Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai eksamensoppgaver.org

Transkript

1 Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org

2 eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org. Løsningen er myntet på elever og privatister som vil forbrede seg til eksamen i matematikk. Lærere må gjerne bruke løsningsforslaget i undervisningsøyemed, men virksomheter har ingen rett til å anvende dokumentet. Løsningsforslagene skal utelukkende distribueres fra nettstedet eksamensoppgaver.org, da det er viktig å kunne føye til og rette eventuelle feil i ettertid. På den måten vil alle som ønsker det, til enhver tid nne det siste oppdaterte verket. eksamensoppgaver.org ønsker videre at est mulig skal få vite om eksamensløsningene, slik at det nnes et eget nettsted hvor man kan tilegne seg dette gratis. Dersom du sitter på ressurser du har mulighet til å dele med deg, eller ønsker å bidra på annen måte, håper eksamensoppgaver.org på å høre fra deg.

3 eksamensoppgaver.org 3 Innholdsfortegnelse oppgave 1 4 a) b) c) d) e) f) g) oppgave 8 a) b) c) oppgave 3 9 a) b) c) d) e) f) oppgave 4 - alternativ I 1 a) b) c) oppgave 4 - alternativ II 13 a) b) c) oppgave 5 15 a) b) c) d) e)

4 eksamensoppgaver.org 4 oppgave 1 a) fx) = cos x sin x deriverer funksjonen f x) = cos x) sin x + cos x sin x) f x) = sin x sin x + cos x cos x f x) = sin x + cos x her bruker vi identiteten f x) = sin x + 1 sin x ) f x) = 1 sin x bruker sammenhengen for cosx) f x) = cosx) b) gx) = sin x + 1) 4 deriverer gx) med kjerneregelen g x) = sin x + 1) 4) sin x + 1) g x) = 4 sin x + 1) 3 cos x c) 3e x dx = 3 e x dx = 3 1 ex = 3 ex + C

5 eksamensoppgaver.org 5 d) ln x) dx x skriver om integranden 1 x ln x dx deriverer ln x ved å bruke kjerneregelen ln x ) ln x) = ln x 1 x og bruker delvis integrasjon med disse sammenhengene u = 1 x = u = ln x v = 1 x ln x = v = ln x begynner integrasjonen ln x x = ln3 x ln x 1 ln x dx x trekker sammen det røde integralet. ln x ln x = x ln3 x x dx Dette integralet er likt det vi begynte med, vi ytter det over og multipliserer med 1 3 på begge sider av likhetstegnet. 1 ln 3 3 x x dx = 1 3 ln3 x ln x x dx = 1 3 ln3 x + C

6 eksamensoppgaver.org 6 e) x + y + z + 4x 6y + z = Vi vil nne Sx, y, z) og r av kula gitt av likningen ovenfor. fullstendige kvadrater for hvert av komponentene til kula. Vi lager x + ) = x + 4x + 4 y 3) = y 6y + 9 z + 1) = z + z + 1 Vi har altså lagt til = 14 på venstre side av likningen vi skal omforme. Dermed må vi gjøre det samme på høyre side. ferdig skrevet x + ) + y 3) + z + 1) = + 14 x + ) + y 3) + z + 1) = 4 Da har vi funnet sentrum og radius. De er gitt ved S, 3, 1) og r = 4 f ) skriver om likningen 4 sin x + cos x = 3 x [0, π sin x + arctan x + arctan )) = ) ) 1 3 = arcsin 0 x kπ x π kπ k Z Vi ser at det kun er en løsning i første omløp. x x 1.943

7 eksamensoppgaver.org 7 g) avbetaling Fast beløp per mnd 36 mnd nedbetalingstid 1.5% rente per mnd første betaling 1 mnd etter kjøpet Vi skal bruke ei geometrisk rekke for å nn ut hvor mye Hans skal betale hver måned. Tar først for oss det første avdraget av de 36 avdragene, a 1. a 1 = Dette beløpet skulle blitt betalt dersom avdragene skulle vært varierende, mens oppgaven sier han skal betale et fast beløp. Uansett, første innbetaling må skje en måned etter kjøpet, og det vil derfor bli pålagt rente. Renta er k = ) = slik at beløpet blir og den geometriske rekka er gitt ved dermed har vi videre vet vi at antall måneder slik at summen av rekka blir a 1 k = a n = a 1 k n 1 a n = n 1 n = 36 S 36 = ) = og av dette skal han betale et fast beløp per måned, og da blir det

