Kapittel 2. Fourier analyse. 2.1 Fourier transform*

Transkript

1 Kapittel 2 Fourier analyse [Copyright for kapittelet, tekst og figurer: Arnt Inge Vistnes.] 2.1 Fourier transform* Vi kan fremstille svingefenomener, slik vi hittil har gjort, ved å angi en tidsvariabel funksjon f.eks. på formen: eller f(t) = A cos(ω 1 t + φ) (2.1) f(t) = B cos(ω 1 t) + C sin(ω 1 t) (2.2) Uttrykket viser at svingningen bare inneholder én frekvens. B 2 + C 2 angir amplituden og forholdstallet mellom B og C angir fasen: φ = arctan( C/B). Vi kan imidlertid også angi svingningen på en helt annen måte: { B for ω = ω1 F 1 (ω) = 0 ellers { C for ω = ω1 F 2 (ω) = 0 ellers Det er svært viktig for utbyttet av resten av dette kapittelet at du raskest mulig gjennomskuer forskjellen og sammenhengen mellom f(t) og F i (ω). Det er ikke så enkelt, men jobber du med stoffet noen timer, bør det komme etter hvert. Forøvrig vil jeg legge til at vi ikke skal ha like mye tungt mattestoff i ukene som kommer som vi har hatt de første ukene av kurset. Så hold ut! Matematikken byr på et vell av svært nyttige transformasjoner der man kan starte med å beskrive en lovmessighet på én måte og dernest gå over til å beskrive samme lovmessigheten på en helt annen måte. Eksempelvis kan vi beskrive en fysisk pendel ved å ta utgangspunkt i krefter og anvende Newtons annen lov, eller vi kan bruke energibevaring som utgangspunkt for beskrivelsen. Liknende er det med en svingebevegelse. Den kan beskrives ved å betrakte hvordan svingningen utvikler seg med tiden, eller man kan beskrive den ved bare å angi hvilke frekvenser som forekommer og hvilken innbyrdes fase de ulike frekvensene opptrer med. Man kan i dette siste tilfellet gå fra den ene betraktningsmåten til den andre. Det var den franske matematikeren og fysikeren Joseph Fourier ( ) som sørget for dette. Han lanserte en transform som nå har hans navn. (Fourier er forøvrig kjent for å ha påvist/forklart drivhuseffekten for global oppvarming i 1824). Fourier transform er videreutviklet etter Fourier sin tid for også å omfavne funksjoner gitt på digital form (som en endelig streng med tall). Vi kommer tilbake til den såkalte diskrete Fourier transform om litt. La oss se på den opprinnelige formalismen: 1

2 La f(t) være en integrerbar funksjon av tid. Da kan vi beregne en ny funksjon F (ω), hvor ω er vinkelfrekvens, på følgende måte: F (ω) = 1 2π f(t)e iωt dt (2.3) Det morsomme med denne funksjonen er at vi kan ta en tilsvarende omvendt transform: f(t) = 1 2π F (ω)e iωt dω (2.4) og ende opp med eksakt den opprinnelige funksjonen igjen. Merk fortegnskiftet i den komplekse eksponentialfunksjonen. Det finnes tre ulike måter å fordele faktoren foran integraltegnet på, vi har valgt den varianten som gir mest symmetriske uttrykk. Fra likningene 2.3 og 2.4 ser vi at selv om f(t) er reell, vil F (t) være kompleks. Dette er nødvendig for at F (t) både skal kunne angi hvor kraftig svinging vi har ved ulike frekvenser, og i tillegg angi innbyrdes fase til de ulike frekvenskomponentene. (En symmetri i F medfører at f etter den omvendte transformen blir reell, slik den var opprinnelig.) Vi diskuterte ulike måter å beskrive en svingning på i kapittel 1, og et par eksempler er tatt med i likningene 2.1 og 2.2. For å forstå Fourier transform og Fourier analyse er det svært viktig at du fullt ut forstår ligningene vi drøftet i kapittel 1. Dere har muligens møtt Fourier transform i mattekurs tidligere. Der vil transformen gjerne bli knyttet opp til indreprodukt mellom to funksjoner, og man definerer en basis av sinus og cosinusfunksjoner og anvender Gram-Schmidt på en funksjon for å finne dens Fouriertransformerte. Vi velger en mer praktisk tilnærming i vårt kurs. Det bør forøvrig nevnes at f og F generelt sett ikke behøver å være funksjoner av tid og frekvens. Det finnes mange ulike typer funksjoner og sammenhenger hvor Fourier transform anvendes. I vårt kurs begrenser vi oss imidlertid (nesten utelukkende) til tid og frekvens FT av en konstantfunksjon Hva kommer ut av en Fourier-transform? Anta først at f(t) er en konstant h. Vi beregner nå Fourier-transformen til denne funksjonen ved å anvende likning 2.3 sammen med Eulers formel: e iα = cos α + i sin α : F (ω) = 1 he iωt dt 2π = 1 { h cos(ωt)dt+i 2π h sin(ωt)dt} Vi kan sette konstanten h utenfor integraltegnet, og ender opp med å ta integralet av sinus og cosinus over intervallet ±. Vi skal gjøre dette for alle tenkelige ω. Det er en idealisert beskrivelse vi har brukt for F. I praksis normerer vi oftest med hensyn til hvor lang tid integrasjonen går over. Likning 2.3 vil da i praksis ofte se slik ut: F (ω) = (lim T ) 1 2T T T f(t)e iωt dt (2.5) Fourier transformen gir derfor i praksis (i alle fall i vår sammenheng) middelverdien av produktet f(t) cos(ωt) og f(t) sin(ωt) over det intervallet integrasjonen foretas. I vårt tilfelle, siden f(t) = h er en konstant, angir integralet rett og slett middelverdien til sinus og cosinus multiplisert med h. Resultatet er null for alle ω bortsett fra ω = 0: { h for ω = 0 F (ω) = 0 ellers Dette er altså den Fourier transformerte av en konstant-funksjon. 2

