0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

Transkript

1 Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på detaljerte utledninger. Dette gjelder spesielt enkelte kompliserte integraler, som vi også kan nne frem til på egen hånd ved å slå opp i matematiske formelsamlinger. Vi starter med en introduksjon av komplekse tall. 0. Kort introduksjon til komplekse tall Siden kvantefysikken er formulert ved bruk av komplekse tall, skal vi her gi en kort innføring i bruken av slike tall. Den imaginære størrelsen i er denert som kvadratroten av, eller som Dette gir uten videre at i = p i = Det komplekse tallet z kan skrives som z = x + iy. Den kompleks konjugerte av et kompleks tall fremkommer ved å erstatte alle forekomstene av det imaginære tallet i med i. Den kompleks konjugerte av z skrives som z og er gitt ved z = x iy. Tallverdien av z er denert som jzj = p zz = p (x + iy) (x iy) = p x + y Argand-diagrammet Det komplekse tallet z = x + iy kan representeres som a) punktet P (x; y) i xy-planet eller som b) vektoren OP! fra origo til punktet P. (Se gur nedenfor). I begge tilfeller kalles x-aksen for den reelle aksen, mens y-aksen kalles imaginæraksen. Denne representasjonen kalles et Argand-diagram. Figur : Argand-diagram

2 og Uttrykt i polarkoordinater (r; ) har vi at x = r cos og y = r sin z = r (cos + i sin ) der polarvinkelen er argumentet til z. Vi ser at lengden r på vektoren! OP er gitt ved r = p x + y = p zz = jzj Det komplekse tallet uttrykt ved en eksponensialfunksjon Fra algebraen vet vi at e x = + x + x + + n! xn + setter vi inn x = i, nner vi e i = i x! + 4! 4 6! ! 3 + 5! 5 7! 7 + der vi har ordnet de reelle og de imaginære leddene hver for seg. Vi kjenner igjen de to parantesene som cosinus- og sinus-seriene, slik at vi kan skrive e i = cos + i sin som er kjent som Eulers formel. Det komplekse tallet z kan derved skrives som Som et eksempel ser vi at Andre eksempler Fra Eulers formel ser vi umiddelbart at z = x + iy = r (cos + i sin ) = re i jzj = zz = r e i e i = r cos = ei + e i og sin = i e i e i Fra e i = cos + i sin = e i e i = (cos + i sin ) = cos sin + i ( sin cos )

3 nner vi ved å sammenligne de reelle og de imaginære delene at Generellt kan vi skrive at cos = cos sin og sin = sin cos e in = cos n + i sin n = (cos + i sin ) n der n er et vilkårlig positivt heltall. Vi kan også enkelt nne uttrykk for sin + sin og cos + cos : Vi starter med e i + e i = cos + cos + i (sin + sin ) Venstresiden kan skrives som e i + e i = e i= e i= e i= e i= + e i= e i= e i= e i= i( )= = e i= e i= e i( )= + e = e i(+)= ( ) cos der vi har brukt ligning 0.. Siden e i(+)= ( + ) ( + ) = cos + i sin nner vi ved å sammenligne de reelle og de imaginære delene med ligning 0. at og cos + cos = cos ( ) cos ( + ) ( ) ( + ) sin + sin = cos sin Disse uttrykkene får vi bruk for senere i kurset. Som nevnt er kvantefysikken vanligvis formulert ved hjelp av komplekse funksjoner. Om Z(x; t) er en slik funksjon (i dette tilfellet en funksjon av de reelle variablene x og t), betyr dette ikke annet enn at vi generelt kan skrive jz (x; t)j = X (x; t) + iy (x; t) der X (x; t) og Y (x; t) er to reelle funksjoner av x og t. På samme måte som ovenfor er Hyperbolsk sinus og cosinus sinh = e Når er meget stor, kan vi tilnærmet skrive Når er meget liten, kan vi tilnærmet skrive jz (x; t)j = X (x; t) + Y (x; t) e og cosh = e + e sinh cosh e = sinh og cosh 3

