Heltallsdivisjon og rest div og mod

Transkript

1 Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b kalles et multiplum i a. (eng. b is a multiple of a). Symboler: a b betyr at a går opp I b. a b betyr at a ikke går opp i b. Eksempler: 3 får opp i 12 fordi 12 = 3 4, dvs går opp i 28 fordi 28 = 7 4, dvs går ikke opp i 28 fordi tallet 28 kan ikke skrives med 5 som faktor, dvs Observasjoner: a) Tallet 1 går oppi alle hele tall. b) Alle hele tall 0 går opp i 0. c) Alle hele tall 0 går opp i seg selv. Når vi faktoriserer et tall vil alle faktorene i tallet gå opp i tallet, f.eks: 12 = 4 3 = 2 6 = Både 2, 3, 4 og 6 går opp i 12. Regneregler: 1. Hvis a b og a c, så a (b+c)

2 Bevis: b = a x c = a y b + c = a x + a y = a(x + y) Siden a er faktor i (b+c) gjelder a (b+c) 2. Hvis a b og a c, så a (mb+nc) Bevis: b = a x c = a y mb + nc = m a x + n a y = a(m x + n y) Siden a er faktor i (mb+nc) gjelder a (mb+nc) 3. a b og b c, der b 0, så a c Bevis: b = a x c = b y = a x y. Siden a er faktor i c gjelder a c 4. Hvis a b, så a b c for alle c Bevis: b = a x b c = a x c Siden a er faktor i b c gjelder a b c 5. Hvis a b og a c, så a (b+c) b = a x,

3 a c betyr at a ikke er faktor i c. Følgelig kan vi ikke sette a utenfor parentesen slik vi gjorde det under regel 1. Dermed blir a heller ikke faktor i (b+c). Eksempel på bruk av regel 5. Går 7 opp i 101? Vi vet at 7 går opp i 77 (7 11), men 7 går ikke opp i = 24. Derfor kan ikke 7 gå opp i 101. Går 3 opp i 1001? Vi vet at 3 går opp i 999 (3 333), men 3 går ikke opp i = 2. Dermed vet vi at 3 ikke går opp i Divisjonsalgoritmen. La a og d være hele tall der d > 0. Da finnes det entydige, hele tall q og r slik at a = q d + r, der 0 r < d Her kalles a for dividend, d for divisor, q for kvotient og r for rest.

4 Generelt har vi: Eksempler. a = 33, d = 17. Da blir q = 1 og r = 16. a = 123, d = 7. Da blir q = 17 og r = 4. a = 7, d = 11. Da blir q = 0 og r = 7

5 a = 0 og d = 3. Da blir q = 0 og r = 0. Definisjon av div og mod (modulus) a div d = q (tilsvarer heltalldivisjon i Java: a/d == q) a mod d = r (tilsvarer modulus i Java: a%d == r) Div og mod ved gjentatt subtraksjon (ikke gjennomgått). Vi starter med a og d. Vi trekker fortløpende d fra a inntil vi får et resultat som er mindre enn d. Resultatet blir resten r og antallet ganger vi trakk fra blir g. OBS! Den matematiske definisjonen av kvotient q og rest r sier at 0 r < d, der d er divisor. Dette betyr at r aldri kan være negativ! Hvis a = -123 og d = 7, vil q= -18 og r = 3 siden -123 = = Hvis a er negativ, finner vi først q og r for a (her blir = 123). Det gir q like 17 og r = 4.

6 Rett svar for q = -(q + 1) = -(17 + 1) = -18. Rett svar for r = d - r = 7 4 = 3. Men i Java vil -123 % 7 = -4 og -123/7 = -17! Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m) hvis a og b ikke er kongruente modulo m. Observasjon: Hvis a b (mod m), så er b a (mod m). Setning: La m > 0. Da er a b (mod m) hvis og bare hvis a mod m = b mod m. Dette betyr av hvis vi heltallsdividerer a og b med m så får begge samme rest som resultat! Eksempel1

