NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN
|
|
- Leiv Ellefsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner definert på (delmengder av de) reelle tallene, dvs. at både definisjonsmengde og verdimengde er delmengder av de reelle tall R. For en slik funksjon f med definisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f : D(f) R. Husk at en funksjon f er kontinuerlig i et punkt 0 D(f) (der D(f) er definisjonsmengden til f) dersom lim f( = f( 0 ). 0 Setter vi dette sammen med den formelle definisjonen på grenseverdi får vi: Definisjon.. Funksjonen f kalles kontinuerlig i et punkt 0 D(f), hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.) D(f) og 0 < δ = f( f( 0 ) <. Vi merker at begrepet kontinuitet over er definert i enkeltstående punkter 0 i definisjonsmengden. Tallet δ vi finner, avhenger således ikke bare av, men av 0. Husk også at vi sier at f er kontinuerlig på et intervall I dersom f er kontinuerlig i alle punkter 0 I. Det betyr altså at det for ethvert punkt 0 I finnes en δ = δ(, 0 ) som oppfyller kriteriet (.2). At δ avhenger (vanligvis) av 0, ser vi i følgende eksempel: Eksempel.2. Funksjonen f( = 2 er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Vi må vise at f er kontinuerlig i et vilkårlig punkt 0 I. Gitt > 0. La { } δ = min, Om 0 < δ, da vil spesielt < 0 <, slik at +2 0 < + 0 < +2 0, som medfører at + 0 < Siden vi også har at 0 < +2 0, får vi f( f( 0 ) = = < ( ) =. Noen ganger kan vi imidlertid finne en δ = δ() som gjelder for alle 0 I samtidig. Følgende eksempel viser dette: Versjon datert
2 2 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Eksempel.3. (a) Funksjonen f( = { 2 er} kontinuerlig på intervallet [ 2,2], og samme bevis som over viser at δ = min, 5 fungerer for alle 0 I, siden { } { min, min, } når (Dette betyr at δ en vi finner for punktene 2 og 2 holder for alle andre punkter i intervallet [ 2, 2] også.) (b) Funksjonen f( = er kontinuerlig på hele intervallet I = (, ). Gitt > 0 og 0 I. La δ = 3. Om 0 < δ, da vil f( f( 0 ) = (3+5) (3 0 +5) = 3 0 < 3 3 =. Vi merker at δ en vi fant er uavhengig av punktet 0 I. De to siste eksemplene illustrerer forskjellen mellom begrepene kontinuerlig og uniformt kontinuerlig på et intervall I: en funksjon er uniformt kontinuerlig på I dersom den er kontinuerlig i ethvert punkt i I slik at det finnes en δ = δ() slik at (.2) er oppfylt for alle 0 I samtidig, dvs. slik at { } (.2), 0 I og 0 < δ = f( f( 0 ) <. For å vise symmetrien mellom og 0 bedre bytter vi dem gjerne ut med og 2 slik at den formelle definisjonen blir som følger: Definisjon.4. Funksjonen f kalles uniformt kontinuerlig på intervallet I, hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at { } (.3), 2 I og 2 < δ = f( ) f( 2 ) <. Begge funksjonene i Eksempel.3 er altså uniformt kontinuerlige på de oppgitte intervallene, siden de δ ene vi fant var uavhengige av punktene i intervallene. Fra definisjonen merker vi spesielt at en uniform kontinuerlig funksjon på et intervall I er også kontinuerlig på I, dvs. kontinuerlig i alle punkt i I. Det motsatte holder ikke, f.eks. er f( = 2 kontinuerlig på hele R = (, ), men ikke uniformt kontinuerlig der, som vi vil se i Eksempel 2.4 under. (Vi så allerede i eksempel (.3) over at δ en vi fant var avhengig av 0, men vi har strengt tatt ikke vist at det ikke kan finnes noen annen δ som er uavhengig av 0.) Bemerkning.5. Merk at begrepet uniform kontinuitet kun er definert på intervaller I og at det ikke gir mening å spørre om en funksjon er uniformt kontinuerlig i et punkt. Begrepet kontinuitet er imidlertid definert punktvis, og av den grunn kaller vi det ofte punktvis kontinuitet. Bemerkning.6. Adams definerer kun uniform kontinuitet på lukkede og begrensede intervaller (i Appendiks IV), mens vi her ser på dette mer generelt. 