3 2.1.2 FT av en sinusfunksjon Vi skal nå finne Fourier transformen av en generell sinus- (eller cosinus-)funksjon: f(t) = a cos(ω 1 t) + b sin(ω 1 t) (2.6) som vi også kan skrive på formen: f(t) = c cos(ω 1 t + φ) Før vi går videre omformer vi det første av disse uttrykkene til eksponentialform ved å bruke Eulers formel. Først ser vi at: cos(ω 1 t) = 1 2 (eiω 1t + e iω 1t ) sin(ω 1 t) = 1 2i (eiω 1t e iω 1t ) Setter vi dette inn i likning 2.6, får vi: F (ω) = f(t)e iωt dt (2.7) = { a 2 (eiω 1t + e iω1t ) (2.8) + b 2i (eiω 1t e iω1t )}e iωt dt (2.9) = { a 2 (ei(ω 1 ω)t + e i(ω1+ω)t ) (2.10) + b 2i (ei(ω 1 ω)t e i(ω 1+ω)t )}dt (2.11) Her har vi forenklet notasjonen ved å bare angi integrasjonstegnet uten å gi integrasjonsgrenser (±T ) eller grenseverdi (lim T ). Ut fra Eulers formel og at vi vet at middelverdien av enhver sinus eller cosinusfunksjon er lik null, ser vi at alle fire ledd i det siste integralet blir null dersom eksponentene er forskjellig fra null. Imidlertid, dersom eksponenten i eksponentialfunksjonen er null, vet vi at middelverdien er lik 1. Resultatet blir da: a i b for ω = ω a F (ω) = + i b for ω = ω ellers Dette er mer eller mindre ekvivalent med ortonormalitetsegenskapen til sinus og cosinusfunksjoner, dersom dere allerede har støtt på denne. Det kan diskuteres hvorvidt det er fysikalsk korrekt å operere med en negativ vinkelfrekvens i vårt enkle tilfelle, men la oss nå godta dette siden det i det minste er en matematisk løsning. Når vi først kjenner til denne detaljen, er det ikke noe problem å håndtere dette siden Det essentielle! Hva har vi nå vist? Jo, at har vi en sinus eller cosinusfunksjon f(t) med vinkelfrekvens ω 1, vil den Fouriertransformerte F (ω) være null overalt, unntatt for ω = ω 1. F vil for denne verdien av ω være et komplekst tall hvor realdelen angir halve amplituden på cosinusleddet, og imaginærdelen angir halve amplituden på sinusleddet (sammen angir de total amplitude og fase for svingningen). Fouriertransformen finnes imidlertid i to varianter, forlengs og baklengs. Gjennomfører vi den baklengse transformasjonen, får vi eksakt den opprinnelige funksjonen igjen. Og her kommer det grensesprengende inn: Har vi en vilkårlig funksjon f(t) og Fourier omvender den, vil vi ende opp med en kompleks funksjon F (ω). Men vi har vist at for enhver ω, for eksempel ω = ω 2, svarer F (ω 2 ) til at det opprinnelige signalet inneholder funksjonen: f 2 (t) = 2R(F (ω 2 )) cos(ω 2 t)+2i(f (ω 2 )) sin(ω 2 t) Vi merker oss videre at Fourier transformen er lineær, det vil si at Fourier transform 3

