Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1.

Transkript

1 FYS2130 Våren 2008 Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. Vi har på forelesning gått gjennom foldingsfenomenet ved diskret Fourier transform, men ikke vært pinlig nøyaktige med detaljer. Det viser seg imidlertid å være nødvendig med pinlig nøyaktighet for å få helt korrekte resultater ved oblig 1. De som nå er ferdig med obligen behøver ikke å gjøre om noe som helst som følge av dette notatet. For de som fortsatt holder på med oppgave 2 og som kanskje ikke har fått med seg detaljer om speiling tidligere (f.eks. dersom de ikke var på de aktuelle forelesningene), legger vi nå ut dette notatet med tips og info om de pinlig nøyaktige detaljene som finnes. La oss starte med det grunnleggende. Vi har et signal, som f.eks. kan være posisjonen til et lodd som henger i en fjær og svinger opp og ned. Funksjonen vi da har sier vi er et tidsbilde. Vi sampler posisjonen i et visst antall N diskrete tidspunkt (like langt mellom hvert tidspunkt vi måler/sampler posisjonen). I figur 1 er det gitt et eksempel på et slikt tidsbilde. Det er trukket linjer mellom hvert målepunkt slik at kurven ser glatt ut. Men i virkeligheten er materialet som ligger bak figuren en tallrekke som i dette tilfellet består av 128 tall. Som vi ser av figuren varierer tallene mellom +3 og -3. Tallrekken har ikke selv noe informasjon om ved hvilken tid målingene ble foretatt. Vi må derfor selv holde regnskap med dette. I vårt tilfelle foretok vi 128 målinger (samplinger) på 6.28 sekund. Da er samplingsfrekvensen 128/6.28 Hz = 2 Hz. 3 Opprinnelig funksjon (tidsbilde) Utslag (f.eks. i meter) Tid (sek) Figur 1: En funksjon som viser hvordan en fysisk størrelse varierer med tiden. Vi kaller dette for et tidsbilde. Vi skal nå foreta en diskret Fourier transform av signalet vårt, det vil si våre 128 måleverdier. Hensikten er å finne hvilke frekvenskomponenter som finnes i signalet vårt. Vi ser at vi har et usedvanlig enkelt signal, nemlig en ren sinusfunksjon som har tilsynelatende nøyaktig tre hele perioder innenfor den tiden vi foretok målingene. Men vi ser også at signalet starter litt over null og så beveger seg nedover. Det betyr at vi ikke kan lage dette signalet ved bare en enkel sinus eller en enkel cosinus som starter i null. Signalet ligger nærmest en negativ sinus, men starter litt over null slik at den også må ha et innslag av en positiv cosinus. Med andre ord: Signalet har en fase relativt til tidspunktet der vi sier at tiden er null.

