Kapittel 4. Bølger, del Innledning* viser hvordan bølgen brer seg i rommet etter som tiden går For en harmonisk bølge (form som en sinuseller

Transkript

1 Kapittel 4 Bølger, del 1 [Copyright 2009: A.I.Vistnes.] 4.1 Innledning* Bølger utgjør hovedparten av kurset vårt, og vi skal dvele med mange aspekter av bølger. I dette kapittelet skal vi først og fremst se på kinematikken for bølger, det vil si den matematiske beskrivelsen uten å gå så mye inn på hvorfor bølger oppstår og hvilke forhold som er ansvarlig for at de forplanter seg videre osv. Bølger får vi når en svingning ett sted i rommet på et eller annet vis påvirker naboområdet slik at også det begynner å svinge, som i sin tur igjen fører til at nok et naboområde begynner å svinge osv. En bølge kan vi anskueliggjøre på tre måter: Vi kan ta et øyeblikksbilde ( blitzbilde ) av hvordan bølgen ved ett valgt tidspunkt ser ut i ulike deler av rommet (som funksjon av posisjon). Vi kan registrere hvordan utslaget er på ett sted i rommet idet bølgen passerer dette stedet, og plotte resultatet (som funksjon av tid). Vi kan bruke en film (animasjon) som viser hvordan bølgen brer seg i rommet etter som tiden går For en harmonisk bølge (form som en sinuseller cosinus-funksjon) vil de to første anskuelsesformene begge se ut som harmonisk svingning, den første som harmonisk svinging som funksjon av posisjon, den andre som harmonisk svinging som funksjon av tid. Vi vet fra tidligere at en harmonisk svingning er en løsning av en annen ordens differentialligning. Dersom vi betrakter hvordan bølgen ser ut som funksjon av posisjon (ved ett tidspunkt), må utslaget være en løsning av diffligningen: d 2 f dx 2 = C xf Dersom vi betrakter bølgen som funksjon av tid ettersom den passerer ett sted i rommet, må utslaget være en løsning av diffligningen: d 2 f dt 2 = C tf I disse ligningene indikerer x posisjon og t tid, og C i er positive reelle konstanter som er ulike i de to tilfellene. Utslaget derimot er angitt med akkurat samme symbol i begge ligningene siden det er det samme utslaget vi betrakter i begge anskuelsesformene. Denne påstanden er det lettere å forstå dersom man innser at utslaget gjerne måles i en 1

2 helt annen enhet enn tid eller posisjon (det kan f.eks. være lufttrykk ved lydbølger, eller elektrisk feltstyrke ved elektromagnetiske bølger). Da innser vi at utslaget er det samme uansett om vi betrakter bølgen som funksjon av posisjon i rommet eller som funksjon av tiden. Vi kan da kombinere de to ligningene og får: d 2 f(x, t) dt 2 = C t d 2 f(x, t) C x dx 2 I dette uttrykket har vi også angitt at utslaget både avhenger av rom og tid. Og når en funksjon avhenger av flere uavhengige parametre samtidig, bruker vi spesielle symboler for å markere hva slags derivasjon vi utfører. I vårt tilfelle skifter vi da over til partiell derivasjon og skriver: t 2 = C t C x x 2 (4.1) Vi tar et kort sidesprang for å friske opp hva vi mener med partiell derivering. Anta at vi har en funksjon h = h(kx ωt) og at vi skal finne den partielle deriverte av denne funksjonen mhp x. Vi definerer en ny variabel u = kx ωt og bruker kjerneregelen og finner: h x = dh(u) du u x Det er først i det siste leddet vi for ordentlig får fram hva partiell derivasjon innebærer. Vi har: u (kx ωt) = x x Både x og t er variable, men når vi skal beregne den partiell deriverte mhp x, skal vi anse t som en konstant! Følgelig får vi: (kx ωt) x = k På liknende måte kan vi gå fram for å finne partiell derivert for t. Da anses variabelen x som konstant. Partiell deriverte representerer derfor den deriverte av funksjonen under