4 av en sum av funksjoner er like summen av Fourier transform av hver enkelt funksjon. Det betyr at enhver funksjon f(t) kan anses som en sum av cosiunusfunksjoner med passe amplituder og faser. Dette er et overordentlig viktig resultat som vi vil benytte mange ganger i kurset. Resultatet kan også betraktes fra en litt annen synsvinkel. Spesielt i kvantefysikken opererer vi med et komplett basissett av funksjoner som kan spenne ut rommet av alle mulige løsninger i en viss sammenheng. I kvantefysikken kan det iblant være svært få funksjoner som spenner ut rommet over mulige løsninger. I vårt tilfelle har vi med en uendelig mengde funksjoner å gjøre, alle er cosinusfunksjoner med ulike vinkelfrekvenser og faser Diskrete funksjoner I Fouriertransformen vi hittil har presentert har vi med kontinuerlige funksjoner å gjøre, og integreringen strekker seg fra minus til pluss uendelig. Det er greit nok i matematikken, men for en fysiker som f.eks. sampler en lydsnutt, vil vi bare ha med en endelig streng med tall å gjøre. I den sammenheng innfører vi Fourier-rekker og diskret Fourier transform som er definert ved: F k = N 1 n=0 f n e i 2π N kn for k = 0,..., N 1 (2.12) Også ved diskret Fourier transform har vi en invers transform: N 1 f n = 1 F k e i 2π N kn for n = 0,..., N 1 N k=0 (2.13) Her er f n reelle tall som beskriver en funksjon i tid, mens F k er komplekse og angir frekvensspekteret. Vi kunne godt også i dette tilfellet fordelt konstantfaktoren likt på begge transformasjonene, ved å multiplisere med 1/ N i begge uttrykk. I så fall ville transformasjonen vært unitær. Når vi bruker datamaskin foretrekkes imidlertid ofte at vi kombinerer begge faktorer til én (1/N) for ett av transformene (slik vi har gjort det), men her er det valgfrihet. Diskret Fourier transform har stort sett de samme egenskapene som den kontinuerlige, men nå er det bare diskrete frekvenser som forekommer i eksponential-leddet: ω k = 2π k for k = 0,..., N 1 N Det er et endelig antall frekvenser som forekommer, og det betyr at vi ikke kan gjenskape et hvilket som helst tidssignal. Men vi har heller ikke uendelig frihet i å velge tidssignalet, siden det bare er målt i N tidspunkt. Hva signalet er mellom disse tidspunktene, er det ingen som vet. Det vil si, vi må faktisk kreve av den som sampler signalet i disse N punktene i tid, at signalet mellom punktene ikke oppfører seg alt for vilt. Ellers kan vi ikke være sikker på at startsignalet svarer til signalet som har gjennomgått en Fourier transform og tilbaketransformert etterpå. Vi kommer tilbake til dette om litt. Det essentielle ved diskret Fourier transform er som ved den kontinuerlige, at vi kan anse hvilket som helst signal beskrevet med de N punktene {f n } som sammensatt av sinus og cosinus-funksjoner (diskrete) slik at: N 1 f n = 2 k=0 {R(F k ) cos( 2πkn N ) I(F k) sin( 2πkn N )} (2.14) Merk at de sinus og cosinusfunksjonene som forekommer alle har eksakt et helt antall bølgelengder innenfor den tiden vi har 4