2 Vi foretar så en diskret Fourier transform etter de formlene som er gitt på forelesning og (indirekte) gjennom eksempelprogrammer lagt ut i forbindelse med obligen. Resultatet fra Fouriertransformasjonen er gitt i figur Fourier komponenter (cos rød, sin blå) Cos- og sin-komponenter i frekvensspekteret - - N/2 = 64 N= Arrayelement nummer (fra 1 til N) Figur 2: Etter en Fourier transform får vi et frekvensbilde av dataene våre. Speiling forekommer, mer om dette i teksten. Resultatet består av to rekker med tall: En an-array som gir cosinusbidragene og en bn-array som gir sinusbidragene. I figuren er disse angitt med hhv rødt og blått. Vi ser at vi finner en topp nær 1 (første element i arrayen har indeks 1 i et Matlab-program) en annen topp nær N = 128 (enden av tallrekkene). Vi ser at sinusbidraget er om lag -1.4, mens cosinus-bidraget er på ca +0.6 i den nedre enden av x-aksen og hhv +1.4 og +0.6 i den øvre. Vi kan vise at vi har en folding (også kalt speiling ) rundt midten av x-aksen. Og generelt vil cos-leddene speiles uten å endre fortegn, mens sin-leddene speiles og samtidig bytter fortegn. Vi ser at det er samsvar med hva vi så av tidsbildet, at det lignet mest på en minus-sinus med litt innslag av en pluss-cosinus. Og det er akkurat hva vi fant i Fourier-transformen. Men dersom vi ser på størrelsen av disse komponentene og sammenholder dem med det opprinnelige tidsbildet, så finner vi ikke noe 1.4 eller 0.6 noe sted der. Tvert om er amplituden i tidsbildet 3.0. Dersom vi plasserer an og bn-verdiene i et plan hvor an-verdiene legges langs x-aksen og bn-verdiene langs y-aksen, finner vi noe interessant. I figur 3 har vi gjort dette for den frekvensen som gir topper i frekvensdiagrammet (lest ut nøyaktig). Vi ser da at dersom vi anser an og bn som koordinater til en vektor i planet, vil vektoren ha lengden dvs 1.5, hvilket er akkurat halvparten av amplituden i tidsbildet. Og dersom vi legger til toppen i frekvensspekteret nær øvre ytterkant, får vi et nytt bidrag lik 1.5. Tilsammen blir dette nøyaktig lik amplituden til tidssignalet, nemlig bn +435 Lengde vektor: an Figur 3: Hvordan vi finner amplituden til hver enkelt frekvenskomponent.

3 Vi ser videre at vi kan bruke an og bn for å bestemme vinkelen f, for vi har: f = atan(bn/an) * 180 / pi ; f = o (gir vinkel i grader) Vi kan med andre ord ut fra frekvensspekteret si at funksjonen som fantes i tidbildet må kunne skrives som f (t) = 3.0 * cos(w*t + f); Alternativt kunne vi ha skrevet: f(t) = 2.0 * an(n1)*cos(w*t) + 2.0*bn(n1)*sin(w*t); Her er n1 indeksen i frekvensbildet hvor den nedre toppen lå. Vi har altså funnet amplituden og fasen, eller komponentene an og bn, men foreløpig har vi ikke gått nøyaktig inn på hvordan man leser av frekvenser i frekvensspekteret. Det får vi gjøre nå. PS: Dersom du har bruk for å regne ut arctangens i Matlab og du ønsker å få svaret angitt for hele +p til -p, bør du bruke atan2(bn,an). Funksjonen atan(bn/an) gir bare svar i intervallet +p/2 til -p/2. Detaljer angående foldingen Fourierspekteret som vi også kaller frekvensspekteret, er satt sammen på en ganske spesiell måte. La oss utforske dette ved å bruke noen veldefinerte signaler i tidsbildet. Det aller enkleste tidsbildet vi kan ha, er at signalet har en konstant verdi hele tiden vi sampler. Dette er vist i figur 4, både i form av tidsbildet og frekvensbildet Tidsbildet 1.5 Frekvensbildets første punkter Figur 4: Enkleste signal i tidsbildet: En konstant verdi hele tiden. Det gir bare utslag i aller første element i frekvensspekteret. Enhet langs tidsaksen er sek, mens vi har erstattet frekvensaksen med tall som bare angir indeksen i arrayen som inneholder frekvensspekteret. Denne forenklingen gjelder også videre figurer. Cos-bidragene (an) er angitt med rødt, sin-bidragene (bn) blått. Egentlig er disse figurene basert på et endelig antall punkter (de som er markert med sirkler i figuren til høyre). Vi trekker imidlertid i fortsettelsen bare rette linjer mellom punktene og sløyfer å tegne inn hvert enkelt punkt som en skive. Vi ser at det aller første elementet i frekvensspekteret inneholder informasjon om gjennomsnittsverdien av alle punktene i tidsbildet. Denne informasjonen ligger bare i cos-leddet an. Sin-leddet bn skal her alltid være lik null. Dette er et krav som vi må ta hensyn til når vi manipulerer på frekvensspekteret.

