Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 2

Transkript

1 Ma1 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik Brukernavn: Oistes.1.1 Oppgaver 11. In Exercises 1 4, find the required parametrization of the first quadrant part of the circular arc x + y 1 1. In terms of the y-coordinate, orianted counterclockwise Siden vi skulle ha y som parameter så setter vi y t, nå trenger vi å uttrykke x via t. x + y a x a y x a y Positiv rot siden vi skulle ha første kvadrant. Parametriseringen blir dermed rt) a t î + t ĵ < t < a). In terms of the x-coordinate, orianted clockwise Siden vi skulle ha x som parameter så setter vi x t, nå trenger vi å uttrykke y via t. y + x a y a x y a x Positiv rot siden vi skulle ha første kvadrant. Parameterseringen blir dermed rt) t î + a t ĵ < t < a). In terms of the angle between the tangent line, and the positive x-axis Her må vi tenke litt, og tegne litt. Målet vårt er å uttrykke et punkt Q på sirkel ved vinkelen γ på bildet. y 1 Q φ ψ φ 1 γ x 1

2 Et punkt Q på sirkelen kan uttrykkes som cos ψ, sin ψ), her har vi at φ π γ og ψ + φ + π π. Slik at ψ γ π. Parametriseringen av sirkelen, uttrykt ved γ, blir følgelig x cos γ π ) sin γ og y sin γ π ) cos γ 4. In terms of the arc length measured from, a), oriented clockwise Buelengden til en parameterfremstilling er gitt som S b a x t) + y t) dt Så vi ønsker å uttrykke et punkt på sirkelen for en gitt S. Gir du meg en S, skal jeg gi deg et punkt P på sirkelen slik at buelengden fra til P er S.) Vi har allerede en parameterfremstilling for sirkelen, flere faktisk. Eksempelvis x a sin θ, y a cos θ. Innsatt får vi a ) ) S cos θ + a sin θ dθ at Slik at t S/a, altså kan vi bytte ut t med S/a, da fås. rt) a sins/a) î + a coss/a) ĵ hvor a > og S, πa) 11. The plane z 1+x intersects the cone z x +y in a parabola. Try to parameterize the parabola using as parameter: a) t x, b) t y, and c) t z. Which of these choices for t lead to a single parametrization that represents the whole parabola? What is hat parametrization? What happens with the other two choices? a) Vi setter x t dette gir z t 1. Setter vi inn i kjeglelikningen fås t 1) t + y som er tvetydig siden da er ikke y bestemt fra en t verdi men to. y ± 1 t). b) Ved innsetning av t y i kjeglelikningen fås z x +t t z x)z+x) t z+x. Siden z x 1 utifra planlikningen. Løser vi denne med hensyn på x og z ser vi ved innsetning vi får henholdsvis x t 1 og z t + 1. Så parameterfremstillingen for kjeglen blir rt) t 1 î + t ĵ + t + 1 c) Vi setter z t dette gir x t + 1. Setter vi inn i kjeglelikningen fås t t + 1) + y som er tvetydig siden da er ikke y bestemt fra en t verdi men to. y ± t 1). Både a) og c) beskriver ikke hele kjeglen, bare b) klarer det. 1. The plane x + y + z 1 intersects the sphere x + y + z 1 in a circle C. Find the centre r and radius r of C. Also find two perpendicular unit vectors ˆv, ˆv parallel to the plane of C. En grov skisse av hva vi prøver å finne er vist under. Vi har et plan som snitter en kule. Snittet blir da en sirkel og vi skal finne radius og to enhetsvektorer til planet. Dette er da nok til å sette opp en parameterfremstilling for planet. Tegning følger ˆk