5 samplet signalet. Antallet er: {0, 1, 2,..., N 1} hvor nullen tilsvarer en konstantfunksjon. Det er da nokså rett fram å vise at dersom signalet vi samplet, beskrevet gjennom tallrekken {f n }, har eksakt m hele bølgelengder innenfor samplingstiden, vil den diskrete Fourier transformen bare inneholde ett komplekst tall forskjellig fra null, nemlig F m. Dersom et samplet signal består av flere komponenter med flere ulike hele bølgelengder innenfor samplingstiden, vil Fourier transformen gi oss en tallrekke {F k } med flere ledd forskjellig fra null. Rekken vil da fortelle hvilke frekvenskoponenter som er kraftigst, idet amplituden er gitt ved: Verdi av f n Opprinnelig funksjon (f n ) A k = R(F k ) 2 + I(F k ) Fourier komponenter og fasen er gitt ved: φ k = arctan( I(F k) R(F k ) ) Praktiske detaljer Skal man bruke Fourier transform i praksis, er det en rekke detaljer man må kjenne til, og vi skal gå gjennom noen av disse her. I uttrykkene for diskret Fourier transform inngår det bare tall uten benevning, og vi må selv sørge for å skalere aksene til egnede fysiske enheter. Anta at vi digitaliserer (sampler) et tidsavhengig signal. Vi velger da gjerne å sample 2 m ganger, hvor m er et heltall (fordi de raskeste programmene for beregning av Fourier transform krever dette). I vårt eksempel nedenfor har vi valgt N = 512 = 2 9. Anta at vi har en samplingsfrekvens på 1.0 khz. I så fall vil tidsstrengen vi sampler være T = 512 ms lang (egentlig bare 511 mellomrom, men vi antar at hver sampling representerer fulle 1 millisekund). Verdi av F k røde kvadrater : cos blå plusstegn : sin Figur 2.1: Øverst: Eksempel på et samplet signal. Her får vi nøyaktig plass til to perioder innenfor de 512 punktene vi sampler. Nederst: Fouriertransformering av signalet gir et frekvensspektrum. Siden signalet er en ren cosinusfunksjon, er det bare den reelle delen i frekvensspekteret som viser utslag. Imaginærdelen er null overalt. Vi har imidlertid en topp i begge ender av den reelle delen av frekvensspekteret. Se detaljer i neste figur og i teksten. 5

6 Dersom vi har et signal som har nøyaktig én periode innenfor de 512 punktene, har signalet en frekvens: frekv 1 = 1 T = 1 Hz = 1.95Hz I Fourier-spekteret, som vi kaller det, det vil si {F k }, vil F 1 være forskjellig fra null, mens alle andre F k forventes å være null. I figur 2.1 har vi vist et tilfelle der signalet har nøyaktig to fulle perioder innenfor de 512 punktene vi sampler. Da er F 2 forskjellig fra null. [Husk at F 0 angir størrelsen på konstantverdi-funksjonen. Har ikke signalet noe konstant verdi i tillegg til cosinussignalet, må F 0 være lik 0.] Men vi ser noe uventet! Helt til høyre i frekvensspekteret finnes det også et punkt som er forskjellig fra null. Grunnen er at dersom vi sampler et signal med to hele perioder innenfor T, vil det samplede signalet være det samme som om signal hadde frekvens (N 2) frekv 1. (Diskuteres siden.) Figur 2.2 viser detaljer i starten og slutten av frekvensspekteret. Merk at tellingen starter ved indeksen null, slik at høyeste indeks i frekvensspekteret blir N 1 = 511. Signalet i figur 2.1 har to ganger frekvensen som svarte til nøyaktig en periode innenfor samplingstiden. Frekvensen er med andre ord: frekv 2 = 2 frekv 1 = 3.90Hz Vi ser nå hvordan dette kommer til å utvikle seg videre. Får vi en topp i punkt nr m, svarer dette til en frekvens lik: frekv m = m frekv 1 = m 1.95Hz Men hvor høyt kan vi gå og fortsatt stole på frekvensberegningen vår? Siden vi har to topper i frekvensspekteret, og de jobber seg lenger og lenger vekk fra endepunktene, vil vi for en frekvens om lag (N/2) frekv 1 oppleve at den nedre og Verdi av F k Verdi av F k Fourier komponenter (detalj1) røde kvadrater : cos blå plusstegn : sin Fourier komponenter (detalj 2) røde kvadrater : cos blå plusstegn : sin Figur 2.2: Detaljer i frekvensspekteret i forrige figur. Øverst: De første få punktene i frekvensspekteret. Nederst: De siste få punktene. Merk at utslaget i frekvensspekteret er lik halve amplituden av det opprinnelige signalet. Realdelen og imaginærdelen er forskjøvet litt i forhold til hverandre for at begge skal kunne leses av uten forstyrring av den andre. 6

