen gir dermed at det blir muligheter. Avsnitt 5.4 Oppgave ( x y) x 6x y 5x y 0x y 5x y 6xy y Oppgave 6 i i i ( x) x x. Koeffisienten til Vi har i0 i i0 i x blir dermed Oppgave i i 9 Vi har ( x ) ( x). Koeffisienten til x blir dermed i0 i ( ) Avsnitt 5.5 Oppgave Her er det et ordnet utvalg med tilbakelegging. Det er n 3 objekter tilgjengelig og r utvalget skal inneholde r 5 objekter. Det gir til sammen n muligheter. Oppgave 5 Dette er også ordnet utvalg med tilbakelegging. Det er n 5 personer og r 3 jobber og vi trekker ut (med tilbakelegging) 3 personer til å utføre de 3 jobbene. Det gir til r sammen n muligheter. Oppgave Her er det et uordnet utvalg med tilbakelegging. Det er n 5 objekter og utvalget skal n r 6 5 inneholde r 3 objekter. Det gir til 35 muligheter. r 3 3 0

11 Oppgave 9 Det er n 8 forskjellige typer bagels. Hvis en skal kjøpe et bestemt antall vil ikke rekkefølgen en får dem være av betydning. Det er antallet av hver type som teller. Her må vi også tenke oss at det er nok av hver enkelt type slik at dette reelt sett ikke er tilbakelegging. Men logisk sett fungerer dette på samme måte som tilbakelegging. n r a) Med n 8 og r 6 blir det r b) Nå er n 8 og r. Dermed c) Nå er n 8 og r 4. Dermed d) Vi skal ha stykker og minst et av hvert slag. Vi starter med å velge et av hvert slag, til sammen 8. Det kan vi gjøre på bare én måte. De 4 siste kan vi kombinere som vi måtte ønske. Det betyr at vi skal velge 4 blant de 8 slagene og det kan gjøres på e) Vi velger først 3 egg-bagels og det kan gjøre på bare en måte. De 9 øvrige kan vi velge ved å ha a) ingen salte bagels, b) nøyaktig én salt bagel og c) nøyaktig to salte bagels. I tilfelle a) velger vi de 9 blant de andre slagene enn de salte, i tilfelle b) velger vi en salt bagel og de øvrige 8 blant de andre slagene enn de salte og i c) to salte bagels og de øvrige blant de andre slagene enn de salte. Til sammen blir dette ( ) Oppgave 3

12 Ordet ABRACADABRA inneholder 5 A-er, B-er, C, D og R-er, til sammen! bokstaver. Antall forskjellige omstokkinger er da gitt ved 5!!!!! ! !4 4 Oppgave 4 5! Hver hand i bridge er på 3 kort og dermed muligheter. 3!3!3!3! Svaret blir et tall med 9 siffer, dvs. dette tallet: Oppgave 43 48! !5!5!5!5!5!8!