Løsningsforslag til øving 1

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse tallene kan like gjerne betraktes som vektorer (derav pilene). Merk også at selv om x jy er en kompleks størrelse, så er x og y reelle tall Ex. (a) Benytter vanlige multiplikasjonsregler, men husk at j ( ) ( 5 j)( j) ( j) 5 5 j j j j j (0 ) j( 5 ) 0 5 j8 ( 5 j8)( j ) 5 j0 j j (c) j.88 j0. j ( j )( j ) Merk! Multipliserer med den kompleks-konjugerte av nevneren. Det gir et reelt tall i nevner. x jy, * x jy * (x jy)(x jy) x y (5 j) (5 j) (5 5) j( ( )) j (g) j j j 5 j (5 j)(5 j) 5 Ex. (a) Generelt: b ± b ac ax bx c 0 x a ± ± ± j Her: x x 0 x ± j Røtter: x j og x j side av 8

2 Ex. (b) Vi kunne løst problemet enkelt med DeMoivres teorem (kapittel..), men prøver her heller å faktorisere likningen: x 8 0 x 8 ( ). Det er åpenbart at x er én løsning. Det vil si: x 8 (x )(x ax ) 0, hvor a konstant. Kan enkelt bestemme a: x (a )x (a )x 8 0 a x 8 (x )(x ± ± x ) 0 x eller x ± Røtter: x, x j, x j ( Jamfør oppg. 8 for en enklere løsningsmetode ) j Alternativt: Polynomdivisjon: x x 8 : x x x x x 8 x x x 8 8 x x 8 ( resten 0 Ex. 5 Setter x j y og dermed * x j y. Det gir: * ( *) x y ( x jy (x jy)) x y jy j Sammenlikner reelle og imaginære ledd på hver side av likningen: x y y, x 9 x ± 9 ± y Det gir mulige løsninger: j og j (x )(x x ) av utregningen som før) Ex. 8 (L) (L) w jw j8 j(8 w) L innsatt i L: ( j(8 w) ) w ( j)w ( ) j j w j ( j)( j) j j 5 j00 j ( j)( j) 5 5 j w innsatt i L: j(8 (5 j)) j( j) ( ) j j Svar: j, w 5 j side av 8

3 Ex. 5 Ved å betrakte tallene som komplekse vektorer ser vi svaret på (a) og (c) direkte fra Arganddiagrammet. c r Im() a r j - Re() Forenklet polar form: (a) j ~ 90 j Eller mer formelt: j cos e (c) ~ 80 - d r - j Eller mer formelt: cos j cos e (d) r ( ), θ tan j cos jsin (g) Modul (lengde): r Argument (vinkel): tan θ rad. Merk! Må trekke fra (rad.) i argumentet fordi j ligger i. kvadrant i Arganddiagrammet. j α tan θ α ( ) j. 55 ( cos(.55) (.55). e j.55 (i) Direkte: ( j)( j) Eller: ( j) 5 θ, ( j) ( j)* 5 θ ( j)( j) 5 5 ( θ ( θ)) 5 0 Ex. 8 Generelt: Med jθ re r θ m m m n m n r r r (mθ nθ ) og (mθ nθ ) n n r j j j (a) e e ( ( )) 8 8 e 8 8 (c) ( ( )) ( ) e j side av 8

4 Ex. 9 (a) Venstre side: sin( α β) j( α β) e Høyre side: jα e sin α cos β cos α sin β e j j( α β) e j jα j( α β) j( α β) j( α β) j( α β) e e e e e j j( α β) j( α β) e e j Samme resultat på venstre og høyre side, altså må jβ jβ e e jα jα e e jβ jβ e e j j( α β) j( α β) j( α β) j( α β) e e e sin( α β) sin α cos β cos α sin β j( α β) e j( α β) e j Alternativt: sin( α β) j( α β) e hvor : jα jβ e e (cos α jα jβ e e (cos α j( α β) e j α)(cos β α)(cos β jα jβ jα jβ e e e e β) (cos α cos β sin α sin β) j(sin α cos β cos α sin β) A jb j β) cos α cos β sin α sin β j(sin α cos β cos α sin β) A jb sin( α β) (A jb) (A j jb) j B j B sin α cos β cos α sin β Ex. 0 (a) 5 Bruker først resultatet i Ex.9(a): ( ) 5 ( ) ( ) 5 sin j sin cos j cos( ) sin( j ) 5 5 hvor: sin( ) sin(50 ), cos( ) Fra boka, likning. a,b, har vi: cos( j) cosh, sin( j) jsinh j( j) j( j) e e e e e e Eller utregnet: cos( j ) cosh(). 5 j( j) j( j) e e e e e e e e sin( j) j j j j 5 Ergo: sin( j ) cosh j sinh 0. j h().5 Ex. (a) 5 j r 5 9, θ arg() tan ( ). j. Dvs. 5 j e j. j. Da må ln(5 j) ln( e ) ln ln e ln() j. ln(e) ln() j. 5 (b) θ tan j r,.kvadrant ln j ln(r) jθ ln j j 90 Obs! Se kommentar neste side. side av 8

