Kapittel 4. Bølger, del Utledning av bølgeligningen* Bølger på en streng F 2. F 2y. F2x. F 1x F 1. F 1y

Transkript

1 Kapittel 4 Bølger, del 2 [Copyright 2009: A.I.istnes.] 4.1 Utledning av bølgeligningen* i har tidligere gitt et matematisk uttrykk for en bølge og (ved en kvasi baklengs argumentasjon) vist hvilken differentialligning som har bølger som løsninger. I denne omgang skal vi starte med et fysisk system og utlede bølgeligningen derfra. i skal gjøre dette for svingninger på en streng og for lydbølger i luft/væske. Det er betydelig vanskeligere å gjøre en utledning for overflatebølger i vann, så på det området vil vi nøye oss med å gi mer omtrentlige løsninger uten utledning. Men la oss sette i gang! Bølger på en streng Anta at vi har en bølge langs en streng. i plukker ut en liten del av strengen, nærmere bestemt en bit som er liten i forhold til den effektive bølgelengden på det stedet vi betrakter. Figur 4.1 viser biten sammen med krefter som virker på den. Bølgen tenker vi oss forplanter seg i horisontal retning (x-retning). i har en rent transversal bølge hvor utslaget utelukkende er i vertikal retning i figuren (y-retning). Det må bemerkes at utslaget i vertikal retning er svært lite i forhold til strengebitens lengde. i overdriver y-retningen i figuren bare for at vi rent visuelt skal forstå de relasjonene som angis. F 1 F 1x F 1y ϕ 1 x µ F 2y F 2 F2x ϕ 2 Figur 4.1: Krefter som virker på en liten bit av en streng ved transversell bevegelse. Se teksten for detaljer. Det antas at snoras stivhet er så liten (i forhold til utslaget) at kraften som virker på strengbiten er tangentielt rettet langs strengen. Biten av strengen vil stadig vekk endre posisjon i forhold til middelere posisjon. Denne bevegelsen må vi kunne beskrive ved hjelp av Newtons annen lov. i stykker opp Newtons annen lov i hori- 1

2 sontal og vertikal retning, og tar horisontalen først. Siden strengen antas å ha en ren transversell bevegelse, forskyver ikke strengbitens massesenter seg i x-retning. Følgelig må summen av krefter i horisontal retning være lik null, med andre ord: F 2x = F 1x = F x Den siste overgangen er bare en dåp av variabelen F x som vi har bruk for senere. i bruker Newtons annen lov også i y- retning, og får: ΣF y = ma y F 1y + F 2y = µ x( 2 y Her har vi antatt at strengen har en konstant masse per lengde lik µ. Indeksen på siste parantes indikerer at vi beregner den dobbelt deriverte midt i intervallet x, dvs midt på strengbiten. i kan nå kombinere krefter i horisontal og vertikal retning ved å bruke antakelsen at kreftene virker langs strengen (tangentielt til strengen i endepunktet av biten vi betrakter). i får da for stigningstallet i starten og slutten av biten vår: tan φ 2 = F 2y F 2x = F 2y F x tan φ 1 = F 1y F 1x = F 1y F x = ( y ) x2 = ( y ) x1 Bruker vi de siste to leddene på hver av disse uttrykkene, multipliserer med F x, trekker den ene ligningen fra den andre og samler leddene, får vi: F x (( y ) x2 ( y ) x1) = F 2y + F 1y = ΣF y = µ x( 2 y Men x 2 = x 1 + x, og dividerer vi med F x x på begge sider, får vi: ( y ) x1+ x ( y ) x1 x = µ F x ( 2 y enstre siden er ikke noe annet enn den andre deriverte av y mhp x (evaluert omtrent midt i intervallet). Det er viktig at du skjønner at dette er annen derivert! Følgelig ender vi opp med: ( 2 y 2 ) x/2 = µ F x ( 2 y i nærmer oss nå det resultatet vi er ute etter. Siden vi evaluerer den annen deriverte på samme sted i strengen, kan vi droppe indeksen som viser dette. idere kan vi erstatte kraften F x i x-retning med kraften eller det vi heller kaller strekkingen F i strengen som sådan, forutsatt at utslagene er svært små (det vil si at vinklene φ i figuren over er svært små). Dette er vanligvis temmelig godt oppfylt for f.eks. bølger på en gitarstreng og lignende. Da følger (når vi velger å angi tidsderiverte først): 2 y t = F 2 µ 2 y (4.1) 2 Det betyr at vi faktisk har vist at vi kan beskrive bevegelsen til en streng ved hjelp av bølgeligningen. Bølgen må bevege seg med en hastighet: F v = µ i vet at en enkel bølge som er løsning av denne svingeligningen f.eks. kan være: y(x, t) = A cos(kx ωt + φ) hvor A er amplituden, k er bølgetallet, ω er vinkelfrekvensen og φ en vilkårlig fasevinkel. 2

