At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i d

Transkript

1 Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel I dette kaittelet har mange av ogavene et mindre teoretisk reg enn i de foregaende kaitlene, og jeg regner derfor med at lrebokas eksemler og fasit er dekkende for de rent regnemessige ogavene. Jeg har derfor rioritert a lage lsningsforslag til ogaver som tester din geometriske forstaelse av de komlekse tallene (ogave..7 og..10) og gir velse i matematisk argumentasjon (ogave.1.10,..1 og..15). Du vil likevel ogsa nne enkle eksemler a hvordan du oversetter frem og tilbake mellom kartesisk form og olarform (ogave..,..5,..1 og..), hvordan du nner tredjertter (ogave..), og hvordan du kan lse komlekse annengradsligninger (ogave..9 og..11). Ogave..8 viser en tyisk anvendelse av De Moivres formel, mens ogave..1 gir deg god trening i a lse en komleks annengradsligning og uttrykke lsningen bade a kartesisk og olar form. Ogave.1.5 Vi skal lse de ogitte ligningene. a) iz + i z + i i ( + i)( i) i( i) 6i 8i i b) (1 + i)z + 1 i (1 + i)z i z i 1 + i ( i)(1 i) (1 + i)(1 i) i + i + i i Ogave.1.10 Anta at z + w og zw er reelle. Vi skal vise at da er enten begge tallene z og w reelle eller sa er de konjugerte av hverandre. La z a + ib og w c + id. Da har vi z + w (a + c) + i(b + d) zw (ac bd) + i(ad + bc) 1

2 At z + w og zw er reelle betyr at deres imaginrdeler er lik null, det vil si at b + d 0 ad + bc 0 Den frste ligningen gir b d. Setter vi dette inn i den andre ligningen, far vi d(a c) 0, som er ofylt nar d 0 og nar a c. Hvis d 0 har vi b d 0, det vil si at z og w er reelle. Hvis a c har vi z a + ib og w c + id a ib, det vil si at z og w er konjugerte. Ogave.. b) Vi skal nne modulusen og argumentet til z i. Modulusen er r j ij 0 + ( 1) 1 Argumentet er bestemt ved at og Dette betyr at cos Re(z) sin Im(z) r r e) Vi skal nne modulusen og argumentet til z 1 + i. Modulusen er r Re(z) + Im(z) 1 + Argumentet er bestemt ved at og Dette betyr at cos Re(z) 1 r sin Im(z) r 1

3 Ogave..5 Vi skal skrive de komlekse tallene a formen z a + ib. a) r og. z r(cos + i sin ) (cos + i sin ) (0 + i) i b) r 1 og. z 1 cos + i sin i c) r og 6. z cos 6 + i sin 6 ( 1 + i 1 ) + i d) r 1 og. z 1 cos + i sin 1 (0 i) 1 i Ogave..7a Gitt tallene z cos 1 + i sin 1 og w cos i sin 1 Iflge teorem.. har roduktet zw modulus r 6 og argument Altsa blir zw 6 cos + i sin 6i Ogave..10 Vi skal skissere de ogitte omradene i det komlekse lanet. a) fz : jzj 1g Dette er alle unkter z som har avstand lik 1 fra origo, det vil si alle unkter a enhetssirkelen. b) fz : jz 1j < g Dette er alle unkter z som har avstand mindre enn fra unktet (1; 0), det vil alle unkter i det indre av en sirkel med radius om unktet (1; 0). c) fz : jz (i + 1)j 1 g 1

