Sannsynlighet og statistikk

Transkript

1 Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle. Det er i forbindelse med spill at begrepet sannsynlighet dukker opp først. Sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe måler vi på en skala fra 0 til 1. En hendelse som vi med absolutt sikkerhet vet aldri vil inntreffe, har en sannsynlighet på 0. På den andre enden av skalaen finner vi en hendelse som vi med sikkerhet vet vil inntreffe. En slik hendelse har en sannsynlighet på 1. Dersom sannsynligheten for at en bestemt hendelse A vil inntreffe er lik p, er sannsynligheten for at A ikke skal inntreffe lik 1 p. Mange mener at teorien om sannsynlighet utviklet seg og tok form som en følge av brevvekslinger mellom de berømte matematikerne Blaise Pascal ( ) og Pierre de Fermat ( ). Årsaken til denne brevvekslingen skriver seg fra en episode der den franske adelsmannen Chevalier de Méré oppsøkte Pascal med følgende problem: Hva er sannsynligheten for å oppnå minst én sekser ved å kaste en terning fire ganger, sammenlignet med å oppnå minst to doble seksere i 24 kast med to terninger. Chevalier de Méré hadde erfart at de to sannsynlighetene var forskjellige, men mente at de rent matematisk skulle være like. Korrespondansen mellom Pascal og Fermat ble ikke gjort tilgjengelig for offentligheten på den tiden. Noe tidligere hadde den italienske matematikeren Geronimo Cardano ( ) skrevet om terningkast og sannsynligheter, men hans skrifter ble ikke offentliggjort før Den aller første publiserte bok om terningkast og sannsynligheter ble skrevet av den nederlandske matematikeren Christian Huygens ( ). Den første publikasjonen om sannsynlighet var altså knyttet til spill med terningkast. I dette kapitlet forutsetter vi at leseren er noenlunde kjent med sannsynlighetsbegrepet fra før. Vi vil konsentrere oss om hvilke muligheter som finnes på ClassPad 300 hva angår problem knyttet til sannsynlighetsregning. ClassPad 300 kan blant annet bli brukt til å simulere eksperimenter, som for eksempel å kaste en terning. Et begrep som dukker opp i simuleringer er random variable eller tilfeldig variabel. En random variable betyr ikke at variabelen kan ta hvilken som helst verdi, men har sitt område begrenset av hvilket eksperiment vi gjennomfører. I et kast med en vanlig terning kan utfallet aldri bli noe annet enn 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Denne tallmengden kaller vi utfallsrommet. I terningkastet finner vi random variable i akkurat dette utfallsrommet. På ClassPad 300 er det mulig å generere tilfeldige tall i et bestemt utfallsrom. Funksjonene rand og randlist finner vi i cat katalogen. rand() returnerer et tisifret tall mellom 0 og 1, rand(1,6) gir et helt tall mellom 1 og 6. randlist(n) lister ut n tilfeldige tall. I eksemplet på figuren til venstre har vi valgt fire siffer i SetUp. randlist(m,1,6) lister ut m tilfeldige hele tall mellom 1 og 6. Det siste eksemplet på skjermbildet til venstre simulerer 8 kast med en vanlig terning. 125

2 Ulike funksjoner og kommandoer kan bli brukt på data som allerede er lagt inn i lister på ClassPad 300. Vi kan tilordne et navn til en liste og bruke dette navnet videre i statistikkvinduet. Se figuren nedenfor. Her har vi foretatt en simulering av 500 kast med en terning. Resultatene blir lagret i en liste som vi gir navnet die (terning). Deretter flytter vi oss til statistikkvinduet og presenterer frekvensen til resultatet av terningkastene i et histogram. Som histogrammet viser er det noen få flere femmere enn firere på terningen. En slik simulering på ClassPad 300 kan gi elevene en følelse av tilfeldige utfall. Utforskning Simuler et stort antall kast med en mynt. Undersøk frekvensen av forekomsten av mynt og krone. Kombinatorikk Når vi arbeider med sannsynlighet benytter vi ofte ulike måter å telle alle mulige utfall på og utfall av en bestemt type. I eksemplet ovenfor holdt vi rede på det totale antall terningkast og antall enere på terningen. Etter hvert som vi øker antall kast må vi forvente at forholdet mellom antall enere og antall kast nærmer seg 6 1 (et resultat vi må forvente for alle utfall i dette eksperimentet). Når vi teller antall mulige kombinasjoner av fire objekter {1,2,3,4} får vi = 24som er 4! (fakultet). Vi finner fakultetfunksjonen på mth tastaturet Det finnes to andre kombinatorikkfunksjoner på mth tastaturet. Disse funksjonene er knyttet til valg av bestemte objekter fra en samling av ulike objekter. Slike utvalg kan være ordnet eller uordnet. I tillegg kan utvelgelsen skje på to forskjellige måter - enten med tilbakelegging eller uten tilbakelegging. 126

