Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl (3 timer)

Transkript

1 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl (3 timer) Tillatte hjelpemidler: B1: Enkel kalkulator. Ingen andre hjelpem. Oppgaveteksten er på 5 (fem) sider inkl. vedlegg. NB: Ved bedømmelsen teller hver oppgave like mye (totalt 6 oppgaver). AKTUELLE FYSISKE KONSTANTER OG MATEMATISKE FORMLER ER OPPGITT BAKERST I OPPGAVESETTET Oppgave 1: Røntgenstråling I et røntgenrør gjennomløper elektroner et spenningsfall V før de treffer en metallanode hvor røntgenstråling genereres. Et eksempel på et spektrum av røntgenstråling generert på denne måten er vist i Figur 1 (på neste side). (i) Hva er den generelle sammenhengen mellom spenningsfallet V og den minste bølgelengden λ min i røntgenspektret? (ii) Bruk figuren til å anslå (for dette eksemplet) (A) spenningsfallet V, (B) den maksimale frekvens f max for røntgenstrålingen og (C) den maksimale energi E max for røntgenstrålingen (målt i elektronvolt). Oppgave 2: Fotonhypotesen De fleste fysikere ble overbevist om at lys og annen elektromagnetisk stråling også har partikkelnatur av tre eksperimentelle observasjoner: (1) Spektret til røntgenstråling, (2) fotoelektrisk effekt og (3) Compton-effekten. Forklar kort hvordan disse observasjonene samt den teoretiske tolkningen av disse, sterkt indikerte at elektromagnetisk stråling også har partikkelnatur. Oppgave 3: Spesiell relativitetsteori (i) Forklar kort hva som ligger i begrepet lengdekontraksjon.

2 2 Figure 1: Eksempel på spektrum av røntgenstråling, dvs. intensitet som funksjon av bølgelengde λ. (ii) En ustabil partikkel med γ = 1 som suser forbi en observatør, observeres å bevege seg 6 meter før den desintegrerer. (A): Hvilken levetid har partikkelen i systemet til observatøren? (B): Hva er levetiden i partikkelens hvilesystem? Her er γ 1 1 v 2 /c 2, og Lorentz-transformasjonen er gitt ved x = γ(x vt), y = y, z = z, t = γ(t vx/c 2 ). Oppgave 4: Schrödingerligningen Den tidsavhengige Schrödingerligningen for en partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V (x) i 1 romlig dimensjon, er gitt ved Ψ(x, t) i h = HΨ(x, t) = [ h2 t 2m (i) Hva er den fysiske tolkningen av bølgefunksjonen Ψ(x, t)? 2 ] x 2 + V (x) Ψ(x, t).

3 3 (ii) Anta at bølgefunksjonen faktoriserer i en rom- og en tidsfunksjon, Ψ(x, t) = ψ(x)f(t). Bestem f(t) eksplisitt, og vis at likningen som ψ(x) må oppfylle er den såkalte stasjonære Schrödingerligningen gitt ved [ h2 2 ] 2m x 2 + V (x) ψ(x) = Eψ(x). (iii) Hvorfor kalles en slik løsning stasjonær? Oppgave 5: Partikkel i boks og brønn Vi ser nå på problemet partikkel-i-boks i 1 romlig dimensjon. I dette systemet er partikkelpotensialet gitt ved { for < x < L V (x) =. for x < og x > L Ved løsning av den stasjonære Schrödingerlikningen i oppgave 4 med dette potensialet finner en at spektret av energiegenverdier og tilhørende normerte egenfunksjoner er gitt ved E n = h2 π 2 2mL 2 n2, 2 ( nπx ) ψ n (x) = L sin L i boksen, og ψ n (x) = ellers, hvor n = 1, 2,...,. [Dette skal ikke vises.] (i) Beregn for partikkelen i grunntilstanden sannsynligheten for å finne partikkelen i (A) intervallet < x < L/2 og (B) intervallet < x < L/4. (ii) Operatoren for impuls (bevegelsesmengde) i én romlig dimensjon, p x,op, er gitt ved p x,op = h i d dx. Har en partikkel i grunntilstanden for partikkel-i-boks en bestemt impuls p x? Begrunn svaret. (iii) I det beslektede problemet partikkel-i-brønn er partikkelpotensialet gitt ved { for < x < L V (x) = for x < og x > L V hvor V er en konstant. For samme bredde L, vil grunntilstandsenergien til partikkel-i-brønn være høyere, like stor eller lavere enn for partikkel-i-boks? Begrunn svaret.

4 4 Figure 2: Eksiterte tilstander i litiumatomet (Li). Oppgave 6: Tilstander for litiumatomet Litiumatomet (Li) med atomnummer 3 har i grunntilstanden elektronkonfigurasjonen 1s 2 2s. Vi skal nå se på noen tilstander hvor det siste elektronet (valenselektronet) til Li er i en eksitert tilstand. I Figur 2 vises energinivåene for noen slike tilstander. For tilstandene med det siste elektronet i 2p og 3s er energiene (oppgitt i ev) målt relativt til grunntilstanden. (i) Valenselektronet har to 2p-tilstander til rådighet: 2P 3/2 og 2P 1/2. (A) Hva henspeiler indeksene 3/2 og 1/2 på? (B) Hvilken fysisk effekt ligger bak at 2P 1/2 har lavere energi enn 2P 3/2? (ii) Vi antar nå at et Li-atom har valenselektronet i en 3s-orbital, og at det deretter ikke påvirkes av omgivelsene. Gjør rede for de ulike elektrisk-dipol-overgangene som kan skje før atomet er blitt stabilt. Hvilken utvalgsregel gjelder for kvantetallet l for slike overganger? (iii) Hva er den korteste bølgelengden av elektromagnetisk stråling som blir utsendt i disse elektrisk-dipol-overgangene? [Her trenger du ikke å bry deg om den lille energiforskjellen mellom P 3/2 og P 1/2 -tilstander.] Oppgitte fysiske størrelser som kan komme til nytte: Lyshastigheten: c = m/s Elementærladning: e = C Boltzmanns konstant: k B = J/K Koblingsparameter i Coulombs lov: k e 2 = 1.44 ev nm Plancks konstant: h = J s, h = h/2π = J s

5 5 Elektronets masse: m e = kg Bohr radius: a = =.53 Å h2 m e ke 2 Rydberg-energien: E = h2 2m e a 2 = m e(ke 2 ) 2 2 h 2 = 13.6 ev Oppgitte matematiske sammenhenger som kan komme til nytte: sin 2 x dx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C cos 2 x dx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C sin m x cos x dx = 1 m + 1 sinm+1 x + C, m 1 sin x cos m x dx = 1 m + 1 cosm+1 x + C, m 1 sin 2x = 2 cos x sin x cos 2x = cos 2 x sin 2 x π e βx2 dx = β π e β(x+ic)2 dx =, hvor i: imaginær enhet, c: vilkårlig reell konstant β x 2 e βx2 dx = 1 π 2β β e x dx = 1 x e x dx = 1 x 2 e x dx = 2 x 3 e x dx = 6 x 4 e x dx = 24 Volumelement i kartesiske koordinater: Volumelement i kulekoordinater: dv = dx dy dz dv = r 2 sin θ dr dθ dφ Gaute T. Einevoll (faglærer) (m)