7 Avgjør om a b (mod m). Vi kan vise dette ved enten La m = 3, a = 2, b = 17 1) Definisjonen: 2 17 (mod 3) fordi 2-17 = -15 og 3 går opp i ) Setningen: 2 mod 3 = 2 og 17 mod 3 = 2. Tallene 2 og 17 får begge samme rest når de heltallsdivideres med 3 følgelig har vi at 2 17 (mod 3). Eksempel2 La m = 3, a = 8, b = (mod 3) 1) Definisjonen: 8 4 (mod 3) fordi 3 går ikke opp i 8-4 = 4 2) Setningen: 8 mod 3 = 2 mens 4 mod 3 = 1. Siden tallene ikke får samme rest når de heltallsdivideres med 3 er de ikke kongruente. Dvs. 8 4 (mod 3) Eksempel3. Vi fant at 2 17 (mod 3). Hvilke andre tall en 17 er kongruente med 2 modulo 3? Vi ser at f.eks (mod 3)

8 2 11 (mod 3) 2 8 (mod 3) osv. Vi ser at alle tallene i følgen., 2, 5, 8, 11, 14, 17, er kongruente med 2 modulo 3. Følgen kan skrives som 2 + 3k for alle k. Regel. La m > 0 og a være et heltall. Da vil alle heltall på formen a + mk der k er et vilkårlig heltall, være kongruenten med a modulo m, dvs. (a + mk) a (mod m) Eksempel. La m = 7 og a = 1. Finn fem forskjellige heltall b slik at a b (mod m). Svar: La b = a + mk = 1 +7k. Ved å velge fem forskjellig verdier for k får vi fem forskjellige tall b som alle er 1 b (mod 7). k = 0 gir b = 1 k = 1 gir b = 8 k = 2 gir b = 15 k = -1 gir b = -6 k = -2 gir b = -13

9 Regneregler for kongruenser. La m > 0 og anta at a b (mod m) og c d (mod m). 1. a + c b + d( mod m) 2. ac bd( mod m) Eksempel. 1 8 ( mod 7) og 15-6( mod 7) Dermed er (mod 7) dvs (mod 7) og ( 6)(mod 7) dvs (mod 7) Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = Tverrsummen til a er lik = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen til a. Da er a sum(a)(mod 9) Dvs. a er kongruent med sin tverrsum modulo 9. Bevis.

10 Tallet a har et bestemt antall siffer. Her tenker vi oss at a har fire siffer. Beviset kan gjøres på tilsvarende måte hvis har et annet antall siffer. La de fire sifrene til a være x, y, z og u: a = xyzu. (f.eks. hvis a = 3758 er x = 3, y = 7, z = 5 og u = 8) Tallet a kan skrives som a = 1000x + 100y + 10z + u. mens tverrsummen sum(a) = x + y + z + u I følge definisjonen er a b(mod m ) hvis m går opp i (a b). Her blir b = sum(a) og m = 9, og vi får da a sum(a) = 999x + 99y + 9z = 9(111x + 11y +z) Siden 9 er faktor betyr det at 9 går opp i a sum(a). Med andre ord er a kongruent med tverrsummen til a modulo 9: a sum(a)(mod 9). Gjentatt tverrsum. Den gjentatte tverrsummen til et tall a er det tallet vi får ved å ta tverrsummen til tverrsummen osv. til vi ender opp med et ensifret tall. Eksempel. La = Tverrsummen til a blir = 23. Tverrsummen til 23 = 5. Dette betyr at (mod 9). Stemmer det? Ja, fordi = 3753 = Vi ser at 9 er

11 faktor og 9 går derfor opp i Følgelig er a og kongruent med den gjentatte tverrsummen til a modulo 9. Testing av svar i et regnestykke. La a og b være hele tall, og la g(a) være den gjentatte tverrsummen til a og g(b) den gjentatte tverrsummen til b. Da har vi a g(a)(mod 9) og b g(b)(mod 9). I følge regnereglene for kongruenser får vi a b g(a) g(b)(mod 9) La f. eks. a = 3758 og b = 347. Tar vi den gjentatte tverrsummen av tallene får vi g(a) = 5 og g(b) = 5 Da blir g(a) g(b)= 5 5= 25 der tverrsummen blir = 7. Dette betyr at g(ab), dvs. den gjentatte tverrsummen g(ab) også må bli 7. Vi sjekker: = g( ) = g( ) = g(16) = = 7. Vi fikk som ventet 7 begge ganger. Hvis vi i utregningen av ab hadde fått et svar som ikke hadde 7 som gjentatt tverrsum, så må svaret være feil. Hvis vi imidlertid bytter om to siffer i et korrekt svar vil ikke denne testen avsløre det!