FYS1120 Elektromagnetisme, Oppgavesett 11

Transkript

1 FYS0 Elektromagnetisme, Oppgavesett 5. november 06

2 I FYS0-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som blir gitt til eksamen. Derfor er det viktig at du gjør ukesoppgavene som blir gitt. Dersom du synes det er vanskelig å komme i gang, eller hvis du ikke synes det er nok oppgaver, kan du godt gjøre følgende oppgaver fra læreboka i tillegg: Fra kapittel 3, Alternating Current: Exercises Oppgave Transformator Sett at du tar med deg hårtørreren din til USA, der stømuttakene git deg 0 V (rms) i stedet for 30 V som du får i Norge. Hjemme i norge fåt du 600 W i snitteffekt fra hårtørreren. a) Hva kan du gjøre for å oppnå samme effekt fra hårtørreren i USA som i Norge? Svar: Koble på en transformator med vindingsforhold 3 med vindinger kobles mot amerikansk strømuttak. der den siden Løsning: Vi vil bruke en transformator for å transformere opp til norsk spenning. Vi trenger da et vindingsforhold på N = V = 30 V N V 0 V = 3 () b) Hvor stor støm vil du trekke fra strømuttaket i USA? Svar: I rms = 3.3 A () Løsning: Strømmen som trekkes bestemmes av effekt og spenning I rms = P = 600 W = 3.3 A (3) V rms 0 V c) Hvilken motstand vil det amerikanske strømnettet oppleve at hårtørreren din har når du har modifisert den for å få norsk effekt? Svar: R = 9.0 Ω Løsning: Den interne motstanden i hårtørreren er R = V rms = 33. Ω (4) P

3 Den effektive motstanden kan vi beregne ved å se på avsatt effekt og inngående spenning P = R eff I rms (5) Dette gir oss R eff = P I rms = 600 W = 9.0 Ω (6) 76.9 A Oppgave En RLC parallellkrets En motstand, spole og kondensator er koblet i parallell til en vekselstrømkilde med amplitude V og vinkelhastighet ω (se figur ). La kildespenningen være gitt ved v = V cos ωt. Figur : En parallell RLC-krets. a) Vis at spenningene v R, v L og v C over de forskjellige komponentene alltd er like store som v, og at i = i R + i L + i C, der i er strømmen gjennom kilden. i R, i L og i C er strømmene gjennom de forskjellige komponentene. Løsning: For å finne spenningene bruker vi Kirchoffs sløyferegel, og ser på sløyfer over kilden og henholdsvis motstanden, spolen og kondensatoren. For å finne summen av strømmen bruker vi Kirchoffs knutepunktsregel. Først bruker vi den til å summere strømmen fra kondensatoren og spolen, og så tar vi denne summen og legger sammen med strømmen fra motstanden. b) Hva er faseforskyvningen til i R, i L og i C i forhold til v? Bruk strømfasorer til å representere strømmene i, i R, i L og i C, og spenningen v, og vis disse i et fasordiagram. Svar: i R er i fase med v. i L ligger 90 bak, og i C ligger 90 foran.

4 Figur : Fasordiagram for strømmen i en parallellkoblet RLC-krets Løsning: Siden komponentene er koblet i parallell, er spenningen over dem alltid i fase, og gitt ved spenningen til kilden. Dermed kan vi se på hvordan strømmen forskyves i forhold til spenningen for alle komponentene. Strømmen gjennom motstanden er ikke forskjøvet i forhold til spenningen. Spolestrømmen ligger 90 bak spenningen over spolen. Kondensatorstrømmen ligger 90 foran spenningen over kondensatoren. Se i University Physics kapittel Alternating Current avsnitt. Resistance and Reactance for utledning av dette. Fasordiagram i figur. c) Bruk fasordiagrammet i (b) til å vise at amplituden ti kildestrømmen er gitt ved I = IR + (I C I L ) (7) Løsning: Siden I C og I L er motsatt rettet, og begge står normalt på I R, vil også summen av dem stå normalt på I R. Dermed kan vi bruke Pythagoras for å finne størrelsen til summen av fasorene. d) Vis at resultatet i (c) kan skrives som I = V/Z der ( Z = R + ) (8) ωl 3

5 Løsning: Fra forrige oppgave kjenner vi amplituden til strømmen gjennom kilden som funksjon av de individiuelle stømamlitudene over komponentene. Nå skal vi sette inn uttrykk for disse strømmene. Generelt er strømmen gjennom en komponent I = V/X, der X er reaktansen til komponenten vi setter spenning over. Reaktansene er gitt som: X R = R, X C = og X L = ωl. Dermed har vi: ( V I = R + V ωl) V (9) Oppgave 3 Høypassfilter En anvendelse av å kombinere en motstand, en spole, en kondensator og en spenningskilde i en krets, er høypassfilteret. Der kobler man alle komponentene i serie, og så tar man ut spenningen over motstanden og spolen (se figur 3) Figur 3: Et høypassfilter a) Finn et uttrykk for forholdet V ut /V mellom spenningen man henter ut mellom punktene a og b, og kildespenningen, som funksjon av den påtrykte frekvensen ω. Løsning: Først uttrykker vi kildespenningen ved spenningene over de forskjellige komponentene. ( V = I R + ωl ) (0) Deretter uttrykker vi spenningen over motstanden og spolen, V ut med I. V ut = I R + ω L () 4

6 Når vi nå skal skrive opp forholdet V ut /V ser vi at I kansellerer. V ut V = R + ω L R + ( ) ωl () b) Vis at når ω er liten, er forholdet lineært og lite, og at når ω er stor går forholdet mot. Løsning: Vi ser på grensene ω og ω 0. Når ω 0 ser vi at dominerer fullstendig under brøkstreken, slik at V ut /V 0. Når ω ser vi at forsvinner, og vi står igjen med V ut/v R +ω L R +(ωl) = 5