4 Vi ser forøvrig at det er direkte samsvar mellom gjennomsnittsverdien i tidsbildet og verdien i frekvensspekterets første punkt (1.5 begge deler her). Dette skyldes at det første punktet i et frekvensspekter IKKE blir speilet om midten når alt kommer til alt. Det nest enkleste signalet man kan tenke seg i tidsbildet er en sinus som har nøyaktig lik én periode i løpet av den tiden vi sampler signalet. Dette tilfellet er vist i figur 5 sammen med det tilhørende frekvensspekteret Figur 5: Til venstre er tidsbildet av en harmonisk svingning med nøyaktig en periode innenfor den tiden man sampler. Frekvensspekteret til dette signalet er gitt til høyre; den nedre del av frekvensspekteret og den øvre delen hver for seg for å vise detaljer. Vi ser at vi har omtrent en ren cos-funksjon i tidsbildet, men at det er en liten faseforskyvning som gjør av vi starter litt etter toppen av cosinusen. Dette tilsvarer at vi adderer et lite bidrag fra en negativ sinus. Det ser vi igjen i frekvensspekteret ved at cos-bidraget (an) dominerer, men at det er litt sinusbidrag også (bn, blå). Vi ser at signal med én periode i løpet av samplingstiden gir bidrag i frekvensspekterets andre element (an(2) og bn(2)). Men speilingen gjør at vi også får bidrag i siste del av spekteret. Men merk her at dette bidraget kommer som siste element, dvs i vårt tilfelle med bare 128 punkter i tids- og frekvensbildet, finner vi dette bidraget som an(n) og bn(n) hvor N = 128. Dersom vi nå forsøker samme analyse med et tidssignal som har nøyaktig seks fulle perioder innenfor samplingstiden, får vi resultatene vist i figur Figur 6: Til venstre er tidsbildet av en harmonisk svingning med nøyaktig seks perioder innenfor den tiden man sampler. Frekvensspekteret til dette signalet er gitt til høyre; den nedre del av frekvensspekteret og den øvre delen hver for seg for å vise detaljer. Vi ser at vi i dette tilfellet får utslag i frekvensspekteret på syvende (seks pluss 1) element nedenfra og sjette element ovenfra (element = element 123).

5 Vi aner nå hvordan dette utvikler seg, men må teste hva som skjer nær halve samplingsfrekvensen, det vil si for signaler i tidsbildet som har nesten N/2 hele perioder innenfor samplingstiden, hvor N som før er antall samplinger som er foretatt (128 i vårt tilfelle). I figur 7 er det vist frekvensspekteret for to ulike signaler. Tidsbildet som var utgangspunktet for frekvensbildet til venstre bestod av 63 (dvs N/2-1) hele perioder innen samplingsiden, mens tidsbildet bak frekvensbildet til høyre inneholdt 64 (dvs N/2) hele perioder Figur 7: Frekvensspekteret til et signal hvor det var nøyaktig 63 = N/2-1 hele perioder innenfor samplingstiden til venstre, og 64 = N/2 perioder for signalet bak kurven til høyre. Vi ser her at alt fungerer som vi forventet opp til N/2-1 hele perioder innenfor samplingstiden. Vi har separate topper for frekvens og speilfrekvens, og vi ser at cos-bidragene (an, røde) speiles og beholder fortegn, mens sin-bidragene (bn, blå) speiles og skifter fortegn. MEN vi ser at speilingen skjer rundt halve samplingsfrekvensen, men da er indeksen N/2+1!!! I den høyre delen av figuren ser vi hva som skjer når vi faktisk har et signal som har nøyaktig halve samplingsfrekvensen, det vil si at det er nøyaktig halvparten så mange hele perioder innenfor samplingsitden som antall punkter man sampler. I det tilfellet legges frekvens og speilfrekvens oppå hverandre slik at cos-leddet (an) blir dobbelt så stort som ellers, mens sin-signalene (bn, som var motsatt like store) adderes sammen til null. Dette er det andre spesielle punktet i et frekvensspekter hvor det er slik at vi krever at an-leddet kan være forskjellig fra null, mens bn-leddet må være null. Og dette punktet skal ikke speiles (det er sitt eget speilbilde). Dette er igjen en detalj vi må ta hensyn til når vi manipulerer i frekvensspekteret i obligen vår dersom vi skal gjøre ting helt korrekt. Oppsummering Vi har da sett følgenede: Første spesielle punkt i frekvensspekteret: an(1) gir gjennomsnittsverdien for tidsbildet direkte bn(1) skal alltid være null Andre spesielle punkt i frekvensspekteret: an(n/2+1) gir amplituden til et signal som har eksakt lik frekvens som halve samplingsfrekvensen. bn(n/2+1) skal alltid være lik null.

