A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

Transkript

1 TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se notatet Bakgrunns-stoff ) først innført begrepet stasjonær tilstand for å betegne den fysiske tilstanden til f.eks et hydrogenatom i grunntilstanden, i tråd med Bohrs idé. Senere så vi at når Schrödinger kunne finne en egenfunksjon til Hamiltonoperatoren Ĥ, Ĥψ n (r) = E n ψ n (r), så er Ψ n (r, t) = ψ n (r)e ient/ h en løsning av (den tidsavhengige) Schrödingerligningen. Denne løsningstypen tillot vi oss å kalle en stasjonær løsning, fordi den så ut til å gi en teoretisk beskrivelse av den fysiske stasjonære tilstanden. Etter hvert blir en gjerne litt mer løsaktig med språkbruken: Uttrykket stasjonær tilstand brukes både om den fysiske tilstanden og om den tilhørende teoretiske bølgefunksjonen Ψ(r, t). I Hemmer side 26 kan du se hvordan stasjonære løsninger dukker opp på en naturlig måte når en forsøker å separere tids- og rom-avhengigheten i Schrödingerligningen, ved å lete etter løsninger på formen Ψ(x, t) = ψ(x)f(t). Det viser seg da at separasjonen bare er mulig dersom (i) Ĥ er tidsuavhengig, (ii) ψ(x) er en egenfunksjon til Ĥ, dvs ψ må være en løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ E (x)= Eψ E (x). Det er da veldig lett å finne f(t). Den tids-avhengige Schrödingerligningen gir i h f t ψ E(x) = f(t) Ĥψ E(x) = f(t) E ψ E (x). Her betyr den partiell-deriverte / t derivasjon med hensyn på t med fastholdt x. Og med fastholdt x er det lett å integrere ligningen ovenfor over tiden, fra 0 til t: df f = iē h dt = ln f(t) = ln f(0) iet h, = f(t) = f(0) e iet/ h. Konstanten f(0) kan vi trekke inn i ψ(x), slik at løsningen blir Ψ E (x, t) = ψ E (x) e iet/ h. (T4.1) Dette kalles som nevnt en stasjonær løsning av Schrödingerligningen, fordi

2 TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 2 sannsynlighetstettheten Ψ E (x, t) 2 = ψ E (x) 2 er tidsuavhengig (ikke beveger seg ) alle observable som ikke avhenger eksplisitt av tiden, som f.eks x, p x, E etc, har tidsuavhengige forventningsverdier i den stasjonære tilstanden Ψ E (x, t). Vi har nemlig for en slik observabel F = F (x, p x ) : F ΨE = Ψ E(x, t) ˆF (x, ˆp x ) Ψ E (x, t)dx = ψe(x) ˆF (x, ˆp x ) ψ E (x)dx = konstant, (T4.2) (siden de tidsavhengige ekponensialfunksjonene i integranden kansellerer). Dette betyr at eksponensialfunksjonen exp( iet/ h) i realiteten er uten fysisk betydning i en stasjonær tilstand; den har ingen målbare konsekvenser. I en stasjonær tilstand er det altså ingen målbar tidsutvikling; ingen prosesser; ingen ting hender! Så tilstanden fortjener virkelig betegnelsen stasjonær. Hvorfor er vi da så interessert i disse stasjonære tilstandene? Det er (minst) fire grunner: Grunn 1: Når et system har lavest mulig energi (i grunntilstanden), bestemmes alle egenskapene til systemet av energiegenfunksjonen ψ(r) for denne tilstanden. Så selv om det ikke hender noe i denne tilstanden, så inneholder bølgefunksjonen mye interessant informasjon: Den bestemmer formen og størrelsen (og energien) og i det hele tatt alle de fysiske egenskapene til systemet. Dette gjelder både for isolerte atomer og for mer sammensatte systemer, som mer eller mindre komplekse molekyler, krystaller osv. Og det gjelder ikke bare for grunntilstanden, men også for eksiterte tilstander, hvor både størrelse og form kan avvike fra det en finner i grunntilstanden. Grunn 2: Siden ψ E (x) [og også Ψ E (x, t) = ψ E (x) exp( iet/ h)] er egenfunksjoner til Ĥ (og Ĥ2 ) med egenverdiene E (og E 2 ), kan vi si at energien er skarpt definert i en stasjonær tilstand, dvs usikkerheten i energien er E = 0. [Husk at ( E) 2 = (E E ) 2 = E 2 E 2.] Disse energiene er viktige i prosesser der systemene eksiteres eller deeksiteres. (Jf spektrallinjer.) b. Ikke-stasjonære tilstander Grunn 3: Ifølge superposisjonsprinsippet er også en vilkårlig lineærkombinasjon av de stasjonære løsningene Ψ n (x, t) = ψ n (x) exp( ie n t/ h) en løsning av Schrödingerligningen, og beskriver dermed en mulig fysisk tilstand for systemet: c n Ψ n (x, t) = n c n ψ n (x) e ient/ h. (T4.3) Her er koeffisientene c n vilkårlige komplekse konstanter (uavhengige av x og t). Det kan vises at Ψ(x, t) er normert dersom n c n 2 = 1 (forutsatt at settet ψ n (x) er ortonormert). Det kan også vises at uttrykket ovenfor er den mest generelle løsningen av Schrödingerligningen, dvs alle løsninger av Schrödingerligningen kan utvikles i de stasjonære løsningene. Dersom summen ovenfor inneholder ledd med forskjellige energier E n, blir summen ikke en egenfunksjon til Hamilton-operatoren Ĥ. Da er Ψ(x, t) en ikke-stasjonær løsning av