4 Dette er alle unkter z som har en avstand a minst 1 fra unktet i + 1 (1; 1), det vil si alle unkter a og utenfor en sirkel med radius 1 om unktet (1; 1). d) fz : jz j < jz i + jg fz : jz j < jz (i )jg Dette er alle unkter z som har kortere avstand til unktet (; 0) enn til unktet i ( ; 1), det vil si alle unkter som ligger ekte under linjen y x + 1. Dette kan vi enten se geometrisk (tegn gur), eller ved flgende utregning. La z x + iy. Kvadrerer vi den gitte ulikheten, far vi jz j < jz i + j (x ) + y < (x + ) + (y 1) x x + + y < x + x + + y y + 1 y < 8x + 1 y < x + 1 Ogave..1 Vi skal vise at (vektorene tilsvarende) de to komlekse tallene z og w star normalt a hverandre hvis og bare hvis zw er et rent imaginrt tall. Dersom z og w har argumenter 1 og henholdsvis, far zw argument 1. Tallet zw er rent imaginrt hvis og bare hvis argumentet er et odde multilum av, det vil si 1 (k + 1); k Z. Men det betyr jo netto at z og w star normalt a hverandre, da 1 er vinkelen mellom vektorene z og w. Pa samme mate ser vi at z og w er arallelle hvis og bare hvis zw er reell. At zw er reell betyr at argumentet er et multilum av, det vil si 1 k; k Z. Men det betyr at vektorene z og w enten eker i samme retning eller i motsatt retning, det vil si at de er arallelle. Ogave..15 Vi skal vise at jz + wj + jz wj jzj +jwj. Benytter vi at zz jzj, far vi: jz + wj + jz wj (z + w)(z + w) + (z w)(z w) (z + w)(z + w) + (z w)(z w) (zz + zw + wz + ww) + (zz zw wz + ww) jzj + jwj + jzj + jwj jzj + jwj 15

5 Tegner vi et arallellogram utsent av vektorene som tilsvarer de komlekse tallene z og w, vil diagonalene i dette arallellogrammet vre z + w og z w. Utregningen ovenfor viser da at summen av kvadratene til sidene i et arallellogram er lik summen av kvadratene til diagonalene. Ogave..1 b) Vi skal skrive tallet e i a formen a + ib. e i e cos 0 +i sin cos i sin 1 1 i Ogave.. b) Vi skal skrive tallet z i a formen re i. r + ( ) 16 Siden Re(z) Im(z) ser vi at. Altsa har vi z e i Ogave..8 Vi skal regne ut (1 + i) 80 og ( i) 17 ved hjel av de Moivres formel. Da 1 + i har modulus og argument (1 + i) 80 cos + i sin 80 cos 80 far vi 80 + i sin 80 (0) (cos 01 + i sin 01) 0 cos(00 + ) + i sin(00 + ) 0 (cos + i sin ) 0 Og da i har modulus og argument 6 ( i) 17 cos + i sin cos far vi 17 + i sin 17 6

6 cos cos 5 6 i sin i 17 ( + i) Lsningsforslag ved Klara Hveberg i sin Ogave..b Vi skal nne alle tredjerttene til z i og skrive dem a formen re i og a + ib. z i e i +ki z 1 e i 6 + ki Setter vi na etter tur k 0, k 1 og k, far vi de tre tredjerttene w 0 e i 6 cos( 6 ) + i sin( 6 ) 1 1 i w 1 e i 6 + i e i 6 e i i w e i 6 + i e 7i i Ogave..9a Annengradsligningen z + z + 0 har lsningene z i i det vil si z i z 1 i Ogave..11b Annengradsligningen z + iz har lsningene z i (i)

7 i i i 6 i i 6 det vil si z 1 i( 6 1) z i( 6 + 1) Ogave..1 Ligningen z + (1 i)z + 7i 0 har lsningene z (1 i) (1 i) 1 7i (1 i) (1 i) 7i (1 i) (1 i) i 9i Da i e i har vi i e i 1 (1 i), slik at uttrykket ovenfor videre blir (1 i) 1 (1 i) 1 (1 i) det vil si z 1 z 1 i 1 1 (1 i) i (i 1) Da 1 i e i og i 1 e i, blir lsningene a olar form e z 1 1 i i ( )e e z + 1 i ( + )e i Vektoren z 1 har lengde og argument, og eker altsa nedover i. kvadrant. Vektoren z har lengde + og argument, og eker altsa oover i. kvadrant (tegn gur). Ogave.5.5 a) Vi skal vise at i er en rot i olynomet P (z) z + z + z + z +. P (i) i + i + i + i + 1 i + i

8 b) Siden i en rot i olynomet P (z), vet vi ved lemma.5. at i i ogsa er en rot i dette olynomet. Men det betyr at P (z) er delelig med (z i)(z + i) z + 1. Vi utfrer olynomdivisjon: z + z + z + z + : z + 1 z + z + z + z z + z + z + z + z z + z + Det gjenstar bare a faktorisere z + z + : 0 z + z + 0 z 1 8 z i z 1 i i De komlekse og reelle faktoriseringene av P (z) blir dermed: z + z + z + z + (z + i)(z i)(z + 1 i)(z i) (z + z + )(z + 1) 19