Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Transkript

1 Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks konstant og lik 6: Js. For elektromagnetiske bølger er gruppehastigheten v g lik fasehastigheten v f = f = lyshastigheten, som i vakuum er lik c = m/s.. Partikler med masse m og bevegelsesmengde p opptrer også som bølger med bølgelengde = h=p og energi E = hf. Men legg merke til at gruppehastigheten v g ( = partikkelens hastighet v) ikke er lik fasehastigheten v f = f. 3. Når et foton eller et elektron spres gjennom en spalt og treffer en skjerm (detektor) bak spalten, vil treffpunktene være tilfeldig fordelt over et større område, og det er først etter et meget stort antall treff at man kan observere at treffpunktene danner et mønster. Hjelpestørrelser Vi innfører bølgetallet k = =, vinkelfrekvensen! = f og størrelsen } = h= () og kan derved skrive p = }k og E = }!. Bølgetallet kan også skrives som en vektor slik at p = }k. Eksempler på bølger Bølgeligningen for bølger på en streng når strengen ligger langs x-aksen og utslaget er i y-retningen, er gitt y (x; t) y (x; For lydbølger som forplanter seg i x-retningen, kan vi skrive en bølgeligning for trykket p (x; t) gitt p (x; t) p (x; For en plan elektromangnetisk bølge som brer seg i x-retningen, og der det elektriske feltet E svinger i y-retningen og magnetfeltet B i z-retningen har vi to E y (x; t) E y (x; t) B z (x; t) B z (x; v der v er lysfarten som i vakuum ofte betegnes med bokstaven c. Her er fasehastigheten og gruppehastigheten den samme.

2 Legg merke til at for en elektromagnetisk bølge må vi ta med to funksjoner, nemlig én for det elektriske og én for det magnetiske feltet. Vi skal snart se at for kvantemekaniske bølger trenger vi også to funksjoner. For elektromagnetiske bølger er vi vanligvis interessert i bølgens intensitet, I og ikke i de elektriske og magnetiske feltstørrelsene. Det kan vises at intensiteten I er proporsjonal med (E + c B ).. Kvantemekanikkens grunnpostulater På bakgrunn av tallrike observasjoner var det klart at det var nødvendig med en helt ny mekanikk. Når en partikkel både kan opptre som partikkel og som bølge, er ett av problemene å nne ut hva det er som bølger og i hva. Ved å kombinere dette problemet med observasjoner som klart viste at den nye mekanikken må være av statistisk natur, fant man etter hvert at det beste utgangspunktet var å anta at en partikkel, som beveger seg i én dimensjon x kan beskrives av en kompleks bølgefunksjon, som vi her kan kalle (x; t). Denne funksjonen kan skrives (x; t) = (x; t) + i (x; t) Det første postulatet er da at j (x; t)j = (x; t) (x; t) = (x; t)+ (x; t) er en sannsynlighetstetthet som i dette tilfellet betyr at j (x; t)j x er sannsynligheten for å nne partikkelen i intervallet [x; x + x] ved tiden t. j (x; t)j er da sannsynlighet per lengdeenhet i punktet x og ved tiden t. Om partikkelen beveger seg i tre dimensjoner, er j (x; y; z; t)j sannsynlighet per volumenhet i punktet (x; y; z) og ved tiden t. Siden partikkelen må være ett eller annet sted, må vi ha at bølgefunksjonen er normalisert slik at Z + j (x; y; z; t)j dv = der vi har integrert over hele rommet. Det er bare absoluttkvadratet j (x; t)j av bølgefunksjonen som er gjenstand for observasjoner og IKKE de to funksjonene (x; t) og (x; t): Og selvsagt må observasjoner være knyttet til reelle og ikke til komplekse tall. Når vi har valgt å bruke komplekse tall, er dette for å gjøre matematikken så enkel og kompakt som mulig, men hovedpoenget er at for kvantemekaniske bølger trenger vi TO funksjoner på samme måten som for elektromagnetiske bølger. (Det kan være verdt å legge merke til at også for elektromagentismen kan man benytte seg av en tilsvarende formulering basert på komplekse tall, og at dette gir en meget kompakt formulering). Med dette som utgangspunkt kan vi postulere en bølgeligning for denne bølgefunksjonen. For en fri partikkel med masse m som beveger seg i én dimensjon er bølgeligningen gitt ved (x; (x; t) = Dette er Schrödinger's ligning for en fri partikkel. Vi skal senere vise hvordan denne ligningen må modiseres når partikkelen påvirkes av krefter. Like lite som vi kan utlede Newton's. lov, kan vi utlede Schrödinger's ligning. Den kan bare sannsynliggjøres ved at vi ser at den virker. 3