forutsetning at alle variable holdes konstant, bortsett fra den ene som vi skal beregne den partiell deriverte med hensyn på. Ligningen vi kom fram til i 4.1 er en annen ordens partiell differentialligning, og den kalles for bølgeligningen. Denne ligningen vil vi stifte bekjentskap med ganske mange ganger i løpet av kurset, så det kan være nyttig å forsøke å skjønne den ordentlig så raskt som mulig. Da vi drøftet svingninger tidlig i kurset vårt, fant vi at såfremt vi kjente til startposisjon og startfart f.eks. til en pendel, kunne vi beregne entydig hvordan svingningen ville bli i all fremtid (så sant vi kjente selve differentialligningen for bevegelsen). For bølger er det totalt annerledes. Selv om vi har nøyaktig samme bølgeligning, og har samme initialbetingelser, så er det en uendelighet av uendelig mange ulike løsninger. Grunnen er at bølgen brer seg i rommet, og rommet selv kan påvikre bølgen selv om den grunnleggende differentialligningen er den samme. Det er lett å forstå dersom man tenker på dønninger på havet som kommer mot land. Bølgen lokalt vil variere kollossalt alt etter hvordan kysten ser ut lokalt med steiner, nes og viker. Løsning av bølgeligningen krever derfor at vi kjenner både initialbetingelser og randbetingelser. Og siden det finnes uendelig mange randbetingelser vi kan tenke oss, vil det også finnes uendelig mange løsninger. Men når man først har gitt både initialbetingelser og fullstendig sett med randbetingelser, finnes det bare én løsning. Siden det er så utrolig stor variasjonsmulig- 2

3 het for bølger, må vi ofte ty til forenklede løsninger for å i det minste få fram noen typiske trekk med bølger. Noen slike løsninger er faktisk en brukbar tilnærming til virkelige bølger i spesielle tilfeller. Den mest vanlige forenklede løsningen kalles for plan bølge og vi skal se litt nærmere på den nå. 4.2 Plan bølge* En plan bølge er karakterisert ved at utslaget er identisk i et helt plan normalt på retningen i rommet hvor bølgen brer seg. Dersom bølgen overalt i rommet brer seg i en retning parallellt med x-aksen, vil en plan bølge svare til at utslaget i bølgen ved en vilkårlig valgt tid, er identisk overalt i et plan vinkelrett på x-aksen. En plan harmonisk bølge kan f.eks. være: f(x, t) = Acos(kx ωt) (4.2) I denne sammenheng kalles k for bølgetallet og ω for vinkelfrekvensen. Holder vi tiden konstant, f.eks. ved t = 0, og starter i x = 0, ser vi at vi forflytter oss en bølgelengde når x tilfredsstiller kx = 2π. Bølgelengden λ er derfor nettopp lik denne x-verdien, altså: λ = 2π k På tilsvarende måte kan vi holde posisjonen konstant, f.eks. ved å sette x = 0, og starte ved t = 0. Da ser vi at dersom vi skal endre tidsfunksjonen med en periode, må tiden vokse med en tid som tilfredsstiller ωt = 2π. Denne tidsforskjellen kaller vi periodetiden T og får: T = 2π ω Det kan legges til at ordet bølgetall kommer av at k angir antall bølgelengder innenfor måleenheten vi bruker ( hvor mange bølgetopper det er i en meter ), men multiplisert med 2π. Vi kan også anvende en liknende tankemåte for vinkelfrekvensen. I så fall kan vi si at vinkelfrekvensen er å betrakte som (tids)periodetallet som måler hvor mange periodetider vi har innenfor den måleenheten vi bruker for tid ( hvor mange perioder vi har i svingningen i løpet av ett sekund ), men multiplisert med 2π. Måleenhet for bølgetallet er inverse meter, dvs m 1. Enhet for vinkelfrekvens er egentlig inverse sekund, dvs s 1, men for å redusere faren for forveksling med frekvens, bruker vi ofte å angi vinkelfrekvenser i radianer per sekund Bølgens hastighet La oss finne ut hvor fort bølgen vandrer i x-retningen. Tenk deg at du følger en topp som f.eks. svarer til at argumentet i cossinusfunksjonen er 6π. I så fall vil kx ωt = 6π x = ω k + 6π k Vi deriverer denne posisjonen mhp tiden for å se hvor raskt dette punktet forflytter seg, og får dx dt v = ω k Hastigheten bølgen går med er altså lik forholdstallet mellom vinkelfrekvens og bølgetall. Vi kan gjøre dette om litt ved å innføre bølgelengde og periodetid i stedet, og får: v = 2π/T 2π/λ = λ T 3