2. Noen viktige resultater og eksempler som involverer uniform kontinuitet Vi vil i denne seksjonen se på noen kjente og viktige resultater som omhandler begrepet uniform kontinuitet. Det første, Teorem 2., er Teorem 4 fra Appendiks 4 i Adams, og sier at begrepene kontinuitet og uniform kontinuitet er de samme på lukkede, begrensede intervaller. Dette resultatet er en helt essensiell ingrediens i beviset for at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er Riemann-
3 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 3 integrerbar (Teorem 5 i App. IV) og er en av grunnene til at begrepet uniform kontinuitet er en del av pensum i dette kurset. Andre resultater, som Satsene 2.2 og 2.2 og Observasjon 2.4 har (med jevne mellomrom og i forskjellige varianter) blitt gitt å bevise på eksamen. Forsøk dere derfor gjerne selv på bevisene før dere leser dem. Om dere ikke kommer igang, ta en titt på kun de første linjene: de gir gjerne viktige hint som kan være nok til å fylle ut resten. De første resultatene gir tilstrekkelige betingelser for at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. De kan altså brukes for å konkludere at en funksjon er uniformt kontinuerlig på et intervall. Teorem 2.. Dersom f er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall [a, b], da er f også uniformt kontinuerlig på [a,b]. Bevis. Se Adams (bevis for Teorem 4 i Appendiks IV). Sats 2.2. Anta at funksjonen f er derivérbar og at den deriverte er begrenset på intervallet I. Da er f uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Vi har at f ( M for en konstant M, for alle I, per definisjon av begrenset. Ved Sekantsetningen ( Mean value theorem ) har vi at for alle, 2 I, så finnes en c = c(, 2 ) I (avhengig av, 2 ) slik at Dermed har vi f( ) f( 2 ) = f (c)( 2 ). (2.) f( ) f( 2 ) = f (c) 2 M 2 Gitt > 0. La δ = M. Dersom 2 < δ, da vil vi ved (2.) få at (2.2) f( ) f( 2 ) M 2 < M og vi har vist (.3). M =, Bemerkning 2.3. Det motsatte av Sats 2.2 holder ikke: f kan være uniformt kontinuerlig selv med ubegrenset derivert. Kan dere komme på et eksempel? Etter å ha tenkt litt, se fotnoten. Vi vil også få bruk for følgende to enkle observasjoner: Observasjon 2.4. Dersom f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c), da er f også uniformt kontinuerlig på (a,c). (Dette holder også om a = eller c =.) Dette følger av at vi for gitt > 0, kan finne δ > 0 (hhv. δ 2 > 0) slik at hvis, 2 (a,b] og 2 < δ (hhv., 2 [b,c) og 2 < δ 2 ), da er f( ) f( 2 ) < 2. Dette fordi f er uniformt kontinuerlig på (a,b] og [b,c) per antagelse. La nå δ = min{δ,δ 2 } og, 2 (a,c) slik at 2 < δ. Om, 2 (a,b] eller, 2 [b,c), vet vi allerede at f( ) f( 2 ) < 2 <. Om (a,b] og 2 [b,c) (eller omvendt), da vil ved trekantulikheten f( ) f( 2 ) f( ) f(b) + f( 2 ) f(b) < =. Funksjonen f( = /3 er uniformt kontinuerlig på [,] ved Teorem 2., men f ( = 32/3 når 0.