6 Verken {an(1),bn(1)} eller {an(n/2+1),bn(n/2+1)} skal speiles. De øvrige an(n)- og bn(n)-verdier gir informasjon om amplituder og faser for frekvenser mellom null (null ikke inkludert) og halve samplingsfrekvensen (halve samplingsfrekvensen ikke inkludert). Frekvensene til et punkt n langs frekvensaksen er lik (n-1) ganger Df, hvor Df er frekvensoppløsningen Df = 1/T, hvor T er den totale samplingstiden (ikke bland sammen med periodetiden til signalet). Dette gjelder bare opp til halve samplingsfrekvensen. Speilfrekvensen til et punkt n (hvor n>1, n<n/2+1) i frekvensspekteret finnes ved indeksen N+2-n. Amplituden til en bestemt frekvens finnes ved bruk av Pythagoras: Ampl(n) = sqrt( an(n)^2 + bn(n)^2) + sqrt(an(n+2-n) + bn(n+2-n)); Men pga symmetrien ved speiling er dette det samme som: Ampl(n) = 2.0*sqrt( an(n)^2 + bn(n)^2); I begge disse to siste tilfellene gjelder at n>1 og n<n/2+1. Fasen til en frekvenskomponent med indeks n er gitt ved: fase(n) = atan2(bn(n), an(n)); (i radianer, og fase relativt til en cos-beskrivelse) Det gjelder samme krav til n som ovenfor for at dette skal være tilfelle. Vi kan ikke snakke om fase ved null frekvens (gjennomsnittverdien, indeks n=1), og heller ikke ved halve samplingsfrekvensen (indeks n=n/2+1). Generelt ser vi at informasjonen i frekvensspekteret for indekser større enn N/2+1 allerede er inkludert i informasjonen som ligger i spekteret ved de lavere indeksene. Vi kan derfor effektivisere beregningene i forhold til hvordan vårt eksempelprogram er satt opp, men vi har valgt å gjøre ting på vår måte for å få fram den egentlige sammenhengen som Fourier transform gir før vi eventuelt utnytter de symmetriene som finnes. Vi ser at dersom vi forenkler all informasjon i et frekvensspekter så langt vi kan, ender vi opp med å bruke nøyaktig N tall, forutsatt at tidsbildet ble beskrevet med N tall. I vår omfattende beskrivelse hadde vi N cos-ledd (an-er) og nye N sin-ledd (bn-er), tilsammen 2N tall. Men når vi fjerner info hvor speiling finnes, samt fjerner bn(1) som alltid er lik null, og fjerner bn(n/2+1) som også alltid er null, sitter vi igjen med nøyaktig N punkter. Relasjon til obligens 2c Dersom man speiler rundt N/2 i stedet for rundt N/2+1 i oppgave 2c i obligen, og ellers ikke tar hensyn til detaljene i dette skrivet, vil tidsbildet for lyden etter at man har randomisert fasene for lydfil2, ha et minimum på midten. Dette minimumet skal forsvinne dersom man speiler rundt N/2+1 og følger reglene for indeks n=1 og n=n/2+1 slik det er gjort rede for i dette notatet.