4 Men vi vet at frekvensen er gitt som inversverdien til periodetiden, dvs ν = 1/T. Setter vi inn dette, får vi en velkjent relasjon: v = λν (4.3) Hastigheten for en bølge som kan beskrives på den enkle formen gitt i 4.2 er altså bølgelengden multiplisert med frekvensen Løsning av bølgeligningen? Foreløpig har vi bare påstått at ligning 4.2 tilfredsstiller bølgeligningen. Vi vil nå sjekke dette, og får: og Vi ser da at: eller: t 2 = ω 2 f(x, t) x 2 = k 2 f(x, t) t 2 = ω2 k 2 x 2 t 2 = v 2 2 f(x, t) x 2 (4.4) Vi ser altså at den plane bølgen gitt i ligning 4.2 tilfredsstiller bølgeligningen, men hva med initialbetingelser og grensebetingelser? Vel, her er det mer problematisk. Dersom en plan bølge skal kunne danne seg og holde seg slik, må man initiere en bølge som faktisk har uendelig utstreking og samme amplitude og startvariasjon i tid i hele dette uendelige planet. Det må heller ikke være noen grensebetingelser som påvirker bølgen i noe punkt. Dersom alle disse kravene var oppfylt, ville den plane bølgen forbli plan videre, men vi innser at dette er fysisk urealiserbart. Dersom vi derimot starter med å betrakte en bølge lenge etter der den ble generert, f.eks. lys fra Sola når det når Jorda, vil den såkalte bølgefronten være temmelig plan så lenge vi bare betrakter lyset over f.eks. en tenkt 1 x 1 m stor flate på tvers av lysretningen. Dersom vi da følger lyset noen få meter videre, vil bølgen oppføre seg omtrent som en plan bølge i dette begrensede volumet. Men dersom reflektert lys når inn i dette volumet, har vi ingen plan bølge lenger! Plane bølger er derfor bare en idealisering som vi aldri kan oppnå i praksis. Plan bølge beskrivelsen kan likevel gi en relativt god bølgebeskrivelse over begrensede volumer når man er langt unna ting og tang som kan påvirke bølgen på et eller annet vis Hvilken vei? Vi fant ovenfor at en plan bølge beskrevet med ligningen: f(x, t) = A cos(kx ωt) hadde en hastighet v = +ω/k. Det vil si at bølgen forplanter seg i positiv x-retning etter som tiden går. Det kan vi med litt øving lese direkte ut av argumentet til cosinusfunksjonen: Dersom vi skal holde oss på samme sted i en bølge (f.eks. en topp), må argumentet forbli uforandret etter som tiden går. Og øker tiden t, kan vi bare oppnå at argumentet beholder samme verdi dersom vi kompenserer med også å la x-verdien øke. Med andre ord, bølgens topp forflytter seg mot høyere x-verdier når tiden øker. Bruker man tilsvarende argumentasjon, kan 4

5 vi lett vise at en bølge beskrevet ved: f(x, t) = A cos(kx + ωt) forplanter seg mot lavere x-verdier når tiden øker. Bildelig, for de av oss som er vant til at x-aksen øker mot høyre, kan vi si at bølger beskrevet på den første av disse måtene (med minus) beveger seg til høyre og bølger beskrevet på den andre måten (med pluss) beveger seg mot venstre Andre bølgeformer Hittil har vi betraktet harmoniske bølger, dvs bølger med sinusform. Kan også bølger med en annen form tilfredsstille bølgeligningen? La oss forsøke en bølge beskrevet ved: g(x, t) = G(kx ωt) der G kan ha en hvilken som helst form. Vi innfører en ny variabel u = kx ωt, partiell deriverer, bruker kjerneregelsen og får for venstre siden av ligning 4.4: 2 g(x, t) = d2 G(x, t) ( u t 2 du 2 t )2 = ω 2 d2 G(x, t) du 2 For høyresiden får vi på liknende måte: 2 g(x, t) = k 2 d2 G(x, t) x 2 du 2 Vi ser da at g(x, t) faktisk tilfredsstiller bølgeligningen, forutsatt at k og ω er virkelige konstanter. Det vil si at enhver bølge som kan beskrives ved ett eneste argument (kx ωt), hvor k og ω er konstanter, er løsning av bølgeligningen Sum av bølger Hva så dersom vi har en sum av to ulike funksjoner, der den ene har en litt annen kombinasjon av k og ω enn den andre. Sumfunksjonen er da gitt ved: g(x, t) = G 1 (k 1 x ω 1 t) + G 2 (k 2 x ω 2 t) = G 1 (u 1 ) + G 2 (u 2 ) Partiall derivering mhp tid gir: ω1 2 d 2 G 1 (x, t) + ω 2 d 2 G 2 (x, t) 1 Og partiell dervivering mhp posisjon gir: k1 2 d 2 G 1 (x, t) + k 2 d 2 G 2 (x, t) 1 Skal denne sumfunksjonen passe inn i bølgeligningen, må vi kreve at derivering av tid skal være lik v 2 multiplisert med den deriverte mhp posisjon. Vi antar at dette kan tilfredsstilles, og får da ved innsetting og ordning av leddene: (ω 1 2 v 2 k 1 2 ) d2 G 1 (x, t) du 2 1 = (ω 2 2 v 2 k 2 2) d2 G 2 (x, t) Denne ligningen kan ikke tilfredsstilles generelt med mindre (ω 2 1 v 2 k 2 1) = (ω 2 2 v 2 k 2 2) = 0 hvilket vil si at v = ω 1 k 1 = ω 2 k 2 Dette vil si at begge de to delbølgene må gå med nøyaktig samme fart! 5

6 Vi har da vist at summen av to (eller flere) bølger som går med samme fart vil oppfølge bølgeligningen såfremt hver av delbølgene gjør det. Dette resultatet kommer av at bølgeligningen er lineær. Det at to bølger på en måte kan utvikle seg og forplante seg helt uavhengig av en annen, kaller vi superposisjonsprinsippet. Vi kan addere bidrag fra en bølge med bidraget fra en annen, på aller enkleste måte. Vi ser eksempler på dette når vi kaster to steiner i stille vann. Ringene fra den ene steinen brer seg utover og adderer seg til ringene som kommer fra den andre steinen. Derimot har vi også vist at dersom en bølge består av flere komponenter som går med ulik hastighet, vil ikke utviklingen av totalbølgen bli identisk med summen av utviklingen til enkeltkomponentene. Når en dønning på havet når land og kommer innover en langgrunn sandstrand, vil bølgen endre karakter og bli til en bølge som bryter. Dette er ikke en sum av løsninger av bølgeligningen. Dette er et eksempel på at superposisjonsprinsippet iblant ikke fungerer! Iblant er også fysikken bak bølgen av en slik art at vi ikke får den ekleste formen for en bølgeligning. Iblant får vi en modifisert bølgeligning som i utgangspunktet ikke er lineær. Også i slike tilfeller duger ikke superposisjonsprinsippet. Superposisjonsprinsippet er derfor ingen dyptliggende egenskap i naturen. På ingen måter! Superposisjonsprinsippet gjelder bare som en tilnærming, og har mer samme karakter som Ohms lov, Hooks lov og lignende Bølge beskrevet på kompleks form Vi kan anvende kompleks beskrivelse for bølger på samme måte som vi gjorde det for svingninger. En plan bølge i x-retning kan da skrives: f(x, t) = Ae i(kx ωt+φ) Her skal f være reell for å beskrive en fysisk bølge. Det betyr at A må være kompleks for å sørge for at høyresiden i uttrykket som helhet blir reelt. Alternativt kan man bruke en reell A, men må da beregne realdelen av høyresiden for å finne f. Slike detaljer har vi vært gjennom tidligere, så vi tar litt lett på dem her. 4.3 Transversell og longitudinal* Det er flere ulike typer bølger, og en form for inndeling angir i hvilken retning det vi har kalt utslaget har i forhold til retningen bølgen brer seg. For