4 4 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Observasjon 2.5. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et intervall I, da er f også uniformt kontinuerlig på ethvert delintervall J I. Dette følger direkte fra definisjonen av uniform kontinuitet. Eksempel 2.6. Både Teorem 2. og Sats 2.2 kan brukes til å vise at funksjonen f( = 2 er uniformt kontinuerlig på ethvert begrenset intervall I. Et begrenset intervall I er på formen [a,b], (a,b), [a,b) eller (a,b] for a,b R. Vi har selvfølgelig at f ( = 2 ma{2a,2b} for alle I, slik at den deriverte er begrenset og f( = 2 er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. På den annen side, ved Teorem 2., er f( = 2 uniformt kontinuerlig på [a,b] og er derfor uniformt kontinuerlig på delmengden I [a,b] ved Observasjon 2.5. Eksempel 2.7. Funksjonen ( f( = 2 sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her( kan ) vi ikke bruke Teorem 2., men vi bruker Sats 2.2. I tillegg bruker vi at sinθ sin < for alle. (Dette er bevist i beviset for at lim θ 0 θ = i Adams, Teorem 8 i 2.5: ( ) her vises nemlig ulikheten cosθ < sinθ θ < ; dette gir sinθ θ <, som gir sin < ved å sette inn θ = /.) Vi får da at: ( f ( ) ( sin ) ( + cos ) ( = 2 sin cos 2 < 2 + = 3, og f er uniformt kontinuerlig ved Sats 2.2. Eksempel 2.8. Noen ganger må vi kombinere flere resultater og tenke litt lurt for å avgjøre spørsmål om uniform kontinuitet. Det gjelder f.eks. om vi skal vise at funksjonen ( f( = sin er uniformt kontinuerlig på (0, ). Her kan vi ikke bruke Teorem 2. direkte, og heller ikke Sats 2.2 direkte, siden ( f ( = sin ( cos ikke er begrenset. Merk at problemet oppstår når 0. Om, har vi nemlig ( f ( = sin ( ) ( sin ) + cos ( ) cos + = 2, og vi kan konkludere fra Sats 2.2 at f er uniformt kontinuerlig på [, ). Hva med intervallet (0,]? Vi merker at lim f( = 0 0 ved Skviseteoremet. Dette betyr at funksjonen { ( ) sin når 0 F( = 0 når = 0.
5 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 5 er kontinuerlig på hele R, og lik f( om 0. (Vi sier at F er en kontinuerlig utvidelse av f.) Ved Teorem 2. er F uniformt kontinuerlig på [0,], og følgelig også på (0, ] (ved Observasjon 2.5). Siden F = f på (0, ], er f uniformt kontinuerlig på (0,]. Siden f er uniformt kontinuerlig på begge intervallene (0,] og [, ), er f uniformt kontinuerlig på (0, ) (ved Observasjon 2.4). På samme måte kan vi vise at f er uniformt kontinuerlig på (,0). De to neste resultatene gir nødvendige betingelser for at en funksjon skal være uniformt kontinuerlig på et intervall, dvs. at de gir egenskaper som en uniformt kontinuerlig funksjon må ha. De kan derfor brukes for å konkludere at en funksjon som ikke oppfyller disse kravene ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Spesielt interessant er det første teoremet: husk at en kontinuerlig funksjon på et lukket, begrenset intervall er begrenset der ved Begrensningsteoremet ( Boundedness Theorem ) (Teorem 5 i Appendiks III i Adams). Fjerner vi betingelsen om at intervallet skal være lukket, gjelder ikke Begrensningsteoremet: tenk f.eks. på den kontinuerlige funksjonen f( = / på det begrensede intervallet (0, ]. En uniformt kontinuerlig funksjon er imidlertid alltid begrenset på et begrenset intervall, selv om intervallet ikke skulle være lukket. Dette følger fra neste teorem: Teorem 2.9. Dersom f er uniformt kontinuerlig på et begrenset intervall I, da er f også begrenset på I. Bevis. At I er begrenset, betyr at I er på formen [a,b], (a,b], [a,b) eller (a,b), med a,b R. Velg en hvilken som helst > 0, f.eks. =. Siden f er uniformt kontinuerlig, finnes en δ > 0 slik at f( ) f( 2 ) < = når, 2 I og 2 < δ. Del I opp i N like store delintervaller I,...,I N, der N er så stor at bredden på intervallene er b a N < δ. (Det holder med N slik at N > b a δ.) La z i være midtpunktet i I i. (Vi kan regne ut at z i = a+(i 2 )b a N.) For hver i og I i, er z i < δ, og vi har derfor f( = f( f(z i )+f(z i ) f( f(z i ) + f(z i ) + f(z i ). Da må, for I, f( +ma i N { f(z i ) } Sett M := ma i N { f(z i ) }. Da er f( M +. Bemerkning 2.0. Merk at en ekvivalent formulering av teoremet er: Dersom f er ubegrenset på et begrenset intervall I, da er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Dette er grunnen til at teoremet kan brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et intervall. Bemerkning 2.. Det motsatte av teoremet holder ikke, selv for kontinuerlige funksjoner: f kan være kontinuerlig og begrenset på et begrenset intervall I uten ( ) å være uniformt kontinuerlig der. Et eksempel på dette er funksjonen f( = sin på (0,), se Eksempel 3. nedenunder.
