Forelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018

Transkript

1 Kvadratiske matriser Hvis en matrise A er kvadratisk kan den multipliseres med seg selv. Vi skriver vanligvis A 2 istedenfor AA, A 3 istedenfor AAA, osv. Spesielt er A 1 = A. Enhetsmatriser, også kalt identitetsmatriser Den kvadratiske matrisen Ι, som har 1-ere på hoveddiagonalen og 0- ere alle andre steder, kalles for enhets- eller identitetsmatrisen. Definisjon. La A være en kvadratisk matrise, dvs. en mxm-matrise. Da er A 0 = Ι, der Ι er enhetsmatrisen med dimensjon mxm (dvs. samme dimensjon som A) Eksempel. Den transponerte matrisen Den transponerte matrisen til en matrise A betegnes med A T og er den matrisen vi får ved å bytte om rader og kolonner i A. Dvs. rad i i A blir kolonne i i A T. 1

2 Eksempel. Vi ser at 1. rad i A har blitt 1. kolonne i A T og at 2. rad i A har blitt 2. kolonne i A T. Observasjon: Hvis A er en mxn-matrise blir A T en nxm-matrise. Setning: Hvis A kan multipliseres med B, blir (AB) T = B T A T. Vi kan sjekke om det stemmer for eksempelet på side 6: 2

3 Symmetri En kvadratisk matrise A kalles symmetrisk hvis A = A T. Eksempel 1. Matrisen kalles symmetrisk fordi den er symmetrisk om hoveddiagonalen. Eksempel 2. I dette eksempelet er A ikke symmetrisk. Det som ødelegger symmetrien er at verdien i nederste venstre hjørnet (tallet 1) er forskjellig fra verdien i øverste høyre hjørne (tallet 0). Observasjon: Enhetsmatrisen (identitetsmatrisen) er symmetrisk. 3

4 Logiske matriser Zero-one matrices En logisk matrise er en matrise der elementene er 0 (usann) eller 1 (sann). Dette kalles også for en boolsk matrise. 2x3 3x2 3x3 Vi bruker de logiske operatorene (ikke), (eller) og (og): 1) 0 = 1 1 = 0 2) 1 1 = = = = 0 3) 1 1 = = = = 0 Logisk (eller) mellom to logiske matriser (eng. join) La A og B være to logiske mxn-matriser (NB! begge har samme dimensjon.) Matrisen A B er den logiske matrisen vi får ved å ta parvis (eller) mellom elementene i A og B. Hvis a i,j er element i A og b i,j er element i B så vil elementet (a i,j b i,j ) være element i matrisen A B. Dvs. elementet på plass i,j i A B er (a i,j b i,j. ). Eksempel: Java: 4

5 Logisk (og) mellom to logiske matriser (eng. meet) La A og B være to logiske mxn-matriser (dvs. begge har samme dimensjon.) Matrisen A B er den logiske matrisen vi får ved å ta parvis (og) mellom elementene i A og B. Hvis a i,j er element i A og b i,j er element i B så vil elementet (a i,j b i,j ) være element i matrisen A B. Dvs. elementet på plass i,j i A B er (a i,j b i,j. ). Eksempel. Logisk matrise-multiplikasjon. La A og B være to logiske matriser. Hvis antallet kolonner i A er lik antallet rader i B kan vi danne det logiske produktet A B. Det betyr at hvis A er en mxn-matrise og B er en nxk matriser blir det logiske produktet A B en mxk-matriser. Hvis a i,j er element i A og b i,j er element i B så er elementet på plass i,j i A B er gitt ved: 5

6 Figur: Rad i i A «ganges med» kolonne j i B: Elementet på plass i,j i A B er den «logiske multiplikasjonen» av rad i i A og kolonne j i B, gitt ved formelen over. Eksempel med bruk av multiplikasjonsskjema: 6

7 Her er også B A definert siden antall kolonner i B er lik antall rader i A: Legg merke til at B A A B. Kvadratiske logiske matriser. En kvadratisk logisk matrise kan (logisk) multipliseres med seg selv. Vi skriver da A [2] = A A A [3] = A A A osv. Vi har videre at A [1] = A A [0] = I (identitetsmatrisen med samme dimensjon som A.) 7

8 Løsningsforslag: 8

9 Løsningsforslag: 9

10 10