7 øvre toppen møter hverandre. Dette tilsvarer at signalet har en frekvens lik halvparten av samplingsfrekvensen. For enda høyere frekvenser vil de krysse hverandre! Da er det umulig å vite hvilken topp som hører til nedre eller øvre gren, og vi få problemer med frekvensbestemmelsen! Vi kaller dette for folding. For å unngå folding, må man passe på at det virkelige fysiske signalet vi sampler ikke inneholder frekvenskomponenter med høyere frekvens enn halve samplingsfrekvensen. Dette kan vi sørge for ved å sette inn et lavpassfilter mellom signalkilden og samplingskretsen. For CD lyd er samplingsfrekvensen 44.1 khz. Da må vi ha et lavpassfilter mellom mikrofonforsterker og samplingskretsene som fjerner alle frekvenser over ca 22 khz. Ellers ville lyden vi fikk ved avspilling kunne låte helt forferdelig! Før vi går videre skal vi ta med et frekvensspekter også for det tilfellet at fasen til det samplede signalet ikke er så renskåret som i stad. Figur 2.3 viser hvordan frekvensspekteret dersom signalet er en faseforskjøvet cosinus, det vil si en sum av cosinus og sinus-funksjoner. Vi ser at frekvensspekteret nå består av både reelle og imaginære ledd (svarer til cosinus-innholdet og sinusinnholdet). Vi kan merke oss at amplitudene i frekvensspekteret nå er mindre enn 0.5 som var amplituden vi hadde for en ren cosinusfunksjon. Vi vet imidlertid at vi må bruke Pythagoras for å finne total amplitude i tilfeller vi har et faseskift, og det er tilfredsstillende å merke seg at Verdi av f n Verdi av F k Opprinnelig funksjon (f n ) Fourier komponenter røde kvadrater : cos blå plusstegn : sin Figur 2.3: Fourier transform av et cosinussignal med faseforskyvning, har både en reell og imaginær komponent. Toppen ved riktig frekvens og speilfrekvensen (den foldete frekvensen) har likt fortegn i ett av tilfellene og motsatt fortegn i det andre. Dette sikrer at vi får en reell funksjon etter den inverse transformasjonen. + 7

8 2.1.6 Litt mer om foldning Folding er et resultat av at når vi sampler et signal, kan vi ikke være sikre på hva som skjer mellom samplingene. Dette er illustrert i figur 2.4. I figuren er det tegnet inn to ulike signaler, en i rød heltrukken linje, og en i blå stiplet linje. Den røde har en litt mindre frekvens enn den blå, men de er valgt å ligge nokså nær hverandre. Disse linjene representerer to ulike signaler slik de faktisk varierer med tiden. Signalstyrke (vilkårlig enhet) Samplede punkter + frekvens og speilfrekvens i fin oppløsning signalet har vi færre en to samplinger pr periode. For å være sikker på hva slags signal man faktisk har med å gjøre, anvender vi ofte (som allerede nevnt) filtre for å fjerne høyere frekvenser. Lovmessigheten vi her har berørt kalles Nyquist-Shannons samplingsteorem, og en mer presis formulering er som følger: Dersom en (kontinuerlig) funksjon ikke inneholder noen frekvenser høyere enn f x, kan vi beskrive funksjonen entydig ved å angi verdien til funksjonen i en serie av tidspunkt med (mindre eller lik) tidsdifferens 1/(2frekv x ) fra hverandre. En mengde detaljer knyttet til Fourier transform finner du på f.eks. Wikipedia Tid (vilkårlig enhet) Figur 2.4: To signaler som tilsammen har en frekvens lik samplingsfrekvensen, vil gi samme resultat når vi sampler nettopp med samplingsfrekvensen. I figuren er det også tegnet inn symboler som representerer målepunktene dersom de to signalene blir samplet. Enten vi startet ut med signalet gitt ved den røde heltrukne linjen, eller vi startet ut med signalet gitt med den stiplede blå linjen, er målepunktene identiske! Dette skjer alltid dersom frekv r + frekv b = samplingsfrekvensen Vi ser at for signalet representert ved den røde heltrukne linjen har vi mer enn to samplinger pr periode, mens for det andre 8

