MA Flerdimensjonal Analyse hjelp, hint og tips til øvinger

Transkript

1 MA 3 - Flerdimensjonal Analyse hjelp, hint og tips til øvinger Øistein Søvik 8. februar 23 Sammendrag I dette korte skribleriet skal jeg gi noen korte kommentarer, tips angående flerdimensjonal analyse. Det er på ingen måte ment å utfylle læreboken, eller gi bevis. Men går heller mer på det regnetekniske, og forhåpentligvis noen konkrete eksempler. Notasjon I dette kurset blir det ofte brukt et virvarr av notasjon. Under er et par eksempler på notasjon som uttrykker det samme (3, 2, ) = 3i + 2j k = 3i + 2j 3k = 3î + 2ĵ ˆk = 3ˆ + 2ŷ ẑ = = (3, 2, ) Det er ingen krav når en skal bruke hvilken notasjon, og mye går på tradisjoner. Fet skrift eller hatter betegner så godt som alltid vektorer. Anbefaler selv å bare holde seg til en notasjon. Boken i år bruker konsekvent fete bokstaver for å indikere vektorer, men en kan som sagt like gjerne bruke klassisk vektornotasjon (3, 2, ). Tanken bak de andre notasjonene er at de kan være noe enklere å lese, om en har vektorer med svært mange komponenter. ˆF = (,,,,, 4, 4, 6,, 6)

2 2 Determinanter og kryssprodukt Regner vi ut kryssproduktet mellom to vektorer, finner vi en tredje vektor som står vinkelrett på både u og u. En liten tegning hjelper sikkert på. (a) (b) Figur (a) ovenfor viser vektorene u = (,, ), v = (,, ) og n = (,, 2). Mens figur (b) viser vektorene u = (,, ), v = (,, ), k = (,, ) og j = (,, ). Fra figur, og også regning kan vi se at n, k og j står vinkelrett på u og v. Poenget er at lengden til normalvektoren er ikke viktig, den kan være så lang eller så kort som den bare vil. Krysser vi vektorene får vi u v = n, og v u = j. Det er fordelaktig å bruke den minste normalvektoren dere kan som inneholder heltall. Dette kan ofte minke mengden slurv og liknende. Angående hva en skriver holder det å skrive u v =... = (,, 2) = 2(,, ) også herfra bruke (,, ) som normalvektor. Det å regne ut normalvektorer kan eksemelvis gjøres via determinanter, under er en kort gjennomgang med noen enkle tips. Det å regne ut determinanter er noe jeg regner er kjent for de fleste. Likevel velger jeg å bruke noen korte ord på det her, likemye for en oppfriskning som for å gi ut noen hint. Den mest kjente måten er kanskje den som er vist under Vi ønsker å regne ut u v hvor, u = (, 3, ) og v = (2,, 6). Velger først å skrive opp determinanten vi må regne ut i j k u v =

3 + + + i j k i j Figur : Sarrus Regel u v = (3 6 i + 2 j + k) (3 2 k + i + 6 j) = 8i + j 6k = (8,, 6) Altså vi skriver opp de to første radene i matrisen igjen, legger sammen de røde linjene og trekker fra de blå. En ganske enkel metode, men fungerer kun for 3 3 matriser. En tilsvarende metode er å bruke Cramers regel. Her skriver vi (eller ser) hvilken rader som er positive og negative. Huskeregelen er at første element a er positiv, også alternerer det mellom positiv og negativ, som vist under. Eksempelvis for en 3 3 matirise, så velger vi en rad eller kolonne (søyle) til å benytte kofaktorekspansjon på. I eksempelet under bruker jeg dette på den første raden. i j k i j k 3 3 i j k [ = ] [ = ] [ = ] 3 3 u v = i j + k Fremgangsmåten er som følger, vii markerer første element i også ganger vi dette elementet med alt i ikke kan se. Altså det som ikke er rødt. Som tidligere nevnt trenger en ikke å alltid brukte kofaktorekspansjon på første rad. I dette tilfellet blir determinanten mye enklere å regne ut, om en utvider andre rad og ikke første. Som vist under. i j k i j k i j k u v = = ] [ = ] [ = ] i k i j [ j k 6 Herfra ser vi at det bare er den midterste matrisen som overlever, og gjør utregningen noe enklere. Dette er den mest vanlige måten å regne ut determinanten på, og fungerer for alle typer matriser. Er matrisene stor, kan en betraktelige minke arbeidet ved å velge riktig rad, eller søyle. 3