3 TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 3 Schrödingerligningen og beskriver en ikke-stasjonær fysisk tilstand for systemet. For en slik tilstand er det lett å se at sannsynlighetstettheten Ψ(x, t) 2 og (noen av) forventningsverdiene F Ψ vil avhenge av tiden (i motsetning av hva som er tilfellet for stasjonære tilstander). Grunnen til dette er selvsagt at fasefaktorene exp( ie n t/ h) løper rundt enhets-sirkelen med forskjellig fart, eller forskjellige perioder T n = 2π h/e n. Så her er disse fasefaktorene (eller egentlig forholdene mellom dem) faktisk viktige. (Slike ikke-stasjonære tilstander kommer inn i bildet når vi skal beskrive prosesser, der det skjer noe.) Grunn 4: En sentral problemstilling i kvantemekanisk teori er begynnelsestilstands-problemet : Systemet prepareres i en bestemt begynnelses-tilstand ved et gitt tidspunkt, f.eks t = 0. Denne tilstanden svarer til en bølgefunksjon Ψ(x, 0). Spørsmålet er så hvordan tilstanden vil utvikle seg med tiden. Svaret er at tilstanden hele tiden beskrives av bølgefunksjonen Ψ(x, t), som bestemmes av Schrödingerligningen. Siden Ψ(x, t) alltid kan utvikles i stasjonære tilstander, Ψ(x, t) = c n ψ n (x) e ient/ h, n er problemet essensielt løst dersom vi kan finne utviklingskoeffisientene c n. Disse bestemmes av begynnelsestilstanden. Ved å sette t = 0 i utviklingen ovenfor har vi nemlig Ψ(x, 0) = n c n ψ n (x). (T4.4) Med erfaringene fra Tillegg 3 ser vi nå klart og tydelig at c n er projeksjonen av Ψ(x, 0) på egenfunksjonen ψ n (x), men det skader ikke å gjenta beregningen: Ved å projisere Ψ(x, 0) på egentilstanden ψ n (x) finner vi at ψ n, Ψ(0) = ψ n, k c k ψ k = k c k ψ n, ψ k = k Dermed har vi funnet den tidsavhengige bølgefunksjonen: c k δ nk = c n, q.e.d. (T4.5) ψ n, Ψ(0) ψ n (x) e ient/ h, (T4.6) hvor altså ψ n, Ψ(0) ψ n (x)ψ(x, 0)dx. (T4.7) Det trivielle eksemplet har vi når begynnelsestilstanden svarer til en av energiegenfunksjonene, dvs når Ψ(x, 0) = ψ i (x). (i for initial.) Da gir oppskriften ovenfor c n = ψ n, Ψ(0) = ψ n, ψ i = δ ni, og systemetfortsetter å være i den tilsvarende stasjonære tilstanden: δ ni ψ n (x) e ient/ h = ψ i (x) e ie it/ h Ψ i (x, t). Konklusjon: Når en skal angripe en kvantemekanisk problemstilling der Hamilton-operatoren er tidsuavhengig, så består den grunnleggende strategien i å finne det fullstendige settet ψ n (x) av energiegenfunksjoner, og de tilhørende stasjonære løsningene Ψ n (x, t) = ψ n (x) exp( ie n t/ h) av Schrödingerligningen.