3 S 1, 1, 1 ) Vi setter opp parameterfremstillingen for ei linje med retningsvektor som står normalt på planet og går igjennom kulas sentrum. Der denne linjen skjærer planet vil sentrum av sirkelen ligge. x t lt) y t z t Ved innsetning i planlikningen får vi t + t + t 1 t 1. Sentrum av sirkelen er altså S 1, 1, 1 ) Vi ser raskt at et punkt som ligger både i planet og på sirkelen er 1,, ) radiusen til sirkelen er avstanden fra dette punktet til sentrum. r 1 1 ) ) 1 ) 1 6 Enhver vektor som tilfredsstiller v 1 î + ĵ + ˆk) er parallell med planet. For eksempel så er v 1 î ĵ 1, 1, ) en slik mulig vektor. For å finne en annen slik vektor som står vinkelrett på den første tar vi kryssproduktet. v v 1 î + ĵ + ˆk) î + ĵ ˆk 1, 1, ). Så enhetsvektorene vektor delt på lengden) blir altså v 1 1 1, 1, ) v 1 6 1, 1, ) Den endelige parameterfremstillingen for sirkelen kan skrives som rt) r + rcost)v 1 + sint)v ) 1 1, 1, 1) + cost) 1 1, 1, ) + sint)v ) 1 ) 1, 1, ) 6 1 [ 1, 1, 1) + ] cost)1, 1, ) + sint)1, 1, ) 19. Let C be the curve x e t cost), y e t sint), z t between t and t π. Find the length C. Lengden av grafen, vil være gitt som 1 π S r t) dt x t)) + y t)) + z t)) dt t π S e t [cos t sin t] ) + e t [sin t + cos t] ) + 1) dt S π e t + 1 dt

4 Dette integralet her vil antakeligvis være et av de mer krevende integralene en møter i kurset. For å friske opp de antakeligvis rustne integrasjons kunnskapene blir flere metoder vist under. Metode 1: Vi benytter oss av substitusjonen x e t + 1, via litt regning ser vi da at dt x/ x 1 ) dx. S S e +1 x x x 1 dx e x x + 1 dx [ x + 1 )] e x 1 +1 ln x + 1 ) e ) e e ) e + 1 π + ln e ln 4 ) e t i + tj e t k. Her får vi mye det samme som på de tidligere oppgavene, vi regner ut lengden og deler på de individuele delene. Tilsutt skriver vi om de individuelle delene uttrykt via lengden av kurven. S r t) dt e t ) + ) e t ) dt e t ) + e t e t + e t ) dt e t + e t dt e t e t sinht) ) s + s + 4 Siden s sinht) så er t arcsins/) ln, e t s + s + 4. og e t s + s + 4 s + 4 s s + 4 s s + 4 s Den endelige parameterfremstillingen blir s s r î + ) s + s + 4 s + 4 s ln ĵ + ˆk ) s + s + 4 Noen lurer kanskje på hvordan vi kom fra arcsinhs/) til ln, så se i formelbøkene deres.. Vi setter opp y sinh t Og ønsker å finne et uttrykk for t arcsinhy, altså vi ønsker å løse likningen med tanke på t. Så y sinh t et e t e t ) + ye t + 1 Herfra innfører vi u e t og legger merke til at vi har en andregradslikning. Hvor u yu 1 som har løsningen u 1 y ± ) y) + 4 y ± y + 1. Da får vi at t log y ± ) y + 1, men siden vi vet at arcsinh) må vi ha t arcsinhy) log y + ) y + 1. Vi kan også se på dette som at vi må ha at logaritmen er positiv for alle verdier. Oppgaver 11.4 Find the unit tangent vektor ˆTt) for the curves. 4

5 1. r ti t tj + t k Tangenten er gitt som ˆTt) dr dt : dr dt. r a sin ωti + a cos ωtk i 4tj + 9t k i 4tj + 9t k 1 + 4t) + 9t ) t + 81t 4 ˆTt) dr dt : dr dt aω cos ωti aωt sin ωtk aω cos ωt) + aωt sin ωt) aω cos ωti aωt sin ωtk cosωt) i sinωt) k a ω cosωt) + sinωt) ) For en stygg men heldigvis kort) øving! 5