4 2. Enhetskvektorer Uttrykket enhetsvektor er noe som forvirrer mange. Hva det i praksis betyr er at en ønsker en vektor med lengde, altså som bare går en enhet. Måten vi konstruerer slike vektorer på er svært simpel, en bare tar vektoren og deler den på sin egen lengde. la oss si vi ønsker å finne enhetsvektoren til u = (2,, 4), dette gir oss û = u u = 2(,, 2) = (,, 2) 2 5 Å unngå å gange inn / 5 er en smakssak, i mine øyne ser det penere ut om en lar være. Det er heller ikke noe krav om og måtte gange inn, da felles faktorer alltid kan trekkes ut fra vektorer om dette virker rart, kan det være lurt å tegne noen eksempler, og se på hvorfor dette går bra. 3 Grenseverdier Intuisjonen av en grenseverdi kan for mange være noe uklar. Om vi for eksempel ser på f() 2 så betyr dette av vi ser på hva som skjer svært nærme 2. En grenseverdi bryr seg absolutt ingenting om hva sm skjer i punktet, men heller hva som skjer i et lite omhegn omkring punktet. La oss se på grafen til en funksjon 5 y Figur 2 Funksjonen er definert som følger { dersom 2 f() = 4 dersom = 2 4

5 La oss nå se på grenseverdien f() 2 Setter vi inn verdier svært nærme = 2 ser vi at f(.999) =.999, f(2.) = 2.. Fra figur, og noen antakelser ser vi at når vi nærmer oss = 2 både fra høyre og venstre, nærmer funksjonen seg 2. Mens setter vi inn = 2 i funksjonen så får vi f(2) = 4. Altså f() = 2 og f(2) = 4 2 Så dette er et eksempel på at verdien i punktet, ikke trenger å ha noe med grenseverdien å gjøre. Som nevnt bryr grenseverdien seg BARE om hva som skjer når vi nærmer oss et punkt! At en grenseverdi eksisterer, betyr at uansett hvordan vi nærmer oss punktet får vi samme verdi. I 2 dimensjoner er dette greit å forestille seg, da kan en bare gå fra høyre eller venstre mot grensen. I forrige figur så vi at vi nærmet oss 2 både fra høyre og venstre side av funksjonen. Dette kan for eksempel skrives som f() f() = Men det er ikke sikkert at grenseverdien for to retninger blir det samme. Ser vi på følgende tegning Så ser vi at hvis vi ønsker å bestemme grensen 4 3 y Figur 3: Grafen til funksjonen g() = / så vil vi få problemer, siden f() = g() og f() = + Altså eksisterer ikke grenseverdien 2 både fordi, grensene divergerer og fordi de ikke er like. Et annet eksempel på en grenseverdi er for eksempel f() = 5