3 Vi tenker oss at vi har en samling med 8 ulike objekter. På hvor mange måter kan vi velge ut ordnede grupper med 3 objekter i hver gruppe fra denne samlingen? Utvelgingen skjer uten tilbakelegging. Et typisk eksempel er valg av et bestemt antall personer fra en større forsamling og der rekkefølgen av utvelgelsen har betydning. Tankegangen er som følger: Det første objektet kan bli trukket ut på 8 måter, for det andre objektet er det 7 muligheter og for det tredje er det 6 muligheter. I alt blir det = 336 ulike sammensetninger. Vi sier at dette er antallet permutasjoner. Vanligvis skriver vi npr. Med tilbakelegging har vi i dette eksemplet = 8 3 mulige sammensetninger. Hvis utvalget er uordnet, har vi en annen situasjon. Vi ser igjen på hvor mange måter vi kan velge 3 objekter fra en samling av 8 objekter, men da uten at vi tar hensyn til rekkefølgen. Vi skal altså finne det vi kaller antall kombinasjoner. Et godt eksempel er å velge kombinasjoner av 3 farger fra en samling med 8 ulike farger. Vi sier at dette er antallet kombinasjoner. Vanligvis skriver vi ncr. Eksempel Fra en gruppe bestående av 14 kvinner og 12 menn skal vi velge en gruppe bestående av 11 personer. Hva er sannsynligheten for at gruppen vil bestå av 7 kvinner og 4 menn? Antall mulige utfall er gitt ved ncr(26,11) Antall gunstige utfall bestående av 7 kvinner og 4 menn er gitt ved ncr(14,7) ncr(12,4) Sannsynligheten for at gruppen skal bestå av 7 kvinner og 4 menn finner vi ved å dividere antall gunstige utfall med antall mulige utfall. Som et siste eksempel i dette avsnittet vender vi tilbake til problemet til Chevalier de Méré. La oss først se på noen sannsynligheter i denne sammenheng. 127

4 Sannsynligheten for ikke å få 6 øyne på treningen er =. Det betyr at sannsynligheten for ikke å få 6 i fire kast er. Sannsynligheten for å oppnå minst én sekser er da Tilsvarende tankegang og framgangsmåte gjelder også for det andre tilfellet. 6 Chevalier de Méré gjorde rett i å stole på sin erfaring, men var nok på villspor når det gjaldt matematikk. Binomialkoeffisienter Antall kombinasjoner ncr er også den såkalte binomialkoeffisienten som vi også skriver som n n n!. Følgende formel gjelder for denne binomialkoeffisienten: r r = r!( n r)! Vi finner denne koeffisienten innen ulike emner i matematikk for eksempel som n koeffisientene vi får når vi regner ut (a + b). 128

5 Koeffisientene er i dette tilfellet 1, 3, 3, 1 som også kan uttrykkes som henholdsvis ,,, Disse tallene finner vi igjen i tredje rad i Pascals talltrekant. Se figuren nedenfor. Binomialkoeffisientene finner vi igjen etter et bestemt mønster i Pascals talltrekant I siste del av dette kapitlet presenterer vi et avsnitt om statistikk som en såkalt eaktivitet. Vi kommer tilbake til eaktiviteter i et senere kapitel. 129

6 Statistikk 130

7 ClassPad 300 viser at gjennomsnittstiden er tilnærmet 53 sekunder per produsert enhet. Standardavviket er tilnærmet 15 sekunder. Medianen i et tallmateriale er verdien i midten når materialet er sortert. Nedre kvartil er observasjonsverdien som er slik at ¼ av observasjonsverdiene har lavere verdi. Øvre kvartil er observasjonsverdien som er slik at ¾ av observasjonsverdiene har lavere verdi. Medianen er 50 sekunder. Det nedre kvartilet ligger på 40 sekunder, mens det øvre kvartilet er på 60 sekunder. 131

8 132