Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Transkript

1 Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO

2 Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001! Selv om de fleste av dere ikke skal ta så mange flere matematikk-kurs enn dette, er det viktig at dere føler dere som matematikkstudenter dette semesteret. Emnebeskrivelsen for MAT1001 er som følger: Kort om emnet: I dette emnet står løsningsmetoder og studie av løsninger av 3 typer likninger i fokus. Emnet gir en innføring i følgende 3 hovedtemaer: 1) Lineære likningssystemer, vektorer og matriser (herunder Gauss- Jordan eliminasjon, matriseoperasjoner, determinanter, egenverdier og egenvektorer). 2) Differenslikninger (herunder følger, grenseverdier, komplekse tall, enkel grafteori, trær, nettverk og boolsk algebra). 3) Differensiallikninger og modellering (herunder derivasjon, integrasjon, eksponential-, logaritme-, og trigonometriske funksjoner). Hva lærer du? Emnet gir deg en matematisk verktøykasse som du vil ha bruk for i videre realfagsstudier som ikke forutsetter full fordypning i matematikk fra videregående skole. Målet er å gi deg en forståelse av hvordan visse typer problemstillinger kan modelleres og lære deg å finne løsninger på problemene. Problemstillingene hentes fra relevante fagområder, som f.eks. biologi, informatikk og kjemi. Vi håper at det nye kurset virkelig vil gi deg en matematisk verktøykasse, og at du vil synes det er spennende og interessant. Til kurset er det skrevet en trilogi bestående av 3 kompendier som følger de 3 hovedtemaene. Utgangspunktet for stoffvalg og presentasjon har vært 2MX eller 2MY og 3MY fra videregående skole, samt tidligere eksamensoppgaver i kurs tilsvarende MAT1001 ved UiO. ii

3 Dette kompendiet er skrevet til bruk i undervisningen av det første temaet Lineære likningssystemer, vektorer og matriser, og vi går rett på med Lineære likningssystemer som første kapittel. Deretter innfører vi matriser og ser på hvordan de kan brukes for å løse lineære likningssystemer. Vi ser så på anvendelser, spesielt problemer av typen som faller inn under såkalt populasjonsdynamikk. Her er det mange morsomme problemer! Matematikken du har som bakgrunn fra videregående vil nå bakes inn i en større sammenheng, og vi vil minne om dette stoffet etterhvert som vi trenger det. Noe av denne matematikken vil vi også prøve og ta litt ekstra grundig på plenum og grupper, men sørg for å repetere stoff fra videregående så fort det dukker opp ting du føler du ikke husker godt nok! Underveis i teksten gis det mange eksempler, og bakerst vil du finne oppgavesamling og tidligere eksamensoppgaver. Ta gjerne en titt på dem med en gang, så ser du hva slags problemer vi skal ende opp med å løse. Oppgavene varierer i vanskelighetsgrad, og noen er markert Ekstra vanskelig. Det er veldig viktig at du prøver å løse alle oppgavene! Husk at det er nettopp da du virkelig ser hva du har forstått. Hjelp vil du få underveis av forelesere, plenumsregnere, gruppelærere og orakler. Lykke til med kurset! Tusen takk til mine medspillere Erik Bédos, Arne B. Sletsjøe, Elisabeth Seland, Jørgen Myre og Xiang He Kong for kontinuerlige innspill og kommentarer til dette heftet. Også en stor takk til Dina Haraldsson for hjelp med tidligere eksamensoppgaver, Kari T. Hylland for hjelp med treningsoppgaver, Magnus Dehli Vigeland for å ha lært meg xfig på en dag, slik at det ble noen figurer i kompendiet også, og til Helge Flakstad for å ha gitt meg bøker og informasjon om pensum fra videregående. Send gjerne trykkfeil og kommentarer til ingerbo@math.uio.no Blindern, juni 2008 Inger Christin Borge iii

4 Innhold Notasjon vi 1 Lineære likningssystemer Lineære likninger Vektorer og n-tupler Løsningsmengde og parameterfremstilling Lineære likningssystemer Løsningsmetoder Geometriske løsninger Et viktig resultat Nå skal du kunne Matriser Definisjoner og regneoperasjoner Regneregler og noen spesielle matriser Anvendelse: Binære matriser og søkevektorer Determinanten til en matrise Matriselikninger Nå skal du kunne Lineære likningssystemer og matriser Den utvidede matrisen til et likningssystem Et viktig bevis Radoperasjoner Redusert trappeform Gauss-Jordan-eliminasjon Et nyttig resultat Cramers regel iv

5 3.8 Nå skal du kunne Anvendelser av lineære likningssystemer Populasjonsdynamikk Egenverdier og egenvektorer Hva skjer i det lange løp for lineære sammenhenger? Nå skal du kunne A Oppgaver 80 A.1 Kapittel A.2 Kapittel A.3 Kapittel A.4 Kapittel B Tidligere eksamensoppgaver 96 C Fasit og løsningsforslag 117 C.1 Kapittel C.2 Kapittel C.3 Kapittel C.4 Kapittel C.5 Tidligere eksamensoppgaver D Støtte- og tilleggslitteratur 142 E Norsk-engelsk ordliste 143 Register 147 v

6 Notasjon {} mengde element i N de naturlige tallene 1,2,3,... Z de hele tallene..., 2, 1, 0, 1, 2,... Q de rasjonale tallene (brøker) R de reelle tallene (tallinjen) med ordet tall menes et reelt tall R 2 det reelle planet R 3 det reelle rommet R n det n-dimensjonale rommet avslutter et Bevis avslutter et Eksempel eller en Bemerkning vi

