Notat om trigonometriske funksjoner

Transkript

1 Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks som vist på figur under. Dersom lengden s A Figur : En vinkel A på sirkelbuen med radius fra det ene vinkelbeinet til det andre er s, sier vi at A er s radianer. Vi kan altså lage en vinkel på s radianer ved å velge et punkt P på en sirkel med radius og sentrum i O, og la punktet Q s bevege seg en avstand s mot klokka på sirkelen fra P. Vinkelen POQ s, altså vinkelen mellom linjestkkene OP og OQ s, er da på s radianer. Se figur under. Dersom vi lar Q s bevege seg Q s s O P Figur : En vinkel på s radianer. en hel omdreining, svarer det til en vinkel på π radianer, siden omkretsen til en sirkel med radius er nettopp π. Som kjent fra før, svarer dette til 60,

2 slik at og dermed har vi 60 = π radianer () = π 60 radianer 60 = radian π Disse formlene gjør det enkelt å regne om fra det ene vinkelmålet til det andre. Vi tar noen eksempler: Eksempel. Uttrkk 45 i radianer. Løsning: Vi bruker formelen = π 60 radianer fra over, og multipliserer med 45 på begge sider. Vi får 45 = 45 π 60 radianer = 90π 60 radianer = π 4 radianer. Eksempel. Hvor mange grader svarer en vinkel på π/ radianer til? Løsning: Vi vet at slik at radian = 60 π π radianer = π 60 = 60 = 60. π 6π Sinus og cosinus Vi plasserer nå figur inn i et koordinatsstem, slik vi har gjort på figur ). Anta at punktet Q s har koordinater (, ). Vi definerer cosinus til s og sinus til s ved cos(s) :=, og sin(s) := Dette er nå to funksjoner, definert for s [0, π) (med andre ord, definisjonsmengden er [0, π)). Vi skal senere utvide disse til funksjoner definert på hele R, men la oss først gjøre noen utregninger. Først og fremst er det lett å se geometrisk at cos(0) = og sin(0) = 0 og tilsvarende at cos(π/) = 0 og sin(π/) =, cos(π) = og sin(π) = 0 og til slutt at cos(π/) = 0 og sin(π/) =. Alt dette følger av at Q 0 = (, 0), Q π/ = (0, ), osv. La oss se på noen litt mer kompliserte eksempler:

3 = sin(s) Q s s O = (0, 0) = cos(s) P = (, 0) Figur : Sinus og cosinus til π/ radianer (60 ). Eksempel. Finn sin(π/4) og cos(π/4). Løsning: Betrakt trekanten som er tegnet i figur 4. Vi antar at vinkelen α = π/4 (45 ). Siden trekanten er rettvinklet, må også den siste vinklen β være π/4 radianer - dette fordi vinkelsummen alltid er π radianer (80 ). Det følger at sin(π/4) = cos(π/4) - hvis vi antar at hpotenusen er, så er sin(α) = = cos(β) (tilsvarende er cos(α) = = sin(β)). Siden så har vi sin (s) + cos (s) = cos (s) = cos (s) = cos(s) = = = Vi tok den positive kvadratroten, siden vinkelen π/4 befinner seg i første kvadrant. Dermed følger det også at sin(π/4) = /. Vi har gitt noen flere eksakte verdier i tabell under: Merk at alle vinklene vi

4 β α Figur 4: En trekant s 0 π/6 π/4 π/ π/ cos(s) / / / 0 sin(s) 0 / / / Tabell : Eksakte verdier av sinus og cosinus for noen vinkler. har oppgitt eksakte verdier for sinus og cosinus til befinner seg i første kvadrant. Verdier for vinkler i andre kvadranter kan finnes ved å gjøre bruk av visse trigonometriske identiteter, som vi oppgir her: ( cos s + π ) = sin(s) cos(s + π) = cos(s) ( sin s + π ) = cos(s) sin(s + π) = sin(s) Disse og flere finnes i Matematisk formelsamling (av Karl Rottmann). For å ta et eksempel, så kan vi skrive slik at cos fra tabellen over. Tilsvarende blir ( ) π sin π = 4π 6 = π 6 + π 6 = π + π 6 ( ) π ( π = cos + π ) ( π ) = sin = 6 6 ( π ) = cos = 6 Flere verdier kan tilnærmes ved bruk av kalkulator eller datamaskin. Merknad. Vi nevner i forbifarten en viktig kilde til feil (både på øvinger og eksamen) når man regner med trigonometriske funksjoner, nemlig feilaktig innstilte kalkulatorer. Kalkulatorer kan som oftest regne med både radianer og grader, men det 4