6 når. Da har vi f() = f() = + og denne grenseverdien eksisterer siden f() + f(). Funksjonen er ikke deriverbar i, men som nevnt bryr grenseverdier seg fint lite om slike ting. 3. Kontinuitet Den enkleste intuisjonen på kontinuitet, er at du kan tegne funksjonen uten å løfte blyanten. Tilsvarende for at funksjonen er deriverbar er at den er myk, og ikke har noen spisse steder. At du kan tegne funksjonen uten å løfte blyanten er en veldig uformell måte å definere kontinuitet på. En bedre måte å forklare dette på er at grenseverdien og verdien i punktet er det sammme. Dette kan skrives som Teorem. En funksjon f(, y) er kontinuerlig i et punkt (a, b) hvis, og bare hvis f(, y) = f(a, b) (,y) (a,b) Hvis vi ser på figur 2, ser vi at dennne funksjonen ikke er kontinuerlig fordi f() = 2 mens f(2) = 4 2 Det blir akkuratt det samme i flere variabler. La oss se på enda en funksjon, antakeligvis en dere har sett før nemlig f() = sin Like godt kjent under navnet sinc(). Vi ønsker å undersøke om denne funksjonen er kontinuerlig. Første vi gjør er å se at L sin [ ] cos = Altså eksisterer grenseverdien. Men funksjonen er ikke kontinuerlig! Dette er fordi funksjonen ikke er definerbar for =. Husker vi tilbake så er kravet for kontinuitet at f(, y) = f(a, b) (,y) (a,b) mens i dette tilfellet så har vi faktisk at = udefinert som selvsagt bare er tull. Så hvis vi ønsker å sjekke at en funksjon er kontinuerlig i et punktm,må vi både sjekke at verdien i punktet eksisterer, og at grenseverdien går mot samme verdi. Hadde vi i stedet definert følgende funksjon { sin()/ når f() = når = så ville funksjonen vår vært kontinuerlig. Det samme gjelder selvsagt og i flere variabler. 6

7 Grenseverdier i flere variabler Hvis vi har en funksjon f(, y) kan vi ofte tenke på denne som en funksjon som tar inn, og y koordinater og spytter ut z koordinater. Den kan altså si noe om hvor høyt oppe du er. Løsningen av likningen 3 = f(, y), kan gi deg alle punkter eller steder hvor z = 3. En grei analogi er som følger, tenk deg du vil bestige et fjell det er mange veier og retninger du kan gå. Men hvis fjellet har en entydig topp, skal du nå denne uansett hvilken retning du beveger deg mot toppen. Om du klatrer fjellet fra øst, og kommer tilslutt til toppen 5 meter over bakken. Så klatrer du fjellet fra nord-vest og kommer til toppen 25 meter over bakken, så er det klart at fjellet ikke har noen vell definert enkel topp. En grenseverdi i flere variabler, eksisterer hvis du får samme verdi uansett hvordan du nærmer deg punktet. Et konkret eksempel er å se om følgende grenseverdi eksisterer. (y) y 4 Vi ser først at vi ikke bare kan plugge inn, og y verdiene, igjen fordi vi blåser i hva som skjer i (, ) vi er bare interessert i hva som skjer når vi nærmer oss punktet. Videre dersom vi går mot (, ) langs -aksen (Her er altså y = ) får vi følgende grenseverdi (y) y 4 ( ) = Igjen husker vi på at vi aldri lar blir, bare veldig nærme. Og uansett hvor nærme vi lar bli null, så vil alltid / =. Da har vi klatretfjellet fra øst, og prøver like gjerne en annen vei. Vi kan nå for eksempel gå fra nord mot punktet altså hvor =, da får vi (y) y 4 y ( ) y 4 3y 4 = På samme måte som før. La oss prøve enda en retning, da vi ikke er begrenset til å bare følge aksene. For eksempel nord-øst altså hvor = y. Da får vi følgende grenseverdi (y) y 4 y (y y) 2 y y 4 y y 4 4y 4 = 4 Oi! Altså eksisterer ikke grenseverdien. Vi ser at om vi går mot punktet (, ) langs aksene så ender vi opp i punktet (,, ) mens om vi går langs y =, så ender vi opp i punktet (,, /4). Slik at grensen ikke er entydig! Under er en skisse av funksjonen for å styrke intuisjonen, merk at det å tegne slike funksjoner ikke er et must. 7

