Løsningsforslag til øving 4

Transkript

1 Institutt for fysikk, NTNU FY3 Elektrisitet og magnetisme II Høst 25 Løsningsforslag til øving 4 Veiledning mandag 9. og onsdag 2. september Likeretter a) Strømmen som leveres av spenningskilden må gå gjennom dioden. Denne strømmen I d (t) vil fordele seg på en komponent I C (t) inn på kondensatoren og en komponent I (t) gjennom motstanden: I d (t) = I C (t) + I (t) Så lenge spenningsforholdene i kretsen er slik at det går en positiv strøm I d gjennom dioden, kan vi erstatte dioden med en motstandsfri leder ( kortslutte dioden) og sette V d =. Da har vi V ut = V inn = V = V C Generelt, uansett retning på strømmen, har vi, med bruk av Kirchhoffs spenningsregel V ut = V inn V d = V = V C I første omgang ser vi altså på tilfellet at I d > og V d =. Vi bestemmer de to bidragene til den totale strømmen I d : I C (t) = dq = C dv C I (t) = V = V inn = V sin ωt = C dv inn der vi har innført ω = /C. Total strøm blir dermed = CV ω cos ωt = ω ω V cos ωt I d (t) = V ( ω ω ) cos ωt + sin ωt () Like etter t = dominerer det første leddet, strømmen inn på kondensatoren. Med oppgitte tallverdier har vi ω = 2πf = π 34 s, mens ω = /(.) = s. Altså er faktoren ω/ω = π 3.4, så strømmen inn på kondensatoren er ganske stor like etter vi har skrudd på spenningskilden, mer enn 3 ganger større enn strømmen gjennom motstanden ved noe tidspunkt kan bli. Dette er simpelthen et resultat av at kondensatorens kapasitans C er forholdsvis stor. Den har dermed mulighet til å lagre mye ladning. ett etter vi har skrudd på spenningskilden, vil mesteparten av strømmen gå inn på kondensatoren, framfor å gå den tunge veien gjennom motstanden. Etter hvert som kondensatoren lades opp, blir det tyngre og tyngre å tilføre ekstra ladning. Dermed blir I C mindre og mindre, mens I rett og slett øker proporsjonalt med verdien på V inn.

2 Når blir så I d = for første gang? Vel, vi har jo den eksplisitte tidsavhengigheten til I d ovenfor, så kriteriet må åpenbart bli ω ω cos ωt + sin ωt = tan ωt = ω ω som vi var be om å vise. Tar vi invers tangens på begge sider av denne ligningen, får vi ωt = arctan ( ω ) ( ) ω = arctan ω ω Ukritisk kalkulatorbruk gir nå ωt =.539 og t = s = 4.9 ms. Men vi skulle finne første gang I d blir null etter t =. Da må vi huske på at tangensfunksjonen gjentar seg med periode π: 4 2 tan(x*pi/2) x Dvs: tan(x π) = tan x, slik at den søkte løsningen for t er gitt ved ( ) ω ωt = π arctan ω t = π π arctan(π) = (..49) s = 5. ms π 2

3 Dette er like etter at det har gått en kvart periode π/2ω = 5. ms. Da har ladningen Q nådd sin maksimale verdi, og I C skifter retning. På grunn av faktoren ω/ω vil I C raskt bli like stor som I (men med motsatt fortegn). Da har I d falt til null, hvoretter V d blir negativ, og vi kan erstatte dioden med en åpen krets og sette I d =. Kommentar: For store argumenter x er arctan x π/2, så en ser umiddelbart at ωt blir omtrent lik π/2. Taylorutvikling av arctan x gir arctan x = π/2 /x + O(/x 3 ). (Dvs: Neste ledd i rekkeutviklingen er av orden /x 3.) Tar vi med det første korreksjonsleddet /x, har vi π arctan(π) ( π π 2 ) π 2 = 5 =.49 der vi har satt π 2. Dvs samme svar, helt uten bruk av kalkulator... Som sagt blir spenningen V over motstanden den samme som V inn i dette tidsrommet: V (t) = V sin ωt b) Etter tidspunktet t π/2ω kan vi altså erstatte dioden med en åpen krets. Da har vi simpelthen en enkelt sløyfe med og C, som med bruk av Kirchhoffs regler gir dq = C dv C Vi har altså en differensialligning for V C, med generell løsning = I C = I = V = V C dv C = ω V C V C (t) = V C (t ) exp ( ω (t t )) (t t ) V C (τ) = V C (t ) exp( ω τ) V exp( ω τ) (τ ) der vi har brukt at ved t = t, ved τ = har vi V C V. c) Spenningen over motstand (og kondensator) vil altså falle eksponentielt, men langsomt, fra sin maksimale verdi V ved t = t. Etter hvert vil V inn svinge tilbake og bli like stor som V ved tidspunktet t. For t > t vil dioden derfor igjen være positivt forspent, og den kan på ny betraktes som kortsluttet (I d >, V d = ). Dermed må vi få samme oppførsel som beskrevet av ligning () (side ) inntil ωt 5π/2, hvoretter den eksponentielt avtagende funksjonen overtar igjen. Osv osv! For å bestemme t og den tilhørende spenningen V må vi løse ligningen V sin ωt = V exp ( ω (t t )) sin πt = exp (.5 t ) En slik ligning lar seg ikke løse analytisk, vi er ikke i stand til å skrive ned et eksakt uttrykk for t. Vi kan imidlertid plotte venstre og høyre side i samme diagram: 3

4 .5 sin(*pi*t) exp(.5-*t) t (s) Det ser ut som om t.23 s blir omtrent riktig. Innsetting av denne verdien gir for venstre side.89 og for høyre side.835. Disse to verdiene er tilstrekkelig like til at vi konkluderer med t 23 ms Den tilhørende spenningen er V = V exp (.5.23).83V (Vi får mest nøyaktig verdi ved å sette inn for t i den langsomst varierende funksjonen!) ipplespenningen blir V ripple = V V.7V =.85 V d) Som antydet i punkt c) fortsetter V (t) periodisk på denne måten: 4

5 .8 V_ / V_ t (s) 5