5 betr naturlig nok at man må eksplisitt velge hvilket vinkelmål man ønsker. En feilaktig innstilt kalkulator kan få katastrofale følger (for utregningene, iallefall ). F.eks er sin(π/ radianer) =, mens sin(π/ ) = sin( ) = Grafen til funksjonene cos() og sin() er vist under, henholdsvis figur 5 og Figur 5: Funksjonen cos() Figur 6: Funksjonen sin() Som tidligere nevnt, så ønsker vi å utvide funksjonene sin og cos til hele R. Idèen, rent grafisk, er å klippe ut bildet av grafen for [0, π), lage et uendelig antall kopier og lime disse inn etter hverandre, slik at de til slutt dekker hele den reelle tallinjen. Rent matematisk, så utvider vi ved å kreve at cos( + kπ) = cos(), og sin( + kπ) = sin() for alle heltall k. De resulterende grafene er vist på figur 7 og 8. Vi har nå gitt en definisjon av cosinus og sinus til vinkler større enn π og for negative vinkler, og disse stemmer bra med vår intuisjon om hvordan ting bør være. Hvis vi starter fra en vinkel s og beveger oss en hel omdreining, er vi tilbake der vi startet - dermed bør også sinus og cosinus til disse to vinklene stemme overens, og det gjør de. Videre er det ikke unaturlig å tenke at negative 5

6 4π π π π π π π 4π Figur 7: Funksjonen cos() 4π π π π π π π 4π Figur 8: Funksjonen sin() vinkler bør svare til bevegelse i motsatt retning, altså med klokka. Vi kommer f.eks til samme sted på sirkelen enten ved å bevege oss 70 (π/ radianer) mot klokka eller ved å bevege oss 90 med klokka. Dermed bør cos( π/) = cos(π/) og tilsvarende for sinus. Dette stemmer, siden π + π = π + 4π = π Funksjoner der grafen gjentar seg selv med jevne mellomrom langs hele tallinjen kalles periodiske - mer formelt, vi sier at en funksjon f er periodisk med periode T dersom f ( + T) = f () for alle D f. Både sin() og cos() er altså periodiske med periode π. Tangens Vi definerer nå tan() := sin() cos() 6

7 Siden cos() = 0 for = ±π/, ±π/, ±5π/,..., så blir definisjonsmengden R \ {± π, ± π, ± 5π },... Funksjonen tan() er periodisk med periode π, siden tan( + π) = Vi har tegnet grafen på figur 9 under: sin( + π) cos( + π) = sin() cos() = sin() cos() = tan() Figur 9: Funksjonen tan(). De stiplede linjene svarer til punkter utenfor definisjonsmengden - disse kalles også for funksjonens (vertikale) asmptoter. 4 Oppgaver Oppgave. Regn om 0 til radianer. Oppgave. Regn om 5 til radianer. Oppgave. Finn vinkelen som svarer til π/6 radianer (regn om til grader og tegn den inn på en sirkel). Oppgave 4. Finn vinkelen som svarer til 7π/8 radianer (regn om til grader og tegn den inn på en sirkel). 7

8 Oppgave 5. Finn verdiene av sin(π/) og cos(π/). Finn deretter verdiene av sin(7π/) og cos(7π/). Oppgave 6. Dersom vi vet at sin(π/6) = /, hva blir da cos(π/6)? (Hint: bruk at cos () + sin () =.) Oppgave 7. Finn tan(0), tan(π/6) og tan(π/4). Bruk svaret fra oppg. 6 og eksempel 8