8 .5 z.5 y Figur 4: Grafen til funksjonen f(, y) = (y) 2 /( 4 + 3y 2 ) For å vise at en grense ikke eksisterer, kan ofte følgende metode fungere. Se om uttrykket kan forenkles (Har du 2 + y 2, er det lurt å skriv om til polar) 2. Test langs aksene 3. Får du ulike verdier i 2 eksister ikke grensen. Hvis du får like, fortsett til Prøv og fjern en av variablene, og bruk vanlige teknikker (taylor,l hôpital,etc) til å vise at den ikke eksisterer 5. Test langs veien y = k, for ulike k. 6. Klarer du å skrive om til polar (Har du 2 + y2, er dette veldig lurt) og test for alle vinkler 7. Klarer du ikke forrige punkt, kan du så smått begynne å anta at grenseverdien eksisterer. Men dette må selvsagt bevises. Da er det litt andre metoder som skal til for å vise dette. Som regel er det enkelt å finne to veier som gir ulik z, verdi enn å begynne å vise at en grenseverdi eksisterer. Kan gi et par eksempler på punktene, en oppgave fra øvingen er for eksempel L = ( y) y y 2 2y 2 + y 2 = 2 y 2 + y 2 8

9 Dersom vi følger veien y = eller =, her altså langs aksene får vi L =. Dersom vi i stedet følger banene y =, får vi L = 2 = 2 = 2 2 = y 2 + y 2 Altså eksisterer ikke grenseverdien, da vi har funnet to veier som gir ulik verdi! Og grenseverdien eksisterer dermed ikke. Tar igjen med tegning, bare for å lære dere sånn ca, hvordan disse funksjonene ser ut 2 z.5 y.5 Figur 5: Grafen til funksjonen f(, y) = ( y) 2 /( 2 + y 2 ) Velger så å ta en småstygg oppgave fra øvingen. L = cos 2 /2 4 + y 4 Det enkleste å se her, er at uttrykket inneholder bare en y, og det er dermed lett å gjøre om grensen til en grense av en variabel. Dette gjøres ved å følge veien y =, altså langs -aksen mot origo. L hôpital gir oss da L = cos 2 /2 4 + y 4 ] cos 2 /2 4 + [ ] sin 4 3 = cos + 2 [ 9

10 Her går teller mot 2 mens nevner går mot uendelig, altså eksisterer ikke grensen. Legg merke til notasjonen [/], dette er standard for å vise at vi benytter oss av L hôpital. Merk følgende at L hôpitals setning bare er gyldig for funksjoner av en variabel! Dersom du vil teste om en grenseverdi eksisterer er det et par ting en kan gjøre. Algebraiske forkortninger og forenklinger 2. Skrive om til polar om det ikke blir for stygt 3. Rekkeutviklinger ( taylor ) 4. Epsilon/Delta Og det er egentlig alle redskapene dere sitter inne med nå til å vise at grenseverdier eksisterer. Som dete sikkert forstår er dette mer krevende enn å vise at en grense ikke eksisterer. Et par eksempler: ( + y) 2 ( y) 2 L y ([ + y] + [ y])([ + y] [ y]) y 4 = 4 4y y I overgang til 2 ble konjugatsetningen benyttet i teller a 2 b 2 = (a + b)(a b) Og enda en bare for å slå inn poenget om hvor viktig algebra er. L = 2 + y y y y y y ( 2 + y 2) ( 2 + y ) ( 2 + y 2 + ) 2 ( 2 + y 2) ( 2 + y ) 2 + y y = 2 Hvorvor vi har lov til å bare sette inn på slutten har med at vi vet at og y aldri vil by på noen problemer når det kommer til å være definert og slikt. Oppgaven kunne og vært løst ved å bytte til polar, når, y er dette det