3 i kan velge alle disse fire størrelsene fritt, bortsett fra at k og ω må tilfredsstille relasjonen: F v = µ = ω k Sagt på en annen måte: Det er tre frihetsgrader i bølgebevegelsen, og det er kanskje mest vanlig å angi disse som amplitude, frekvens og fase (dvs i praksis valg av nullpunkt for tid). Det er initialbetingelsene som bestemmer disse (skjønt randbetingelsene spiller en enorm rolle, noe som fører til at vi kan få stående bølger selv om initialbetingelsene alene tilsier noe helt annet). Før vi forlater bølgeligningen som beskriver bevegelsen til en streng, kan det være nyttig å minne om utgangspunktet for alle våre beregninger: i anvender Newtons annen lov. i antar at bølgen er rent transversell. i antar at kraften på en bit av strengen er tangentielt rettet (dvs en temmelig ren geometriantakelse). Og det var det hele! Bølger i luft/væske Utledning av bølgeligningen for bevegelse i luft/væsker er mer komplisert enn den forgående. En grunn til dette er at vi nå opererer med et medie som fyller tre dimensjoner. For å gjøre utledningen overkommelig, begrenser vi oss til en plan, longitudinal bølge, som i effekt gjør at posisjonsendringer osv kan beskrives fullstendig selv med bare én romlig dimensjon (pluss tid). Pensummessig vil vi i FYS2130 kunne kreve at studentene skal kunne utlede bølgeligningen for en streng til eksamen, slik vi gjorde i forrige delkapittel. For bølger i luft/væske vil det ikke være aktuelt å gjennomføre utledningen på egen hånd uten hjelpemidler. Likevel vil vi kunne stille spørsmål om hvilke hovedingredienser som brukes for å utlede bølgeligningen også i dette systemet. P P + dp + d Figur 4.2: Et volumelement med gass kan trykkes litt sammen dersom ytre trykk øker. Dersom dp er positiv, vil d være negativ. Den viktigste egenskap med luft og væsker er at de er kompressible, det vil si, det går an å trykke sammen en viss mengde gass eller væske til et mindre volum enn den hadde opprinnelig. Luft kan trykkes sammen relativt lettere enn væsker (og væsker relativt lettere enn faste stoffer). Figur 4.2 illustererer nomenklaturen vi bruker i utledningen nedenfor. Anta at en avgrenset mengde gass/væske med volum ekspenderer eller tykkes sammen til et nytt volum + d. i antar at d kan være både positiv og negativ, men at tallverdien er liten sammenlignet med. Den trykkforandringen som forårsaker volumendringen er dp. Er trykket opprinnelig P, blir den nå P + dp. i antar at dp kan være positiv og negativ, men tallverdien alltid liten relativ til P. Trykk måles i pascal (forkortes Pa) der 1 pascal = 1 Pa = 1 N/m 2 Hvor lett man kan trykke sammen en gass 3