6 6 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY Det neste resultatet er svært enkelt og kan i motsetning til Teorem 2.9 også brukes til å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig på et ubegrenset intervall: Sats 2.2. Hvis det for hver h > 0 er slik at f(+h) f( er ubegrenset på I, så er f ikke uniformt kontinuerlig på I. Bevis. Dette følger direkte av definisjonen på uniform kontinuitet. Eksempel 2.3. Funksjonen f( = er ikke uniformt kontinuerlig på (0,), ved Teorem 2.9, siden den ikke er begrenset der. Men vi kan også bruke Sats 2.2 til å vise at f( = ikke er uniformt kontinuerlig på (0,): Vi regner ut f(+h) f( = +h h =, (+h) som ikke er begrenset for noen h > 0 for (0,), siden h lim =, 0 (+h) og derfor kan ikke f( = være uniformt kontinuerlig på (0,). (Funksjonen er ei heller uniformt kontinuerlig på noe begrenset intervall (0, a), (a, 0) eller på (0, ) eller (,0).) Hva med intervallet I = (, )? Er f uniformt kontinuerlig her? Tenk litt og se så på fotnoten. 2 Eksempel 2.4. Funksjonen f( = 2 er ikke uniformt kontinuerlig på [0, ). Her er intervallet ikke begrenset, så vi kan ikke bruke Teorem 2.9. Vi kan imidlertid bruke Sats 2.2. Vi har nemlig at f(+h) f( = (+h) 2 2 = 2h+h 2, som ikke er begrenset for noen h > 0, siden lim 2h+h 2 =, slik at f( = 2 ikke er uniformt kontinuerlig på [0, ) ved Sats 2.2. Funksjonen f( = 2 er heller ikke uniformt kontinuerlig på noe annet ubegrenset intervall. 3. Noen flere eksempler Vi avslutter med tre litt mer krevende eksempler, der ingen av resultatene over er tilstrekkelige for å avgjøre spørsmålet om uniform kontinuitet og vi må enten bruke definisjonen direkte eller tenke litt lurt. Eksempel 3.. Funksjonen ( f( = sin er ikke uniformt kontinuerlig på (0,). En funksjon er ikke uniformt kontinuerlig på et intervall I hvis og bare hvis betingelsen i definisjonen ikke er oppfylt: dette betyr at det finnes en > 0 slik at 2 Ja, f( = er uniformt kontinuerlig på (, ), ved Sats 2.2, siden f ( = 2 < for >.