11 samme som at r, setter vi inn = r cos θ og y = r sin θ fås L = 2 + y y 2 + r (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 (r cos θ)2 + (r sin θ) 2 + r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) r r2 (cos 2 θ + sin 2 θ) + r 2 r r2 + r2 + + r2 + + ( r2 + + ) r r 2 (r 2 + ) 2 r r2 + + = 2 Samme som før, og samme frengangsmåte, det var mest for å vise at omgjøring til polar er gyldig og. Legg merke til at grenseverdien er uavhengig av vinkelen. Et litt mer nyttig eksempel med polar er følgende L = 3 y y 2 (r cos θ) 3 (r sin θ) 3 r 2 + y ( 2 r cos 3 θ r sin 3 θ ) r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) r [ cos 3 θ sin 3 θ ] r = r r 2 Om en ikke vet om en grense eksisterer eller ei, er det mye lettere å først prøve å vise at den ikke eksisterer enn at den gjør det. Eksempel: Vise at en funksjon er kontinuerlig Velger å ta et siste eksempel, er som vanlig strandet på en øde øy og lurer på om følgende funksjon er kontinuerlig. 3 y g(, y) = 6 + y 2 dersom 2 + y 2 dersom 2 + y 2 = Denne er litt ekkel, og det er derfor jeg tar den. Vi prøver som vanlig og først se langs aksene våre. Da får vi følgende grenser g(, y) g(, y) y y 6 + y 2 y 6 = y 2 =

12 Så det kan være at grenseverdien eksisterer, vi må teste litt mer. Jeg lar det være opp til leser å vise at å bytte til polar koordinater fungerer heller labert her. Slik at vi ser at så lenge vi beveger oss langs aksene blir grensen null. Det neste smarte trikset er å se på grensen langs alle rette linjer. Altså y = m, hvor m er et reelt tall. Alle slike baner, vil gå gjennom origo så vi har ingen problemet med å la m være hva som helst. g(, y) 3 m 6 + (m) 2 m m 2 = Hvor vi ser at grensen blir null uansett hvilken m vi velger. Så alle rette linjer mot origo gir, men betyr dette at grensen blir null? La oss teste et par kurvede linjer mot origo. Altså vi lar y = k. Da har vi atter en gang g(, y) 3 k 6 + ( k ) 2 3 k + k 3 Herfra ser vi at grensen blir, for alle k 3. Mens for k = 3, blir grensen /2! g(, y) 3 k + k 3 + = 2 Altså eksisterer ikke grenseverdien! Altså er ikke funksjonen kontinuerlig i origo, siden g(, y) = g(, ) Det som er litt spesielt er at grenseverdien nærmer seg, uansett hvilken rett linje du velger å følge. Og det samme gjelder for nesten alle kurvede linjer på formen y = k hvor k >, untatt for en enslig kurve nemlig y = 3, som bare ødelegger alt. Selv syntes jeg dette er ganske kult.. 2 z 2.5 y Figur 6: Grafen til funksjonen f(, y) = 3 y/( 6 + y 2 ) Litt av grunnen til dette kan en se ved å se på når nevner er null, og hva som skjer da med teller. Men tja, overlater det til leser. 2

