Ma Linær Algebra og Geometri Øving 5

Transkript

1 Ma20 - Linær Algebra og Geometri Øving 5 Øistein søvik 7. oktober 20 Excercise Set.5.5 7, 29,.6 5,, 6, 2.7, A = 0 5 B = C = 0 5 D = F = Find an elementary matrix E that satisfies the equation (a) EA = b a b c 0 5 = 0 5 g h i Vi vet at om vi ganger en matrise P med identitetsmatrisen I så får vi P. Selvfølgelig har I og P samme størrelser. Dermed ser vi at de to første radene til E blir identitetsmatrisen. Til slutt legger vi merke til at dersom vi utfører matriseoperasjonen R ( 2) + R R (Gange rad med 2 og legge til rad ) Ser vi at de alle de siste elementene stemmer. Vi kan dermed skrive =

2 (b) EB = A a b c g h i 0 5 = Samme argument som før. De to øverste radene er like. Vi bruker dermed identitetsmatrisen. Utfører vi matriseoperasjonen 2 R + R = R på B, ser vi at vi får A. Dette gjør vi også på identitetsmatrisen vår. Da får vi = (c) EA = C a b c g h i Samme argument som før... Vi bruker her identitetsmatrisen på de to nederste radene fordi de er like. UTfører vi matriseoperasjonen 2R R på matrise A ser vi at matrisene blir like. Alternativt kunne vi Vel satt opp A I = C og utført elementære radoperasjoner på høyre side til A=C. Og da blir også I forvandlet til E Den siste metoden vi kunne brukt er at vi går ut ifra den generelle matrisen vi har brukt ovenfør. Utfører vi matrisemultiplikasjonen på A og E og sammenligner denne med venstre side. Ser vi at vi får et likningsystem med tre ukjente for hver rad. Som vi kan løse for å betemme koeffisientene til E. Men begge disse metoden fant jeg tungvindt å bruke. Spesielt i L A TEX (d) EC = A a b c g h i Same tingen som før. Vi ser at de to siste radene er like, dermed kan vi bruke I. Videre ser vi at om vi at om vi bruker elementene til siste rad i I får vi halvparten av det vi skal ha. Vi multipliserer derfor siste rad av I med 2. Dermed får vi at

3 Write the given matrix as a product of elementary matricies. 29. [ ] -2 0 Vi tenker oss løsningen, ved å prøve ut diverse operasjoner på elementermatrisene. Etter litt tid ser vi at løsningen under fungerer. Vi regner fra venstre til høyre. [ ] [ ] [ ] [ ] = Samme metode som før, vi bare prøver oss med noen elementære operasjoner på elementærmatrisa = Excercise Set.6 Solve the system by inverting the coefficient matrix and using Theorem.6.2. x = 6 x + x 2 + = x + x 2 = 2 Vi kan skrive likningsystemet over som følger. 0 - x 6 x 2 = - 0 2

4 Vi begynner med å skrive likningsystemet på matriseform og finner inversen til systemet på høyre side Så ganger vi begge sider al likhetstegnet med inversen av matrisen vår 0 - x 6 x 2 = x x 2 = x 0 0 x 2 = x -7 x 2 = 5 8 Altså er løsningene til systemet x = 7, x 2 = 5, = 8 Determine the conditions on b i s if any, in order to guarantee that the linear system is consistent.. x x 2 = b 4x 2x 2 = b 2 4

5 Vi ser at systemet består av to parallele linjer, og dered ikke har noen løsninger. Eventuelt kunne vi vist at matrisen ikke er inverterbar. 6. x 2x 2 = b 4x + 5x = b 2 4x + 7x = b Vi finner inversen av matrisen vår. HEr er jeg litt lat og refferer bare til kladden min A = A () x x 2 x x 2 x x 2 = = = b b 2 b b - b b -8 - b + 4b 2 8b b b 2 b b + 2b 2 b Vi ser at systemet vårt en konsistent. Det har en løsning for alle verdier av b, b 2 og b 2. Let Ax = 0 be a system of n linear equations in n unknowns that has only the trivial solution. Show that if k is any positive integer, then the system A k x = 0 also has only the trivial solution. Excersise Set.7. Verify Theorem.7.4 for the given matrix A. Teorem.7.4 sier at dersom en matrise er invertibel og symetrisk så er også inversen til A symmetrisk. [ ] [ ] 2 - (a)a = (A) =

6 Vi ser greit at det stemmer Prove: If A T A = A, then A is symmetric and A 2 = A Transponerer vi begge sider får vi at AA T = A T Så matrisen er symmetrisk. Antar at vi kan si at fra den første påstanden vet vi at A T = A Og fra første påstand om vi bytter ut A T med A får vi at A 2 = A 6