Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Transkript

1 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO

2 Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta for oss det andre temaet i kurset, nemlig Differenslikninger (herunder følger, grenseverdier, komplekse tall, enkel grafteori, trær, nettverk og boolsk algebra). Utgangspunktet for stoffvalg og presentasjon har vært som i Kompendium 1 om lineære likningssystemer; 2MX eller 2MY og 3MY, og vi fortsetter å bake inn matematikken du har med fra videregående i en større sammenheng. Sørg fortsatt for å repetere stoff fra videregående så fort det dukker opp ting du føler du ikke husker godt nok! Løsningene til differenslikninger er tallfølger, og vi starter med å se litt nærmere på tallfølger. Deretter tar vi for oss visse typer differenslikninger i tur og orden, bare avbrutt av et kapittel om komplekse tall og trigonometri. Dette vil vi trenge for å kunne løse og studere spesielle differenslikninger. Anvendelser av differenslikninger tar vi underveis, og vi avslutter med et kapittel der vi innfører noen flere matematiske objekter som passer inn i denne sammenhengen, og som det kan være meget nyttig å kjenne til. Kapittelet heter Trær og nettverk, og vi ser på et eksempel der vi kobler såkalte trær med noen spesielle tallfølger, og et annet eksempel der vi bruker såkalt boolsk algebra til å studere nevrale nettverk. Underveis i teksten gis det mange eksempler, og dessuten vil du få beskjed om å sjekke, tegne tegninger og regne ferdig i endel eksempler. Det er veldig viktig at du gjør dette mens du studerer teksten. Bak i kompendiet vil du finne oppgavesamling. Vi har prøvd å grave frem tidligere eksamensoppgaver i dette temaet også, og de kommer i kronologisk rekkefølge. Vi fant imidlertid ikke like mange tidligere eksamensoppgaver i dette emnet som i de to andre, så vi har dermed laget endel større oppii

3 gaver i oppgavesamlingen, spesielt med hensyn på stoff som ikke dekkes i tidligere eksamensoppgaver. Oppgavene varierer i vanskelighetsgrad, og noen er markert Ekstra vanskelig. Vårt motto er som før: Jobb med alle oppgavene og søk hjelp etterhvert! Fortsatt lykke til! Mine medspillere Erik Bédos, Arne B. Sletsjøe og Elisabeth Seland har fortsatt sine kontinuerlige innspill og kommentarer. Også her har Dina Haraldsson og Kari T. Hylland vært til stor hjelp med henholdsvis tidligere eksamensoppgaver og treningsoppgaver. Tusen takk alle sammen! Også takk til Tom Lindstrøm for oppgave-innspill. Send gjerne trykkfeil og kommentarer til ingerbo@math.uio.no Blindern, august 2008 Inger Christin Borge Dette kompendiet ble første gang brukt i MAT1001 høstsemesteret 2008, da vi også hadde en trykkfeilkonkurranse. Denne versjonen er rettet for trykkfeil som ble oppdaget da. Tusen takk til alle høstens MAT1001-studenter samt undervisere for verdifulle innspill! Oppfordringen om å sende trykkfeil og kommentarer gjelder for vårsemesteret også. Blindern, januar 2009 Inger Christin Borge iii

4 Innhold Notasjon vi 1 Tallfølger Tallfølger og konvergens Differenslikninger Om anvendelser av differenslikninger Nå skal du kunne Første ordens lineære differenslikninger Homogene likninger Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Inhomogene likninger Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Nå skal du kunne Komplekse tall og trigonometri Komplekse tall Vinkler og radianer Trigonometri Polarform Nå skal du kunne Andre ordens lineære differenslikninger Homogene likninger iv

5 4.1.1 Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Inhomogene likninger Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Nå skal du kunne Trær og nettverk Trær og Fibonacci-følgen Boolsk algebra og nettverk Nå skal du kunne A Oppgaver 115 A.1 Kapittel A.2 Kapittel A.3 Kapittel A.4 Kapittel A.5 Kapittel B Tidligere eksamensoppgaver 136 C Fasit og løsningsforslag 149 C.1 Kapittel C.2 Kapittel C.3 Kapittel C.4 Kapittel C.5 Kapittel C.6 Tidligere eksamensoppgaver D Støtte- og tilleggslitteratur 176 E Det greske alfabetet 177 F Norsk-engelsk ordliste 178 Register 182 v

6 Notasjon {} mengde element i N de naturlige tallene 1,2,3,... Z de hele tallene..., 2, 1, 0, 1, 2,... Q de rasjonale tallene (brøker) R de reelle tallene (tallinjen) med ordet tall menes et reelt tall R 2 det reelle planet R 3 det reelle rommet R n det n-dimensjonale rommet C de komplekse tallene avslutter et Bevis avslutter et Eksempel eller en Bemerkning vi