13 Ekstra unyttig informasjon Helt generelt dersom en går mot grensen langs en polynomkurve, altså en kurve på formen y = a + a a Så vil grenseverdien vil grenseverdien bli g(, y) = a 3 (a 3 ) 2 + dersom y P dersom y P Hvor P er mengden av alle polynomer som har a 3 3 som sin minste potens. Eksempelvis så har polynomet g() = a a 3 3 faktisk 2 som sin minste potens. Mens f() = 3 har 3 som sin minste potens. Så g P, mens f P. Igjen har dette med hvordan funksjonen oppfører seg veldig nærme origo, beviset for dette er for langt til å få plass i margen her.. Men ja, dette er mer en fun fact enn noe som er nyttig =p Poenget er at det er en veldig smal stripe med funksjoner som ødelegger for at funksjonen skal være kontinuerlig, og det er kult! (Kanskje..) 4 Tilnærminger Her ønsker jeg å bare beskrive kort hvordan vi kan tilnærme funksjonsverdier. Den mest klassiske måten dere skal benytte dere av heter på fancy pancy spåket lineær approksimasjon. Enkelt å greit går dette ut på å bruke tangenten til funksjonen, til å tilnærme en nærliggende funksjonsverdi. En gjør dette fordi det forenkler regningen, både for hånd og for datamaskiner. Et konkret eksempel blir gitt under. La oss si vi er strandet på en øde øy og ønsker å tilnærme verdien e = e.5. Har vi ikke kalkulator blir e.5 litt vanskelig å regne ut. Den kanskje enkleste tilnærmingen er at vi først velger å definere en funksjon f() = e som ligner litt på problemet vårt. Fra figur ser vi at en nærliggende tangent, ikke er så veldig langt unna funksjonsverdien. Fra tegning blir det klart hvorfor denne metoden kan gi en grei tilnærming Vi kan dermed med trygghet si at f(.5) T (.5) Så det å tilnærme e.5 er det samme som å tilnærme funksjonsverdien til f i punktet =.5. Spennende! Først lager vi en tangent i et punkt nærme =.5, for eksempel =. Vi kunne nok dessverre ikke brukt =.5 eller =, grunnen får dere finne ut av selv. Men poenget er at regningen ikke bir enklere, og da mister metoden mye av vitsen. Regner vi ut tangenten fås T () = f ()( ) + f() = + Tilnærmingen til e.5 eller f(.5) blir nå bare f(.5) T (.5) =.5 Den faktiske verdien av e er.64872, så vi traff ganske godt med en såpass simpel tilnærming. For høyere nøyaktighet kan vi for eksempel bruke maclaurin rekken til e, men det gidder jeg ikke 3

14 2.5 2 y Figur 7: Grafen til funksjonen f() = e og T () er tangenten til f. I flere dimensjoner blir det noe vanskeligere å tegne så det gidder jeg ikke.. Men prinsippet er det samme! Vi laget en tangent nærme punktet (her blir det et tangentplan, men det er ikke så viktig) også bruker vi dette planet til å tilnærme verdien. Eksempel: Igjen er vi strandet på en øde øy, og ønsker å beregne verdien cos(3.) 4 e.2, igjen lager vi en funksjon som likner på tallet vi ønsker å tilnærme. Logisk nok velger jeg f(, y) = cos() 4 e y Så regner jeg ut tangentplanet til f i et ganske nærme punkt. For eksempel (π, ), dette er de nærmeste pene tallene jeg kommer på til (3.,.2). Regner ut de partiell deriverte til denne funksjonene og funksjonsverdien f(π, ) = f (π, ) = 4 sin(π) cos(π) 3 e = og f y (π, /2) = cos(π) 4 e = Så setter vi inn verdiene i planlikningen og får T (, y) = f(, y ) + f (, y ) ( ) + f y (, y ) (y y ) = + ( π) + (y ) = + y Bruker vi samme fremgangsmåte som før, nemlig at tangenten er ca lik verdien til f, får vi at f(3.,.2) T (3.,.2) =.2 Den faktiske verdien til f er f(3.,.2).2294 så igjen traff vi rimelig godt. At forsvant i planlikningen gjør egentlig ingenting, det gjør av vi får et mindre nøyaktig svar men her går det fint da cos() 4 nære = 3. er svært,svært nærme 4