5 Kommentar til Ex. Verdiene i (a) og (b) kalles på engelsk principal values, og skrives ofte med stor bokstav Ln Ln j arg. Egentlig vil logaritmen til et komplekst tall anta uendelig mange verdier: ln Ln j arg j n, hvor : n 0, ±, ±,... Ex. 5 Merk! Benytter egentlig samme teknikk som i oppgave 8. (a) j. Da må: ( cos jsin ) j j ( cos jsin ) (d) j. Da må: 8( cos jsin ) 8 ( cos jsin ) j 8 j8 Eller mye enklere i dette tilfellet: 8( j ) 8 j8 Ex. (a) (Jamfør læreboka, side -) jθ n jnθ n jnθ Dersom e cos θ θ, må e cos nθ nθ og e n Dermed: n cos nθ () For n gir det cos θ, og dermed : ( ) cos θ () Utmultiplisering av venstre side av () gir: ( ) ( ) ( ) Kombinerer () og () og får: cos θ ( ) ( ) cos θ cos θ 8 Dermed: cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 8 8 cos nθ nθ Ex. (a) jθ jθ Ut i fra Ex. må: (cos θ θ) e ( e ) (cos θ θ) Ganger ut høyre side: (cos θ θ) cos θ cos θ θ cos θ ( θ) cos θ cos θ sin θ j cos θ sin θ θ Sammenlikner vi reelle og imaginære ledd hver for seg, finner vi: sin θ cos θ sin θ sin θ ( og cos θ cos θ cos θ sin θ ) ( θ) side 5 av 8

6 Ex. 8 8 j8 8 8 tan () k (8 j8) ( k ) ( k ), hvor : k 0,, Dvs. røttene er ( med C.5 ) : Eller på kartesisk form: C, C og C C. j j j. Im() Re() Merk! Røttene er jevnt fordelt ( 0 ~ rad mellom hver rot) langs en sirkel med radius C. Dersom vi har funnet f.eks.. j0. 58, kan vi alternativt sette a og a a * hvor: a 0 cos0 jsin 0 j - Ex. 9 (a) ( j j) tan ( k ) ( cos( k ) jsin( k )), hvor : k 0,,, j tan 8 (c) ( ) ( j ) 8 ( k ) 8 ( k ) 8 cos k k, hvor : k 0,,, Ex. Bruker kvadratrotsetningen som i oppg. (a) ( j5) j8 5 0 ( j5) ± ( j5) (j8 5) ( j5) ± 9 5 j0 j 0 ( j5) ± j Ser deretter på rot-uttrykket isolert: j tan ( ) Det gir: j j0. 8 ( j5) ± (.058 j0.8) Vi får løsninger:.59 j. og 0. j. 5 side av 8

7 Ex. (a) Alle komplekse tall x jy som oppfyller Re 5 betyr x 5 (Dette blir en rett vertikal linje) (b) kan leses som alle x jy som har avstanden til punktet ( x, y) (, 0) Med andre orde en sirkel med sentrum ( x, y) (, 0) og radius Med Pytagoras: x jy (x ) jy (x ) y (Standardlikningen for en sirkel med radius r og sentrum i (a,b) er ( x a) (y b) r ) (c). Med Pytagoras tilsvarende som i (b): (x ) y ( (x ) y ) x x y 9 ( x x y ) x 0x 8y 8 x x y x y 5 9 x y 5. Dette er en sirkel med sentrum i, 0 og radius (d) arg( ) arg(x jy). Vi vet at argumentet til w a jb er kun hvis både a og b ligger i.kvadrant, dvs. a > 0 og b > 0, og at b y. ( Siden tan a ). Betyr i vårt tilfelle at: y x og x > x Dette er en halvlinje, dvs. en rett linje med stigningstall, men som starter først når x > yim() (b) (d) (c) xre() (a) - - side av 8

8 Ekstraoppgave: U _ I R Y jωc I c X L jωl I I Y jωc I c U _ cos ϕ 0.8 sin ϕ 0. I 5 ϕ 5 (cos ϕ ϕ) 5 (0.8 j0.) j (A) I c Y U j j (A) Kirchhoffs lov: I ' I I c j j j (A) Ohms lov: U U ( R jωl) I ' 00 ( j)( j) 00 j j 8 j På polar form: U tan.9. (V) Viserdiagram: (Bare en prinsippskisse, ikke tegnet i riktig målestokk) U jωl I -ϕ. I U RI I c I I c Y U j0.0 ( j) 0. j. (A) I I ' I c j 0. j..8 j0.88 (A) 0.88 På polar form: I tan.9.8 (A).8 * S U I ( j)( ) 0 j5. Dette representerer hhv. aktiv og reaktiv effekt, dvs. P 0 W, Q 5. var Kontroll: * P U I cos ϕ W ( Alternativt: P Re( U I ) Re(00 ( j)) 00 W ) * Strømvarmetap: PR I ' R I ' ( I ' ) R ( j)( j) 0 W P PR P W side 8 av 8