7 Tillegg D Støtte- og tilleggslitteratur Artikkelen vi bruker i Seksjon 5.2 er An Application of Boolean Algebra to Biology av John W. McConnell i tidsskriftet School Science and mathematics, hefte 4 i volum 71 fra 1971, side Orden og kaos av Tom Lindstrøm, Temahefte 4, Norsk Matematisk forening, Gyldendal Dynamiske systemer og multippel integrasjon av Arne B. Sletsjøe, Matematisk institutt Kompendium i MAT1010. Kalkulus av Tom Lindstrøm, 3. utgave, Universitetsforlaget Pensumbok i MAT1100 og MAT-INF1100. Mathematical models in biology av Leah Edelstein-Keshet, Birkhaüser Husk at det er mange bøker om emnene i dette kurset, bl.a. differenslikninger, på Matematisk bibliotek i 2. etasje i Niels Henrik Abels hus. De står i laveregradsavdelingen sammen med annen støttelitteratur og populærmatematiske bøker. På biblioteket finner du også pensumlitteratur til dagslån og pensumbøker fra videregående til utlån. 176

8 Tillegg E Det greske alfabetet Bokstavene i det greske alfabetet brukes som notasjon i mange fag, så vi gjengir alfabetet her. Symbolet indikerer at vi har brukt bokstaven i MAT1001. α leses alfa β leses beta γ leses gamma δ leses delta ɛ leses epsilon ζ leses zeta η leses eta θ leses teta ι leses iota κ leses kappa λ leses lambda µ leses my ν leses ny ξ leses ksi o leses omikron π leses pi ρ leses ro σ leses sigma τ leses tau υ leses ypsilon φ leses fi χ leses kji ψ leses psi ω leses omega 177

9 Tillegg F Norsk-engelsk ordliste For oppslag i engelske lærebøker eller på nettet, har vi tatt med en engelsk oversettelse av ordene og begrepene i registeret (som fins bakerst i kompendiet). alternerende følge alternating sequence argument (til komplekst tall) argument of a complex number assosiert homogen likning associated homogeneous equation buelengde arc length cosinus (til en vinkel) cosine (of an angle) de Moivres formel de Moivre s formula differenslikning difference equation, recurrence relation disjunksjon (logical) disjunction divergere diverge eksponentialform exponential form ekvivalens logical equality enhetssirkel unit circle 178

10 følge sequence første omløp the angle has measure between 0 and 2pi Fibonacci-følgen the Fibonacci sequence Fibonacci-tallene the Fibonacci numbers Fibonacci-treet NOTE: what we call the Fibonacci-tree is not the normal use of the word Fibonaccis kaninproblem Fibonacci s rabbit problem generell løsning (til differenslikning) general solution (of a difference equation) gylne følge the golden sequence halvt likesidet trekant half of an equilateral triangle ( triangle) homogen (differenslikning) homogeneous (difference equation) imaginærdelen the imaginary part imaginære enheten the imaginary unit imaginært tall imaginary number inhomogen (differenslikning) inhomogeneous (difference equation) initialbetingelse initial condition kanin-følgen rabbit sequence karakteristisk likning (til differenslikning) characteristic equation (of a difference equation) kartesisk form Cartesian form koeffisienter (i polynom) coefficients (of a polynomial) kompakt polarform exponential form 179

11 komplekst tall complex number konjugert tall conjugate number konjunksjon (logical) conjunction konstant følge constant sequence (of numbers) konstante koeffisienter constant coefficients konvergere converge ledd (i en følge) term (of a sequence) lineær differenslikning linear difference equation /recurrence relation modulus (til komplekst tall) modulus (of a complex number) negasjon (logical) negation orden (til differenslikning) order (of a difference equation) partikulær løsning particular solution polarform polar form polynom polynomial radian radian (measure) radius radius realdelen the real part rettvinklet likebeint trekant isosceles right triangle sannhetsverdi truth value sannhetsverditabell truth table sinus (til en vinkel) sine (of an angle) sirkelbue circular arc 180

12 spesiell løsning particular solution sykel cycle tallfølge number sequence tre-graf a tree (graph) utsagn statement vinkel angle 181

13 Register alternerende følge, 3 argument (til komplekst tall), 55 assosiert homogen likning, 24 buelengde, 47 cosinus (til en vinkel), 51 de Moivres formel, 59 differenslikning, 6 disjunksjon, 102 divergere, 3 eksponentialform, 61 ekvivalens, 104 enhetssirkel, 51 følge, 1 første omløp, 50 Fibonacci-følgen, 5 Fibonacci-tallene, 5 Fibonacci-treet, 97 Fibonaccis kaninproblem, 4 generell løsning (til differenslikning), 7 gylne følge, 100 halvt likesidet trekant, 52 homogen (differenslikning), 10 imaginærdelen, 38 imaginære enheten, 37 imaginært tall, 37 inhomogen (differenslikning), 10 initialbetingelse, 8 kanin-følgen, 100 karakteristisk likning (til differenslikning), 65 kartesisk form, 57 koeffisienter (i polynom), 22 kompakt polarform, 61 komplekst tall, 37 konjugert tall, 40 konjunksjon, 102 konstant følge, 2 konstante koeffisienter, 7 konvergere, 3 ledd (i en følge), 1 lineær differenslikning, 6 modulus (til komplekst tall), 55 negasjon, 101 orden (til differenslikning), 6 partikulær løsning, 8 polarform,

14 polynom, 22 radian, 48 radius, 47 realdelen, 38 rettvinklet likebeint trekant, 52 sannhetsverdi, 100 sannhetsverditabell, 101 sinus (til en vinkel), 51 sirkelbue, 47 spesiell løsning, 8 sykel, 95 tallfølge, 1 tre-graf, 94 utsagn, 101 vinkel,