15 . Igjen kan vi bruke taylor av flervariable til å få en enda bedre tilnærming. Men det tar tid så det gidder jeg ikke. En mer praktisk nytte av dette kan sees innen programering og liknende. Det å regne ut nøyaktige funksjonsverdier kan være veldig krevende for datamaskiner, og ta mye tid. Da kan en heller bruke ulike metoder til å tilnærme verdiene med en høy nok sikkerhet. 5 Polarkoordinater Tenkte å ta noen grunnleggende ord om det å tegne saker og ting om tegning av funksjoner i polarkoordinater. Og også litt om å tegne funksjoner i maple! Merk at maple er et godt verktøy for å se for seg figurer, og regne ut saker og ting. Men er på ingen måte obligatorisk i kurset. Velger å se nærmere på funksjonen f(θ, r) = cos(2θ)θ r 2 som er et artig dyr fra øvingen. Her skal vi tegne ulike nivåkurver til funksjonen. Altså vi skal prøve å beskriv hvordan høyden til funksjonen oppfører seg. Det første vi gjør er at jeg sier at jeg ønsker å tegne funksjonen for ulike z verdier, kan gjerne sette z = c. Setter jeg dette inn, og rydder opp fås c = cos 2θ r 2 cr 2 = cos θ Altså har vi nå skrevet r som en funksjon av θ. Radiusen fra origo, avhenger altså av vinkelen. For å tegne funksjonen velger jeg først å lage en enkel skisse av cos 2θ r 2 π 2 π 3π 2 2π θ Velger for enkehletens skyld å se på når c =. I figuren vil y-verdien, eller høyden til kurven vise vår radius r 2, mens -aksen vil representere θ. Fra figuren ser vi for eksempel at når θ = så er r 2 =. Eller at når θ = π/4 så er r 2 = osv. Merk at siden vi har r 2 får vi to verdier. Velger å plotte et par av disse punktene i y planet under. Så konkret tar jeg frem passeren min lager en ca så stor radius som jeg skal ha, tegner så buen. Før jeg måler opp vinklen og tegner en linje slik at vinkelen mellom linja og -aksen er θ. Slik dere er vant til å tegne punkter i polarkoordinater. De fire andre bladene blir like på grunn av symmetri. Så dette er hvordan vi tegner slike stygge beist. La oss se litt nærmere på funksjonen f(r, θ) = cos 2θ r 2 går vi nærmere og nærmere origo, går nevneren mot og funksjonen eksploderer. Mens om vi øker r, synker funksjonen vår drastisk. Dermed er det logisk at når vi tegner konturlinjer med høyere z verdi vil disse ligge nærmere og nærmere 5

16 .5 y origo. Der hvor cos 2θ er negativ vil funkjsonen vokse negativt, og hvor den er positiv vil funksjonen vokse positivt. Fra figur ser vi at cos 2θ for θ (π/4, 3π/4) (5π/4, 7π/4). Altså vil de 2 bladene langs -aksen være positive, og de to bladene langs y-aksen være negative. Bladene langs -aksen vil gå mot, når r, mens de to andre vil gå mot. Under er noen figurer av dette. Figur 8: 3D konturtegning av f(r, θ) = cos(2θ)/r 2 I figurene Så he mi juksa lite, da funksjonen først er skrevet om til kartesiske koordinater også plottet. Grunnen er så enkel som at maple og sylinderkoordinater ikke er venner. Antakeligvis har de hatt en traumatisk fortid. Det å gjøre den omskrivningen er ikke nødvendig, men det kan jo være greit bare for treningen. Uansett, det første problemet er hva cos(2θ) blir i kartesiske koordinater, det eneste vi vet er at = r cos(θ), og y = r sin(θ). Via litt trigonometri så har vi 6

17 Figur 9: Kontourplot av til f(r, θ) = heldigvis at cos(2) = cos() cos() sin() sin() = cos() 2 ( cos() 2 ) = 2 cos() 2 Hvor vi brukte identiteten cos(a + B) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b). Bytter vi om til kartesiske får vi altså g(, y) = cos(θ)2 r 2 = (/r)2 r 2 = 2 r 2 r 4 = 2 y 2 ( 2 + y 2 ) 2 som er en del lettere å tegne i maple. Grafene ovenfor ble laget via komandoene restart; with(plots); g(,y) = (ˆ2-yˆ2)/(ˆ2+yˆ2)ˆ2; contourplot3d(g(, y), = -.., y = -.., filled = true, coloring = [blue, red], contours = 2, aes = boed) contourplot(g(, y), = -.., y = -.., filled = true, coloring = [blue, red], contours = 2, aes = boed) 7