4 eller væske beskrives av en materialkonstant som kalles kompressibilitetsmodulen. i betegner denne med K på norsk (B på engelsk, for bulk compressibility module ). Denne er definert slik: K = dp d (4.2) Kompressibilitetsmodulen er altså forholdet mellom en endring i trykk og den relative volumendringen denne medfører. Stor K svarer til at det må en stor trykkendring til for å få en gitt relativ volumendring. Med andre ord, stor K betyr at mediet er vanskelig å presse sammen. P(x) A gassvolum x P(x + x) t presses sammen eller utvider seg. Det vil si at et gassvolum vil kunne endre lengde i x- retning, men aldri i y eller z-retning. i har illustrert dette i figur 4.3. Effektiv forflytning av luftmolekyler angis med η, og η vil endre seg i x-retning (noe som henger sammen med volum og trykkforandringer i x-retning). Trykket P setter opp en kraft F som virker på tverrsnittet A som det valgte volumelement har i planet vinkelrett på x-aksen. Kraften er normalt ikke (motsatt) den samme på begge sider av volumelementet vi har valgt. i har indikert dette i figuren ved å bruke betegnelsene P (x) og P (x + x). Det virker derfor normalt en netto kraft på volumelementet, følgelig får denne gassen en akselerasjon gitt fra Newons annen lov. Massen til volumelementet er lik massetettheten ρ multiplisert med volumet. i har altså når vi anser økende x-verdier som positiv akseretning for F og akselerasjonen a: ΣF = ma η x + η t + t P A (P + P x)a = η (ρ x) 2 t 2 hvor vi har brukt den generelle relasjonen (Taylorutvikling): Figur 4.3: ed en longitudinell bevegelse av et gass- eller væskevolum vil trykk og volum endre seg, men bare i én romlig dimensjon (her i x retning). La oss nå se på et volum gass eller væske der det forekommer trykkvariasjoner i én dimensjon og kaller denne dimensjonen x. Med det mener vi at trykket til enhver tid antas å være identisk i hele planet vinkelrett på x-aksen som i det tilsvarende punktet som ligger på x-aksen. For en slik modell, skjer all forflytning av molekyler parallelt med x-aksen når lufta P (x + x) = P (x) + P x Følgelig: P = η ρ 2 (4.3) t 2 En bemerkning: Her har vi egentlig gjort en tilnærming allerede, idet vi opererer med en konstant massetetthet ρ. Dersom vi hadde bakt inn at også massetettheten endres når trykk og volum endres, ville vi fått et annen ordens ledd i tillegg til de som inngår i ligningen nå. Dette ville under vanlige forhold gitt et lite korreksjonsledd som ikke betyr mye for bevegelsen til gassen, men for store trykkendringer osv ville leddet få mer betydning. 4

5 For å komme videre trenger vi å finne en kobling mellom trykkforandringer i P og effektiv utslag (posisjonsendringer) η til gassmolekylene. Denne sammenhengen finner vi i definisjonen av kompressibilitetsmodulen gitt i ligning 4.2. i multipliserer over nevneren i uttrykket og får: dp = K d Setter vi dette inn venstre side av i ligning 4.3, får vi: P = (P + dp) = K d (4.4) Her har vi valgt å skrive trykket som en konstant gjennomsnittsverdi P (som vi gjerne kunne ha kalt P 0 om vi ville) pluss et tidsog posisjonsvariabel endring i trykk dp som er lite sammenlignet med gjennomsnittsnivået. Den relative volumendringen kan i sin tur relateres til utslaget til gassmolekylene η, siden (referer til figur 4.3): Følgelig: d η = η x = A η x A x Herav følger fra ligning 4.4: = η P = K ( η ) = K 2 η 2 Når vi setter dette inn i ligning 4.3, får vi: eller K 2 η = η 2 ρ 2 t 2 2 η t 2 = K ρ 2 η 2 (4.5) i har altså kommet fram til bølgeligningen også for dette systemet. i har altså vist at forskyver man luftmolekyler på en systematisk måte, som indikert tidligere i utledningen, vil utslaget til forflytningen av luftmolekyler bre seg som en bølge. Hastigheten til bølgen er gitt ved: K v = (4.6) ρ Lydhastigheten øker med andre ord dersom gassen/væsken er vanskelig å trykke sammen, men avtar med massetettheten til materien lyden brer seg gjennom Konkrete eksempler Det er en svært enkel beregning vi har foretatt for å komme fram til bølgeligningen for bevegelser i luft og væsker. i startet ut med Newtons annen lov og anvendte lovmessigheten som ligger i definisjonen av kompressibilitetsmodulen, pluss noen andre mindre betydningsfulle detaljer, og kom fram til bølgeligningen. Er det så at en så enkel beskrivelse kan gi et brukbart estimat av lydhastigheten? La oss se på lyshastigheten i vann. Kompressibilitetsmodulen for vann (ved omtrent atmosfæretrykk) er gitt ved K = Pa. Tettheten til vann er ρ kg/m 3. Setter vi inn i uttrykket for lydhastigheten i ligning 4.6, får vi: v vann m/s Tabellverdi for lydhastighet i vann er 1402 m/s ved 0 o C, og 1482 m/s ved 20 o C. Med andre ord er overensstemmelsen faktisk god! Skal vi beregne lydhastigheten i luft, har vi et problem at kompressibilitetsmodulen van- 5