3 Vi kan prøve om en kompleks plan bølge er en løsning av denne ligningen. En slik bølge kan skrives (x; t) = Ae i(kx!t) = A [cos (kx!t) + i sin (kx!t)] der A er bølgens amplityde. (At bølgen er plan, betyr at bølgen overalt i rommet har samme fase i et plan som i dette tilfellet er vinkelrett på x-retningen). Innsetting i bølgeligningen gir } m (ik) Ae i(kx!t) i(kx!t) = i} ( i!) Ae som er oppfyllt når (}k) m = }! Men fra tidligere vet vi at p = }k, og at E = }!, slik at denne relasjonen er det samme som E = mv. Vi ser at sannsynlighetstettheten j (x; t)j = A, som er en reell konstant uavhengig av x og t. Det betyr at denne løsningen representerer en partikkel med veldenert bølgelengde = =k, men totalt udenert posisjon (samme sannsynlighetstetthet for alle x-verdier). Den neste oppgaven blir å nne løsninger som svarer til partikler som er lokaliserte innenfor begrensete områder. Lokaliserte partikler kan i kvantemekanikken representerers ved hjelp av bølgepakker,til dette skal vi benytte oss av fouriertransformasjonene som ble introdusert i innledningskapitlet. La oss se på bølgen e ikx (hvor vi for enkelthets skyld har valgt t = 0). Om denne bølgen har et kontinuerlig spektralinnhold f e (k), vil bølgen kunne representeres ved Tilsvarende vil vi ha at f (x) = p Z + ef (k) e ikx dk ef (k) = p Z + f (x) e ikx dx der de to funksjonene f (x) og e f (k) er de fouriertransformerte av hverandre. Siden dette kan virke meget abstrakt, skal vi se på et enkelt eksempel. Vi antar at en partikkelbølge er gitt ved en såkalt gaussisk bølgepakke (x) = Ae (x=) e ik 0x Vi ser at bølgen som har bølgetallet k 0 er sentrert om x = 0, hvor sannsynlighetstettheten x j (x)j = A exp har sin maximale verdi, og med et standardavvik x =. I innledningskapiltlet viste vi at for en normalisert gaussfunksjon så er C = A = p 4

4 Vi kan nå nne spektralinnholdet e (k) ved hjelp av fouriertransformasjonen Dette er et standard integral e (k) = p Z + = (x) e ikx dx Z + p Ae (x=) e ik0x e ikx dx = p A Z + Z + e (=4 )x +i(k 0 r e az +bz dz = e b =4a a k)x dx med a = =4 og b = i (k 0 k). Dette gir e (k) = p Ae f(k k 0 )=[() ]g Vi konstaterer at også e (k) er en gaussisk funksjon sentrert rundt og med maksimum for k = k 0. Standardavviket er gitt ved k = ().Vi kan også konstatere at sannsynlighetstettheten e (k) er korrekt normalisert. Fra dette nner vi at xk = = og ved innsetting av p = }k xp = } som er Heisenbergs usikkerhetsrelasjon. Vi legger merke til at selv om vi startet med et bølgetall k = k 0, har vi endt opp med et kontinuerlig spektralinnhold, som riktignok er sentrert rundt k = k 0, men med spredning (standardavvik) k = (). For en partikkelbølge i tre dimensjoner vil Heisenberg's usikkerhetsrelasjon gjelde for alle tre dimensjonene slik at vi kan skrive xp x = }, yp y = } og zp z = } Heisenbergs usikkerhetsrelasjon eksisterer også mellom andre variable, som for eksempel energi og tid, som da kan skrives Et = } 5

5 .3 Levetid Ustabile partikler, radioaktive atomkjerner og eksiterte, ustabile atomer har alle en begrenset levetid. La oss se på en samling N radioaktive kjerner. Sannsynligheten for at en slik kjerne skal dsintegrere er den samme for alle tidsintervaller. I tidsrommet dt vil dn kjerner desintegrere og dette tallet er gitt ved dn = Ndt der er en proporsjonalitetskonstant. Negativt fortegn er valgt siden antallet kjerner N minker. Dette gir dn N = dt som ved integrasjon gir N = N 0 e t der N 0 er antallet kjerner ved tiden t = 0. Levetiden er ofte gitt ved halveringstiden t tiden det tar for å redusere antallet kjerner til det halve. Dette gir: som gir N 0 = N 0 e t som er t = ln En eksitert tilstand som svarer til en energi E og med liten levetid, vil p.g.a. Heisenbergs usikkerhetsrelasjon ha en energispredning E proporsjonal med =t, (t _ t )..4 Oppsummering En partikkel med veldenert bevegelsesmengde har en veldenert bølgelengde gitt ved = h p som gir p = h = }k der } = h= () og k = =. En materiebølge kan beskrives ved hjelp av en kompleks bølgefunksjon (x; t) som tilfredsstiller Schrödingers bølgeligning. Partikkelens lokalisering er uttrykt ved hjelp av en sannsynlighetstetthet som er gitt ved j (x; t)j. Tilsvarende er partikkelens bølgefunksjon uttrykt ved hjelp av bølgetallet gitt ved e (k; t) med tilhørende sannsynlighetstetthet e (k; t). De to bølgefunksjonene (x; t) og e (k; t) er forbundet med hverandre ved hjelp av fouriertransformasjoner. 6

6 Det er vist at dersom j (x)j er gitt av en gaussisk fordeling med standardavvik ", og vi denerer x = ", så vil også e (k) være gaussisk fordelt med standardavvik k = = ("). (Vi har her valgt å se på fordelingene ved en bestemt tid, f.eks t = 0). Dette gir xk = = som er Heisenbergs usikkerhetsrelasjon. Alle andre fordelinger enn den gaussiske vil gi et resultat større enn =. Derfor er ofte denne relasjonen skrevet som xk ' =. 7