9 2.1.7 Fourier transform på datamaskinen % Enkelt eksempelprogram for å % v i s e hvordan Fourier transform % kan gjennomføres i p r a k s i s i % Matlab. Eksemplet e r en modi % f i k a s j o n av et eksempelprogram % på h j e l p e s i d e n e i Matlab. % f r e k v e n s e r opp t i l halve % samplingsfrekvensen. f i g u r e ; p l o t ( frekv,2 abs (F ( 1 :N/ 2 ) ) ) t i t l e ( Absolutt v e r d i e r av... f r e k v e n s s p e k t e r e t ) x l a b e l ( Frekvens (Hz) ) y l a b e l ( F( f r e k v ) ) 2.2 En refleksjon* % Samplingsfrekvens : Fs = 1000; % Tid mellom hver sampling : delta_t = 1/Fs ; % Antall samplinger : N = 1024; % Tidsvektor : t = ( 0 :N 1) delta_t ; % Lager her et kunstig s i g n a l % som en sum av e t 50 Hz % s i n u s s i g n a l og en 120 Hz % c o s i n u s p l u s s l e g g e r t i l % et random s i g n a l : x = 0.7 s i n (2 pi 50 t ) +... cos (2 pi 120 t ) ; f = x randn ( s i z e ( t ) ) ; p l o t ( Fs t, f ) t i t l e ( Opprinnelig s i g n a l ) x l a b e l ( t i d ( m i l l i s e k u n d e r ) ) % Fourier transform F = f f t ( f,n)/n; % Frekvensvektor f r e k v = ( Fs /2) l i n s p a c e ( 0, 1,N/ 2 ) ; % P l o t t e r bare lengden på % frekvenskomponentene i % f r e k v e n s s p e k t e r e t. % Velger å bare ta med 9 For enkelte signaler er det lett å tenke seg at signalet kan tenkes å være satt sammen av cosinus og sinusfunksjoner som varer ved hele tiden vi betrakter signalet. Synger vi en a for eksempel, og vi sampler lyden bare mens lyden varer og holder seg noenlunde konstant, er frekvensspekteret svært meningsfullt. Men dersom signalet er transient, som for eksempel om vi sier p, hvordan skal vi da forstå et frekvensspekter når for eksempel samplingstiden var to sekunder, og lyden varte bare i et kvart sekund? Er det da meningsfullt å si at også i den tiden det ikke finnes noe lyd, er det egentlig (?!) et vell av samtidige sinus og cosinusfunksjoner, bare at de nuller hverandre ut. Som du kanskje forstår, er det noen begrepsmessige problemer knyttet til Fourier transform av transiente signaler. Dette blir ytterligere forsterket ved at en diskret Fourier transform faktisk innebærer at signalet vi beskriver ved et frekvensspekter, egentlig må anses å gjenta seg selv på identisk vis hver total samplingstid T etter hverandre, som perler på en snor. Dersom vi skulle unngå et slikt kvasiperiodisk signal, måtte den totale samplingstiden gå mot uendelig. Forøvrig kan det nevnes at Fourier transform er nøye knyttet til Heisenbergs uskarphetsrelasjon i kvantefysik-

10 ken. Du kan lese mer om dette på Oppgaver 1. Har du lagt merke til at det er ulik skalering av konstantleddet sammenlignet med alle andre ledd i F? Sjekk spesielt de siste ligningene i underkapitlene og Skriv et Fourier transform program i Python eller Matlab (eller hvilket som helst programmeringsspråk) og sjekk at et signal med eksakt seks perioder innenfor 512 punkter gir et frekvensspekter som du forventer. 3. Modifiser programmet bitte litt slik at signalet nå får 6.2 perioder innenfor de 512 punktene. Hvordan ser frekvensspekteret ut nå? Beskriv så godt du kan! 4. Modifiser programmet slik at du får åtte hele perioder med firkantsignal innenfor de 512 punktene. Hvordan ser frekvensspekteret ut nå? 5. Modifiser programmet slik at du får åtte hele sagtenner (trekantsignal) innenfor de 512 punktene. Beskriv også dette frekvensspekteret! I oblig 1 kommer vi til å bruke Fourier transform på virkelige signaler. Som en forberedelse til denne kan det være lurt å finne ut hvordan du skrive data til og leser data fra en fil (i det programmeringsspråket du ønsker å bruke). 10