Løsningsforslag til øving 5

Transkript

1 Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005 Løsningsforslag til øving 5 Veiledning mandag 26. og onsdag 28. september a) Med motstand og kapasitans C i serie: cos ωt = I + Q C (Kirchhoffs spenningsregel) La oss først benytte anledningen til å reklamere for å bruke kompleks notasjon, ved å løse oppgaven uten kompleks notasjon! En partikulærløsning av differensialligningen vil generelt være på formen eller, ekvivalent, på formen Med den siste formen innsatt i ligningen fås For å bestemme Q 0 og β bruker vi og Q + Q C = cos ωt Q(t) = a cos ωt + b sin ωt Q(t) = Q 0 cos(ωt + β) ωq 0 sin(ωt + β) + Q 0 C cos(ωt + β) = cos ωt cos(ωt + β) = cos ωt cos β sin ωt sin β sin(ωt + β) = sin ωt cos β + cos ωt sin β Sammenligning av koeffisienter foran cos ωt og sin ωt gir da Den siste av disse to fastlegger fasevinkelen β: ωq 0 sin β + Q 0 C cos β = ωq 0 cos β Q 0 C sin β = 0 tan β = ωc Da følger det at sin 2 β cos 2 β = (ωc)2 1

2 dvs eller 1 cos 2 β cos 2 β = (ωc) 2 1 cos β = 1 + (ωc) 2 Da kan vi bestemme Q 0 fra den første av de to ligningene ovenfor: ωq 0 sin β + Q 0 C cos β = Q 0 C (1 ωc tan β) = cos β Q 0 = C 1 + (ωc) 2 Med andre ord: Q(t) = C cos (ωt arctan ωc) (ωc) Strømmen I(t) blir den tidsderiverte av Q: ω C I(t) = sin (ωt arctan ωc) (ωc) Vi har generelt at så vi kan skrive I(t) på formen med og sin x = cos(x + π/2) I(t) = I 0 cos (ωt α) ω C I 0 = 1 + (ωc) 2 α = arctan ωc π 2 Litt kronglete, men overkommelig for en så enkel krets. Likefullt kan en vel se for seg at dette kan bli bortimot uhåndterbart for litt mer kompliserte kretser. La oss bruke kompleks notasjon og overbevise oss om at vi får samme svar, bare på en enklere måte. Vi setter V (t) = e iωt og tilsvarende for Q og I. Kirchhoffs spenningsregel gir da Q 0 iωe iωt + Q 0 C eiωt = e iωt 2

3 dvs med absoluttverdi og fasevinkel Strømmen blir dvs med absoluttverdi Q 0 = Q 0 = C 1 + iωc C 1 + (ωc) 2 β = arctan ωc I(t) = Q = iωq 0 e iωt = I 0 = og fasevinkel (idet vi setter I 0 = I 0 exp( iα)) iωc 1 + iωc eiωt iωc 1 + iωc = ωc ωc i ω C I 0 = 1 + (ωc) 2 α = arctan 1 ωc Altså samme svar, men mye mindre arbeid... (Du kan jo sjekke selv at fasevinkelen virkelig ble den samme, dvs du må sjekke at arctan x π/2 = arctan 1/x.) Til slutt: Er resultatet rimelig? La oss sjekke grensene små og store frekvenser: ω 0 : I 0 0 og α arctan = π 2 Dette virker fornuftig: Null likestrøm gjennom en kondensator. Dermed hele spenningsfallet over kondensatoren, og (-) 90 graders faseforskjell mellom spenning og strøm (dvs: den bittelille strømmen som går der dersom ω er bittelitt forskjellig fra null), alternativt β 0, dvs null faseforskjell mellom påtrykt spenning og ladning på kondensatoren. ω : I 0 ωc ωc = og α arctan 0 = 0 Dette virker også fornuftig: Hele den påtrykte spenningen gjenfinnes som spenningsfall over motstanden. Strømamplituden I 0 kan ikke bli større enn /. Sammenhengen mellom ladningsamplituden Q 0 og strømamplituden I 0 er I 0 = ω Q 0. Når ω blir stor og I 0 er begrenset til /, må det bety at Q 0 må bli liten. 3

4 I 0 ω b) Med motstand og kapasitans C i parallell: cos ωt = I = Q C (dvs Kirchhoffs spenningsregel anvendt på begge sløyfene). Videre I = I + I C = I + Q (dvs Kirchhoffs strømregel). Her er det faktisk omtrent like enkelt å regne med reell eller kompleks formalisme. Jeg velger den komplekse (se også øving 4): V (t) = e iωt Dermed: og Altså, for total strøm: I = I + Q = Fysisk (total) strøm på formen gir amplitude og fasevinkel Grensesjekk : I = V = eiωt Q = V C = Ce iωt ( ) V0 + iωc e iωt = (1 + iωc) eiωt ω 0 : I 0 I(t) = I 0 cos(ωt α) I 0 = V (ωc) 2 α = arctan ωc og α arctan 0 = 0 4

5 Dette virker fornuftig: Null likestrøm gjennom kondensatoren, all strøm gjennom motstanden. ω : I 0 ω C( ) og α arctan = π/2 Dette virker også fornuftig: Maksimal ladning på kondensatoren, Q 0 = C, oppnås veldig raskt, så strømmen inn på kondensatoren, I C = ω C, blir stor. Strømmen gjennom motstanden, I = /, er gitt ved Ohms lov og svinger i fase med den påtrykte spenningen, uavhengig av om ω er stor eller liten. Total strøm domineres imidlertid av I C, så fasevinkelen blir den samme som i en V C-krets. I 0 ω c) Med motstand og induktans L i serie: dvs V L I = I L I + I = cos ωt Med kompleks notasjon, V = exp(iωt), I = I 0 exp(iωt), får vi LiωI 0 + I 0 = eller med absoluttverdi I 0 = I 0 = + iωl 2 + ω 2 L 2 og fasevinkel (igjen, med I 0 på formen I 0 exp( iα)) Grensesjekk : ω 0 : I 0 α = arctan ωl og α arctan 0 = 0 5

6 Dette virker fornuftig: Med likespenning representerer spolen rett og slett en kortslutning, og kretsen består bare av spenningskilden og motstanden. ω : I 0 0 og α arctan = π/2 ωl Dette virker også fornuftig: Påtrykt spenning svinger så raskt at vi ikke får etablert noen strøm gjennom spolen. Hele den påtrykte spenningen gjenfinnes som en indusert motspenning i spolen. Dermed null spenningsfall over motstanden, og null strøm. Fasevinkelen α blir som i V L-kretsen. Vi kan også tenke slik: Spenningsfallet over motstanden har amplitude I 0. Spenningsfallet over induktansen har amplitude Lω I 0. Ingen av disse kan uansett bli større enn amplituden til den påtrykte spenningen. Dermed, hvis ω blir tilstrekkelig stor, nærmere bestemt hvis ω /L, må I 0 bli liten. Skisse av strømamplituden: I 0 ω 6