8 eksamensoppgaver.org 8 oppgave a) Her kan vi bruke en binomisk sannsynlighetsfordeling fordi det er to komplementære sannsynligheter i uavhengige forsøk. Denerer slik X = `Antall ganger den lander på en av de største sidene`. ˆp = X n = = 0.81 og standardfeilen ˆp 1 ˆp) Sˆp = = n 100 b) ˆp z Sˆp Vi vil ha et 95% kondensintervall. Leser av tabell i formelsamling og nner z = , , c) Vi får følgende ulikhet ) ) n n n n 3.9 kvadrerer ) n 3.9 vi kan multiplisere med n på begge sider i ulikheten, for vi vet at n > 0 ) n ) n n Vi kan altså konkludere med at de må kaste minst 37 ganger for å oppnå det.

9 eksamensoppgaver.org 9 oppgave 3 a) OC = [0, 3, 0] = C0, 3, 0) OE = OD + OA = [0, 0, 5] + [, 0, 0] = [, 0, 5] = E, 0, 5) OF = OE + OC = [, 0, 5] + [0, 3, 0] = [, 3, 5] = F, 3, 5) b) CE = [, 3, 5] = + 3) + 5 = 38 Vil bestemme ECF, og nner vektoren CF = [, 3 3, 5] = [, 0, 5] og videre cos ECF ) = cos ECF ) = CE CF CE CF [, 3, 5] [, 0, 5] + 3) cos ECF ) = ) 9 ECF = arccos c) l har retningsvektoren CE = [, 3, 5] og jeg tar utgangspunkt i E, 0, 5) for å bestemme parameterfremstillingen for l. l x = + t y = 3t z = 5 + 5t

10 eksamensoppgaver.org 10 d) Lager en parameterfremstilling for ei linje gjennom A og G med retningsvektor AG. Kaller denne linja ξ. Finner først OG = OD + OC = [0, 0, 5] + [0, 3, 0] = [0, 3, 5] = G0, 3, 5) Vi vet at A, 0, 0) AG = [0, 3, 5] = [, 3, 5] Tar utgangspunkt i A og setter følgende for ξ x = s ξ y = 3s z = 5s Setter deretter ξ = l s = + t 3s = 3t 5s = 5 + 5t 1 + t) = + t 31 + t) = 3t s = 1 + t t = + t 3 + 3t = 3t 4t = 6t = 3 t = 1 0 = 0 s = ) Setter inn for t i l x = + 1 ) = 1 y = 3 1 ) = 3 z = ) = 10 5 = 5 og nner K 1, 3, 5 ) kontrollerer dette ved å sette inn for s i ξ s = 1 ser ut til å stemme det, ja :) x = 1 = 1 y = 3 1 = 3 z = 5 1 = 5

11 eksamensoppgaver.org 11 e) Planet α går gjennom O0, 0, 0) og står normalt på CE. Det betyr at CE er normalvektoren til α. CE = [, 3, 5] α : x 0) + 3)y 0) + 5z 0) = 0 α : x 3y + 5z = 0 f ) Kaller avstanden fra α til C0, 3, 0) for d d = 0) + 3) 3) + 5 0) + 3) + 5 = 9 38 =

12 eksamensoppgaver.org 1 oppgave 4 - alternativ I a) Rad n Oddetall Summen av oddetallene i rad n = = = = = = 6 3 b) Summen av denne aritmetiske rekka nner vi ved å bruke formelen for denne aritmetiske rekka S m = a 1 + a m m der a 1 = 1 og a m = m 1 slik at 1 + m 1) S m = = m m = m = m m c) Masse cred til Jarle Alexander Møller som løste denne oppgaven i kommentarfeltet for dette eksamensprospektet n 3 = S n I deloppgave b viste vi at S n = S m = m 1) = m = n 3 = m Setter inn for m oppgitt i oppgaven): = n 3 = n)