7 Tillegg D Støtte- og tilleggslitteratur Matematikk i praksis av Tor Gulliksen, Universitetsforlaget, 4. utgave, 3. opplag 2002 (har vært brukt i dette kurset siden 1981) Elementary linear algebra av Howard Anton, Wiley, 7. utgave 1994 (ble før brukt i kurs i lineær algebra (MA104). Denne går langt videre, men deler av boken kan støtte, og det er mange oppgaver her som kan gjøres.) Linear algebra and its applications av David C. Lay, Addison-Wesley, 3. utgave 2006 (brukes i MAT1120, og går også langt utover MAT1001- pensum, men deler av denne kan støtte, og det er mange fine oppgaver her.) Ellers er det mange bøker om lineær algebra på Matematisk bibliotek i 2. etasje i Niels Henrik Abels hus. De står i laveregradsavdelingen sammen med annen støttelitteratur og populærmatematiske bøker. På biblioteket finner du også pensumlitteratur til dagslån og pensumbøker fra videregående til utlån. 142

8 Tillegg E Norsk-engelsk ordliste For oppslag i engelske lærebøker eller på nettet, har vi tatt med en engelsk oversettelse av ordene og begrepene i registeret (som fins bakerst i kompendiet). addisjonsmetoden the addition/subtraction method binær matrise binary matrix Cramers regel Cramer s Rule determinant determinant diagonal matrise diagonal matrix dimensjonen til løsningsmengden the dimension of the solution set dokument-dokument-matrise document-document matrix dokument-term-matrise document-term matrix egenvektor eigenvector egenverdi eigenvalue eliminasjonsmetoden the elimination method fri variabel free variabel 143

9 Gauss-Jordan-eliminasjon Gauss-Jordan elimination Gauss-eliminasjon Gaussian elimination geometrisk løsning av lineært likningssystem geometric solution of a system of linear equations grenseverdi limit (value) homogent likningssystem homogeneous system of equations identitetsmatrise identity matrix inhomogent likningssystem inhomogeneous system of equations initialvektor initial state vector inkonsistent likningssystem inconsistent system of equations karakteristisk likning characteristic equation koeffisientmatrise coefficient matrix kolonnevektor column vector komponent (i matrise) entry (in a matrix) konsistent likningssystem consistent system of equations konvergere converge kvadratisk matrise square matrix løsningsmengden til et lineært likningssystem the solution set of a system of linear equations løsningsmengden til en lineær likning the solution set of a linear equation ledende variabel leading variable ledende 1-er leading 1 144

10 likevektsforhold steady state relation likevektstilstand steady state vector lineær likning linear equation lineært likningssystem system of linear equations (or: linear system) linje i planet a line in the plane matrise matrix n-dimensjonalt rom n-dimensional space n-tuppel n-tuple nedre triangulær matrise lower triangular matrix nullmatrise zero matrix nullvektor zero vector overgangsmatrise transition matrix parameter parameter parameterfremstilling parametrization plan i rommet a plane in the 3-dimensional space posisjon (til en komponent i matrise) position (of an entry in a matrix) projeksjonsmatrise transition matrix radoperasjoner row operations radvektor row vector redusert trappeform reduced row-echelon form søkevektor query vector (or: search vector) skalar scalar 145

11 skalarprodukt scalar product substitusjonsmetoden the substitution method svarvektor close to answer set ( svarvektor is not an established Norwegian term) tilstandsvektor ved tid n state vector at time n transponert matrise transposed matrix trappeform row-echelon form utvidet matrise augmented matrix variabel variable vektor vector øvre triangulær matrise upper triangular matrix 146

12 Register addisjonsmetoden, 11 binær matrise, 32 Cramers regel, 51 determinant, 34 diagonal matrise, 28 dimensjonen til løsningsmengden, 46 dokument-dokument-matrise, 34 dokument-term-matrise, 32 egenvektor, 66 egenverdi, 66 eliminasjonsmetoden, 11 fri variabel, 46 Gauss-eliminasjon, 46 Gauss-Jordan-eliminasjon, 46 geometrisk løsning av lineært likningssystem, 17 grenseverdi, 75 homogent likningssystem, 39 identitetsmatrise, 28 inhomogent likningssystem, 39 initialvektor, 56 inkonsistent likningssystem, 13 karakteristisk likning, 67 koeffisientmatrise, 39 kolonnevektor, 22 komponent (i matrise), 21 konsistent likningssystem, 12 konvergere, 75 kvadratisk matrise, 28 løsningsmengden til et lineært likningssystem, 9 løsningsmengden til en lineær likning, 5 ledende variabel, 45 ledende 1-er, 43 likevektsforhold, 75 likevektstilstand, 75 lineær likning, 1 lineært likningssystem, 9 linje i planet, 16 matrise, 21 n-dimensjonalt rom, 3 n-tuppel, 2 nedre triangulær matrise, 29 nullmatrise, 28 nullvektor, 5 overgangsmatrise,

13 parameter, 6, 10 parameterfremstilling, 7 plan i rommet, 16 posisjon (i matrise), 22 projeksjonsmatrise, 57 radoperasjoner, 41 radvektor, 22 redusert trappeform, 44 søkevektor, 33 skalar, 2 skalarprodukt, 4 substitusjonsmetoden, 13 svarvektor, 33 tilstandsvektor ved tid n, 55 transponert matrise, 34 trappeform, 43 utvidet matrise, 39 variabel, 1 øvre triangulær matrise,