4 0. Noen elementer fra statistikk Fra statistikken henter vi to nyttige størrelser, middelverdi og standardavvik. For N målinger x i av en variabel x i en kontinuerlig fordeling er middelverdien gitt ved NX x = N i= x i Standardavviket, som er et mål på usikkerhet eller feilanslag er gitt ved v NP u t (x i x) i= x(= x ) = N Ofte er sannsynlighetsfordelinger beskrevet ved den såkalte gaussfordelingen som er gitt ved! (x a) f (x) = C exp b der a, b og C er konstanter. For en sannsynlighetsfordeling kreves det at R + f(x)dx =. Vi sier at funksjonen er normert, og konstanten C kalles da ofte en normaliseringskonstant. Denne kan nnes til C = = ( p b). Middelverdien for N målinger av størrelsen x med denne fordelingen vil gå mot x = a når N!, og standardavviket vil gå mot = b. Middelverdien kan beregnes fra og standardavviket fra x = Z + xf(x)dx = a s Z + = x f(x)dx = b Dette kan skjekkes fra standard formelsamlinger. 0.3 Fouriertransformasjoner Innledning Fouriers teorem sier at enhver periodisk funksjon f (x) med bølgelengde 0 (bølgetall k 0 = = 0 ) kan skrives som en uendelig sum f (x) = a 0 + X [a n cos (nk 0 x) + b n sin (nk 0 x)] n= Legg merke til at når for eksempel x = 0, så er k 0 x =, som betyr at fasen (k 0 x) varierer fra 0 til når x går fra 0 til 0. Koefsientene a m og b m kan nnes ved å multiplisere begge sider av ligningen med henholdsvis cos (mk 0 x) og sin (mk 0 x) og integrere over en bølgelengde. 4

5 Integralene forsvinner når n 6= m og for alle de blandete produktene cos (nk 0 x) sin (mk 0 x) slik at vi forholdsvis enkelt nner at a m = 0 Z 0 0 f (x) cos (mk 0 x) dx og b m = 0 Z 0 0 f (x) sin (mk 0 x) dx Ofte kan man få en ganske god tilnærming til funksjonen etter noen få ledd. Vi anbefaler å prøve ved hjelp av Maple eller en grask lommekalkulator å representere en periodisk steppfunksjon som starter med verdien f (x) = for 0 < x < 0 = og f (x) = for 0 = < t < 0. Vi nner at " f(x) = 4 # X (n + ) sin [(n + ) k 0x] n=0 Resultatet er vist på guren under for ett, to, tre, re og ni ledd.vi ser at vi kommer nærmere Figur : Representasjon av en steppfunksjon ved hjelp av fourierserier. og nærmere den ønskete steppfunksjonen når vi tar med ere ledd. Fouriers teorem. Fouriers teorem kan brukes dersom vi istedet for en periodisk funksjon med bølgetallene nk 0 som i ligning 0.3 har et kontinuerlig spektrum av bølgetall k. Vi legger merke til at uttrykket e ikx kan skrives e ikx = cos (kx) + i sin (kx), der vi har brukt Eulers formel. Fouriers teorem sier at om vi kjenner den kontinuerlige fordelingen f e (k) av bølgetallene så kan den kontinuerlige fordelingen i posisjon f(x) representeres av f(x) = p Z + Fordelingen e f (k) kalles ofte spektralinholdet. 5 ef (k) e ikx dk

6 Dersom f (x) er kjent, kan spektralinnholdet nnes fra ef(k) = p Z + f (x) e ikx dx Disse uttrykkene kalles fouriertransformasjoner, og den første betegnes som den inverse fouriertransformasjonen (k! x), mens den andre betegnes som fouriertransformasjonen (x! k). Disse transformasjonene er meget nyttige når vi skal beskrive kvantemekaniske partikkelbølger. Eksempel. Overgang fra diskontinuerlig til kontimuerlig spektralinnhold. Vi ser igjen på guren. Den første kurven er en enkel sinusbølge f(x) = sin (k 0 x) med bølgetall k 0. Den andre kurven har den samme fundamentale bølgelengden, men har i tillegg en bølge med bølgetallet 3k 0 og tredjedelen av amplityden. Den tredje kurven består av tre bølger med bølgetall k 0, 3k 0 og 5k 0, osv. Disse kurvene kan representeres ved hjelp av grafene a, b og c i guren 3, som viser bølgene representert ved sine spektralinnhold. Figur 3: Tre bølger fra gur representert ved sine spektralinnhold. Vi ser nå på bølger som har spektralinnhold som vist i første del av gur 4. De tilhørende bølgene er vist på samme guren. Vi ser at vi har fått frem noe som likner på bølgepakker, men legg merke til at når vi går fra (a) med tre bølgetall til (b) med ere mellomliggende bølgetall, går de resulterende bølgepakkene fra hverandre. Når vi går over til et kontiuerlig spektralinnhold, får vi uendelig avstand mellom pakkene. Vi skal i kurset vise at en kvantemekanisk partikkel kan representeres som en bølgepuls med lokalisering i et område uttrykt f.eks. med en sannsynlighetsfordeling f (x) av den kontinuerlige variable x, og med spektralinnhold gitt av fordelingen e f(k). Det er derfor meget nærliggende å tenke seg at en partikkelbølge må svare til en bølge med kontinuerlig spektralinnhold f(k). Vi kommer tilbake til dette i kapittel. 6

7 Figur 4: To bølger med samme fundamentale bølgelengde, men med forskjellige spektralinnhold 7