13 eksamensoppgaver.org 13 oppgave 4 - alternativ II a) b) x + y ) 3 = x 4 x = r cos θ y = r sin θ bruker innsetting r cos θ) + r sin θ) ) 3 = r cos θ) 4 r cos θ + r sin θ ) 3 = r 4 cos 4 θ r sin θ + cos θ )) 3 = r 4 cos 4 θ r ) 3 = r 4 cos 4 θ vi vet at r > 0 Mette har rett! r 3 = r 4 cos 4 θ r 6 r 4 = cos4 θ r = cos 4 θ r = cos θ

14 eksamensoppgaver.org 14 c) x + y ) 3 = x 4 x + y = 3 x 4 y = 3 x 4 x y = x 4 3 x Grensene for dette integralet nner jeg grask, jfr bildet nedenfor x [ 1, 1] 1 ) ) π x 4 3 x dx 1 Denne guren er symmetrisk om andreaksen, og vi kan derfor skrive om til 1 ) ) π x 4 3 x dx Videre, løser vi ut integranden slik 0 x 4 3 x ) = x x x 4 = x 8 3 x x 4 da får vi π 1 0 x ) [ ] x 3 + x 4 3 dx = π 11 x x x5 = [ ] 3 π 11 x x x5 = π ) 0 = 16π 5 715

15 eksamensoppgaver.org 15 oppgave 5 a) fx) = e x cos x Finner f x) = e x ) cos x + e x cos x) f x) = e x cos x e x sin x f x) = cos x sin x) e x bestemmer f x) = e x ) cos x + e x cos x) ) e x ) sin x + e x sin x) ) f x) = e x cos x e x sin x e x sin x e x cos x trekker sammen f x) = e x sin x b) Setter f x) = 0 og tar det derfra forutsetter at cos x 0 cos x sin x)e x = 0 e x cos x e x sin x = 0 e x cos x e x cos x = ex sin x e x cos x 1 = tan x x = arctan1) dropper alle andre løsninger da x [ π, π ] x = π 4 π ) = f e π π ) 4 cos = e π = dermed har vi T π 4, π ) e 4 e π 4

16 eksamensoppgaver.org 16 c) e x sin x = 0 sin x = 0 x = arcsin 0 husker igjen på at x [ π, π ] x = 0 = f0) = e 0 cos0) = 1 1 = 1 vendepunktet er V 0, 1) d) Velger cm som enhet. Har markert punktene for intervallet x [ π, π ] som også viser seg å være nullpunktene på grafen. Toppunktet T og vendepunktet V er også markert på grafen. Dette er de viktigste punktene, og er det eneste man trenger å vite for å skissere en graf. e) π π bruker delvis integrasjon og setter π π e x cos x) dx u = e x = u = e x v = sin x = v = cos x π e x cos x) dx = e x cos x e x sin x) dx π

17 eksamensoppgaver.org 17 skifter fortegn foran det røde integralet π π π e x cos x) dx = e x cos x + e x sin x) dx π delvis integrasjon igjen, denne gangen på det røde integralet π π u = e x = u = e x v = cos x = v = sin x π e x cos x) dx = e x cos x + e x sin x e x cos x) dx π ytter det røde integralet over på venstre side. dividerer med på begge sider π e x cos x) dx = cos x + sin x)e x π π π e x cos x) dx = cos x + sin x) 1 ex π π evaluerer grensene F π ) F π ) ) 1 = e π 1 ) e π = e π + 1 e π.51cm Som en artig digresjon, vil jeg vise dette grask på bildet nedenfor. Vi kan observere at arealet under grafen er tilnærmet gitt ved.5cm. Dette er jo veldig nærme det vi fant i integralet, og viser hvor utrolig eektivt og eksakt integralet forteller om arealet under grafen. Fantastisk!

18 eksamensoppgaver.org 18 Dersom du er interessert, nner du ere løsningsforslag på eksamensoppgaver.org SLUTT