4 TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 4 c. Når Ĥ ikke er tidsuavhengig, Ĥ = Ĥ(t), så følger det fra argumentasjonen side 26 i Hemmer at det ikke eksisterer stasjonære tilstander. Som et eksempel kan vi tenke på et hydrogenatom som påvirkes av en elektromagnetisk bølge, E = E 0 cos(k r ωt). Dersom vi ser bort fra vekselvirkningen mellom atomet eg det elektromagnetiske feltet i bølgen, beskrives atomet vha den tidsuavhengige Hamilton-operatoren Ĥ 0 = h2 2m 2 e2 4πɛ 0 r, med de velkjente bundne tilstandene som svarer til energiegenfunksjonene ψ nlm (r) = R nl (r)y lm (θ, φ). For å ta hensyn til den perturberende kraften fra det elektromagnetiske feltet må vi addere til Ĥ 0 et tidsavhengig (potensial-)ledd Ĥ (t) som svarer til den oscillerende kraften. Den resulterende Hamilton-operatoren, Ĥ(t) = Ĥ0 + Ĥ (t), blir da tidsavhengig, og som vi har sett i pkt. a betyr dette at Schrödingerligningen i h Ψ/ t = ĤΨ ikke har stasjonære løsninger. Dette tillegget i Hamilton-operatoren betyr selvsagt også at de stasjonære løsningene for det uperturberte atomet ikke er løsninger av Schrödingerligningen i h Ψ/ t = ĤΨ. Dette gjelder bl.a de bundne tilstandene Ψ nlm (r, t) = R nl (r)y lm (θ, φ) e ient/ h for det uperturberte atomet. Likevel viser det seg at disse uperturberte løsningene, som vi for enkelhets skyld kan kalle Ψ (0) k (r, t), er veldig nyttige. (k er her en forkortelse for de nødvendige indeksene.) For det første så står vi fritt til å velge én av disse løsningene, ψ (0) i (r), som begynnelsestilstand (i for initial -tilstand) ved t = 0. (Vi står i prinsippet fritt til å velge en hvilken som helst begynnelsestilstand.) For eksempel kan vi preparere hydrogenatomet i den uperturberte grunntilstanden ved t = 0, selv om atomet påvirkes av en elektromagnetisk bølge. For det andre viser det seg nyttig å utvikle den ukjente bølgefunksjonen Ψ(r, t) for det perturberte systemet i de uperturberte løsningene: Ψ(r, t) = k c k (t)ψ (0) k (r, t). (T4.8)

5 TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 5 Dette kan vi gjøre fordi det uperturberte løsnings-settet Ψ (0) k (r, t) = ψ(0) k (r) exp( ie kt/ h) er fullstendig. Men her er det viktig å legge merke til at utviklingskoeffisientene c k ikke blir tidsuavhengige: Med begynnelsestilstanden Ψ(r, 0) = ψ (0) i (r), starter vi altså opp med koeffisienten mens alle de øvrige koeffisientene er lik null. Men fordi den uperturberte til- c i (0) = 1, standen Ψ (0) i (r, t) ikke er en løsning av Schrödingerligningen i h Ψ/ t = ĤΨ, så vil systemet ikke forbli i denne tilstanden. Dette betyr at koeffisienten c i (t) (som er sannsynlighetsamplituden for å finne systemet i begynnelsestilstanden) vil minke fra 1, mens noen av de andre koeffisientene vil begynne å øke fra null. Vi husker at c k (t) 2 er sannsynligheten for å måle energien E k og etterlate systemet i den tilsvarende tilstanden, eller som vi gjerne sier, for å finne systemet i egentilstanden ψ (0) k til Ĥ 0. For k i, er derfor c k (t) 2 overgangssannsynligheter; atomet som ved t = 0 ble preparert i f.eks grunntilstanden, kan etter en tid t bli funnet i eksiterte tilstander. Å finne slike overgangs-sannsynligheter er ofte en sentral oppgave når en skal anvende kvantemekanisk teori på fysiske prosesser, der det skjer noe. I det neste kurset i rekken, TFY4205 Kvantemekanikk, vil du lære å beregne slike overgangs-sannsynligheter, vha tidsavhengig perturbasjonsteori, som er en approksimativ metode. (I de fleste tilfellene er denne tilnærmingsmetoden den eneste metoden en har for å takle slike prosesser; se Hemmer s 225, Griffiths s 298 eller B&J s 431.)