lydbølger er utslaget en trykkforandring. For lydbølger i luft, er det en trykkforandring i luft. Tilsvarende for lyd i andre materialer. Trykkforandringene lokalt oppstår ved at luftmolekylene beveger seg i samme retning som bølgen brer seg. En slik bølge kalles longitudinal (langs-retningen). Det er imidlertid ikke slik at luftmolekylene flytter seg fra f.eks. en høyttaler til øret mitt når jeg lytter til musikk. Hvert enkelt luftmolekyl svinger fram og tilbake i forhold til et likevektspunkt, og amplituden i denne svingningen kan gjerne være mindre enn en 6

7 millimeter (for lyd i metaller en enda mye mindre lengde). Hvordan kan en bølge brer seg fra en høyttaler til mitt øre når luftmolekylene underveis rører så lite på seg? Grunnen er at luftmolekylene ett sted i rommet har en bevegelse som er tidsforskjøvet i forhold til luftmolekylene i et nærliggende område. Det er denne tidsforskyvingen (faseforskyvningen) som fører til at vi får en vandrende bølge. Vi skal siden leke oss litt med dette numerisk for å se hvor mange artige bølger vi kan oppnå selv om vi starter med en og samme form hver gang, men endrer på den relative bevegelsen i ulike deler av bølgen. Den andre hovedtypen bølger kalles transverselle bølger. Det mest kjente eksemplet er elektromagnetiske bølger. Da fysikerne på begynnelsen av 1800-tallet innså at lys måtte beskrives ved bølger (og ikke som partikler slik Newton hadde fått fysikere til å tro i over hundre år), hadde man problemer med å forklare polarisasjon. Grunnen er at man gikk ut fra at lysbølgene var longitudinale slik man mente alle bølger var. Først da Fresnell med flere foreslo at lysbølgene var transverselle, kunne man forstå polarisasjon. En transversell bølge har et utslag vinkelrett på bølgens utbredelsesretning (transversell: på tvers ). For elektromagnetiske bølger er det elektrisk og magnetisk felt som er utslaget. Elektrisk og magnetisk felt er vektorer, og har en retning i rommet. At en elektromagnetisk bølge er transversell betyr da at elektrisk og magnetisk felt er rettet i en retning vinkelrett på utbredelsesretningen til bølgen. Dersom bølgen vandrer i vertikal retning, vil såvel den elektriske og magnetiske feltvektoren være horisontalt rettet. Er f.eks. den elektriske feltvektoren alltid rettet i øst-vest retning, sier vi at bølgen er polarisert i østvest retning. Er bølgen plan, vil elektrisk felt ved et vilkårlig valgt tidspunkt ha samme retning og samme verdi overalt i et horisontalt plan. Vi kommer tilbake til elektromagnetiske bølger om noen uker når vi tar utgangspunkt i Maxwells ligninger for å se at disse leder oss til bølgelingning for elektrisk og magnetisk felt. Noen bølger sier vi er en mellomting mellom longitudinelle og transverselle. Vannbølger er et eksempel. Her flytter vannmolekyler seg både fram og tilbake i bølgens utbredelsesretning og i en retning vinkelrett på. 4.4 Refleksjon av bølger* Når en bølge forplanter seg bortover i et homogent medium, vil bølgen ha en amplitude og hastighet som svarer til hvor lett nettopp bølger av den aktuelle typen kan forplante seg i dette mediet. Vi sier at mediet har en karakteristisk impedans for bølgen. Vi skal siden f.eks. beregne den karakteristiske impedansen for elektromagnetiske bølger i vakuum. Hver gang en bølge opplever en overgang mellom to områder med forskjellig impedans, vil bølgen helt eller delvis bli reflektert og delvis transmittert inn i det nye mediet. Huskereglene er at dersom en bølge når et skille der impedansen til mediet øker (at bølgen har vanskeligere for å gå der), vil den reflekterte delen ha motsatt fortegn i for- 7