7 NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET 7 det ikke finnes noen δ = δ() som oppfyller (.3). Omformulert får vi: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.) 2 < δ og f( ) f( 2 ). (I praksis betyr dette at vi kan finne punktpar vilkårlig nær hverandre, men slik at avstanden mellom funksjonsverdiene holder seg større eller lik et gitt tall. Hvordan finner vi slike punktpar? For funksjoner som har grafer som svinger mye, som i dette eksempelet, kan vi lete etter par av -verdier som gir toppene og bunnene.) I vårt konkrete tilfelle merker vi at ( ) ) (3.2) sin sin( = 2 2 om = π 2 +2πn og = 3π πn, for et heltall n, som gir 2 (3.3) = π(4n+) og 2 2 = π(4n+3). Vi får 2 2 = π(4n+) 2 4 = π(4n+3) π(4n+)(4n+3) og dette er < δ om 4 (3.4) πδ < (4n+)(4n+3) = 6n2 +6n+3. Dermed, gitt en δ > 0, kan vi velge et stort nok heltall n slik at (3.4) er oppfylt, og la og 2 være som i (3.3). Da vil (3.2) være oppfylt og (3.) vil være oppfylt for = 2. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (0,). Eksempel 3.2. Funksjonen f( = cos er ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Igjen bruker vi kriteriet fra Eksempel 3. over: f er ikke uniformt kontinuerlig på I hvis og bare hvis det finnes en > 0 slik at for enhver δ > 0, så vil det finnes, 2 I slik at (3.5) 2 < δ og f( ) f( 2 ). Vi tar = (men resonnementet vil også fungere for andre ). La δ > 0 være gitt. Velg h slik at 0 < h < min{δ,π}. Da er sinh > 0. La (3.6) = π 2 +2nπ og 2 = +h for et heltall n. Da vil cos = 0 og sin = og f( 2 ) f( ) = f( +h) f( ) = ( +h)cos( +h) cos = ( +h)(cos cosh sin sinh) cos ( π ) = 2 +2πn+h sinh > 2πnsinh
8 8 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY og dette er dersom (3.7) n 2πsinh (hvor vi har brukt at sinh > 0). Velg derfor et heltall n som tilfredsstiller (3.7) og h slik at 0 < h < min{δ,π} og la, 2 være som i (3.6). Da vil 2 = h < δ og f( ) f( 2 ), slik at(3.5) vil være oppfylt for =. Følgelig er f ikke uniformt kontinuerlig på (, ). Eksempel 3.3. Funksjonen f( = sine er uniformt kontinuerlig på [, ). Vi kan ikke bruke Sats 2.2, siden f ( = e cose sine 2 e er ubegrenset (siden lim = ), og vi kan heller ikke bruke Teorem 2. direkte. Gitt > 0. Siden lim f( = 0 (ved Skviseteoremet), vil det per definisjon finnes en R > 0 slik at Derfor har vi at f( < 3 når R. (3.8) f( ) f( 2 ) f( ) + f( 2 ) < < når, 2 [R, ). Hvis R, er vi derfor allerede ferdige. Om R >, da observerer vi at f er uniformt kontinuerlig på [,R] ved Teorem 2., slik at det finnes en δ > 0 slik at (3.9) f( ) f( 2 ) < 3 når, 2 [,R] og 2 < δ. Om [,R], 2 [R, ) og 2 < δ, da vil også R < δ, slik at f( ) f( 2 ) = f( ) f(r)+f(r) f( 2 ) f( ) f(r) + f(r) + f( 2 ) < = og vi er ferdige, ved å kombinere med (3.8) og (3.9). Merk at kjerneobservasjonen i dette eksemplet var at lim f( = 0. Argumentasjonen i dette eksemplet vil fungere på lignende måte for enhver funksjon f slik at grensen lim f( eksisterer. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 2, 5008 Bergen.
Notasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3
DetaljerANDREAS LEOPOLD KNUTSEN
NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken
DetaljerLøsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse
DetaljerLitt topologi. Harald Hanche-Olsen
MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
Detaljerlny = (lnx) 2 y y = 2lnx x y = 2ylnx x = 2xlnx lnx
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 3.7 95 Vi antar at > 0 og får Avsnitt 3.8 6 a) 2π/3 b) π/4 c) 5π/6 ln = (ln) 2 = 2ln = 2ln = 2ln ln.
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09
Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerAnalysedrypp IV: Metriske rom
Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en
DetaljerGrunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,
Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende
DetaljerLøysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016
Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som
Detaljer. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38 Oppgaver til seminaret 22/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
Detaljer. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerINVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS
INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
DetaljerAnalysedrypp III: ɛ-δ og alt det der
Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerFinne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerEKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS
EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 5.6 5 La ABC være en trekant, og la m A,m B og m C være midtnormalene på de
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,
DetaljerEksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerFremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
DetaljerFremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner
1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerLogaritmer og eksponentialfunksjoner
Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange
DetaljerMA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerDerivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
DetaljerEksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:
Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerEksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:
Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerOPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
DetaljerUtvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma
Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerPartielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerK A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo
K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerMer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner
MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske
DetaljerNotat om trigonometriske funksjoner
Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks
Detaljer