6 ligvis ikke gis som en generell tabellverdi, siden verdien avhenger av hvilket trykk man betrakter. i starter i stedet med gassloven: P γ = konstant hvor γ = C p /C v der C p er spesifikk varme ved konstant trykk, og C v er spesifikk varme ved konstant volum. Det forutsettes at de endringene som skjer i volum og trykk foregår slik at vi ikke tilfører energi til gassen (adiabatiske forhold). For lyd med normal lydintensitet, er dette kravet rimelig godt tilfredsstilt, men ikke for svært kraftig lyd. Foretar vi en generell derivering av gassloven, får vi: Følgelig dp γ + P d( γ ) = 0 γ dp + γ γ 1 d P = 0 K = dp = γp d i finner varmekapasitetene for luft fra tabeller, og får: γ = C p C v = En atmosfæres trykk er Pa, følgelig får vi et mål for kompressibilitetsmodulen for luft under en atmosfæres trykk (og adiabatiske forhold): K = Pa Når vi også fra tabeller kan finne fram til massetettheten for luft ved en atmosfæres trykk og ca 20 grader C (ρ = kg/m 3, kan vi endelig beregne lydhastigheten i luft: v lyd i luft = 331m/s Tabellverdi er 344 m/s. De tallene vi har brukt refererer ikke alle til 20 grader C og en atmosfæres trykk. Det er derfor ikke så rart at vi ikke får fullt klaff i beregningene. Likevel er den beregnede verdien bare om lag fire prosent for lav. Det indikerer at våre beregninger og formelen vi kom fram til for lydhastighet i gasser/væsker, er rimelig god! Også for metaller er det i tabeller oppgitt kompressibilitetsmodul, og beregner man lydhastigheten i metaller ved å bruke samme formel som for gasser og væsker, får man verdier som er i nærheten av den korrekte, men med langt større avvik enn for luft og vann. Ekspempelvis beregner man lydhastigheten i stål til å være 4510 m/s, mens den i virkeligheten er om lag 5941 m/s. Tilsvarende for aluminium beregner man 5260 m/s, mens virkelig verdi er 6420 m/s. i ser altså som nevnt at det er større sprik her mellom beregnet og virkelig lydhastighet. Forøvrig bør man merke seg at i metaller kan lyden gjerne forplante seg som en transversal bølge i stedet for eller i tillegg til en longitudinal. Lydhastigheten til en transversal bølge i et metall avhenger av stivheten til metallet, med den følge at transversale bølger ofte har lavere bølgehastighet enn for longitudinale bølger. Slår man på en metallstav, får vi ofte både transversale og longitudinale bølger samtidig, og de longitudinale har ofte en høyere frekvens enn de transversale (etter at stående bølger har dannet seg) Trykkbølger I utledningen ovenfor så vi at effektiv bevegelse til gass- eller væskemolekyler kan følge en bølgeligning. Det er interessant å se hvor stor forskyvning molekylene har når en bølge passerer, men vanligvis er det mer interessant å beskrive bølgen i form av trykkforandringer. i skal vise overgangen her og nå. i viste ovenfor at molekylene effektivt forflytter seg en avstand η longitudinalt i bølg- 6

7 ens retning. Denne tilfredsstiller bølgeligningen 4.5: 2 η t = K 2 η 2 ρ 2 En løsning kan da f.eks. være den enkle bølgen: η(x, t) = D cos(kx ωt) hvor bølgetall k og vinkelfrekvens ω må tilfredsstille: ω k = Kρ hvor størrelsene er som definert over. Når vi skal over til trykkbølger, bruker vi på ny definisjonen av kompressibilitetsmodulen (ligning 4.2), som med enkel manipulasjon gir: er en faseforskjell mellom disse bølgene, men mer viktig er sammenhengen mellom amplitudene. Dersom amplituden for forskyvning til molekylene er D, er amplituden for trykkbølgen kkd, altså bølgetallet multiplisert med kompressibilitetsmodulen multiplisert med forskyvningsamplituden. dp = K d Bruker vi figur 4.3, kan vi skrive: dp = K η (( x + x) x)a xa dp = K η Størrelsen dp er endring i trykk i forhold til gjennomsnittsverdien, og er en funksjon av posisjon og tid. i kan gjerne omdøpe denne slik: dp p(x, t) Når vi så faktisk deriverer vår løsning av bølgeligningen, får vi: p(x, t) = K η Og endelig: = KD( sin(kx ωt)) k p(x, t) = kkd sin(kx ωt) (4.7) i ser altså at såfremt at forskyvningen av molekylene beskriver en bølgebevegelse, vil også trykkvariasjonen gjøre det samme. Det 7