8 hold til den innkommende bølgen. Derimot, dersom impedansen i mediet avtar, vil den reflekterte bølgen ha samme fortegn som den innkommende. Den transmitterte bølgen vil alltid ha samme fortegn som den innkommende. Man kan lære seg disse huskereglene og ferdig med det. Man kan til og med tenke rent matematisk og summere matematiske funksjoner for å få fram huskeregelen på den måten. Anskuelsesformen hver enkelt velger er avhengig av hvordan man liker å arbeide med fysikk. Selv synes jeg det er morro å også bruke fysikk-resonnementer direkte i den grad det er mulig, og jeg skal forsøke å skissere hvordan jeg tenker i denne sammenheng. Forklaringen jeg gir er antakelig omtrent umulig å forstå uten en tilhørende figur. På forelesningene vil jeg tegne en figur og koble argumentasjonen til en bølge langs en streng. Da er det forhåpentligvis lettere å skjønne argumentasjonen. Figuren(e) skal omsider inn i dette kapittelet, men er ikke rentegnet ennå. Anta at en bølge brer seg bortover i et medium og vi er i et lite område der fasen er slik at bølgens utslag øker. Da er det krefter som er timet slik at dersom man summerer krefter over vårt lille område, vil disse kreftene forsøke å øke utslaget i enden av området. Så lenge bølgen beveger seg i et homogent medium, vil kreftene i det aktuelle området forsøke å løfte utslaget i siste del av området og dytter i motsatt retning på starten av området. Totalt får vi en bølge som vokser i enden av området i den lille tidsperiode vi betrakter. Dersom mediet i slutten av området får en høyere impedans, vil ikke utslaget så lett kunne øke som det hittil har gjort i området med den opprinnelige impedansen. Kreftene som manifesterer seg i mediet like før impedansskiftet er imidlertid de samme som før, men når de ikke så lett klarer å øke utslaget i slutten av området vi betrakter, fører det til at presset i motsatt retning blir desto større i starten av området. Det er dette presset som gir opphav til at den reflekterte bølgen får motsatt fortegn av den innkommende i dette tilfellet. Lignende argumentasjon kan brukes også når bølgen når et skille der impedansen avtar. En sak er å huske hvordan det går med fortegnet på den reflekterte bølgen og den transmitterte bølgen. Det er viktig nok. Men enda mye mer viktig er det både å huske og skjønne at det alltid er slik at en bølge delvis blir reflektert og transmittert når den kommer til et sted der impedansen til mediet bølgen brer seg gjennom endrer seg. Er endringen liten, blir det meste av bølgen transmittert, men er endringen i impedans stor, blir mesteparten av bølgen reflektert. Ved å la en impedansendring skje på en velvalgt måte over en passe avstand, kan man redusere andelen av reflektert bølge. Det er det som skjer når f.eks. linser dekkes med antirefleksjonshinner ( anti-refleksjons-belegg eller coating ). For å få en slik behandling effektiv, må den være spesiallaget for de bølgelengdene som den skal gjelde for og den vil bare være effektiv for lys som når overflaten i den vikelen behandlingen er beregnet for. Man benytter seg nemlig også av interferens ved utarbeiding av slike antirefleksbehandling. Vi skal siden i kurset komme tilbake til dette ved å studere en situasjon hvor vi får en bortimot 100 % refleksjon som ikke har noe med impedansendring i mediet å gjøre. Refleksjon i den situasjonen vi kommer tilbake til skyldes at to bølger når hverandre samtidig og danner destruktiv interferens. Med andre ord: Bølgelæren gir overraskelser stadig vekk. Det er en av grunnene til at bølger er så fascinerende som de er! 8