Forelesning nr.12 INF 1410

Transkript

1 Forelesning nr.12 INF 1410 Komplekse frekvenser analyse i frekvensdomenet INF

2 Oversikt dagens temaer Intro Komplekse tall Komplekse signaler Analyse i frekvensdomenet INF

3 Intro Har så langt i kurset analysert kretser med spoler, kondensatorer og ohmske motstander i tidsplanet Ohmske motstander er tids-uavhengige, dvs at strømmen gjennom og spenningen over ikke avhenger av tiden Spoler og kondensatorer er tidsavhengige, dvs at strømmen gjennom og spenningen over dem varierer over tid Den tidsavhengige strøm-spenningsrelasjonen for en kondensator er i dv C dt Den tidsavhengige strøm-spenningsrelasjonen for en spole er v di L dt INF

4 Intro (forts I Videre tidsplanet kan man dele analysen av kretsoppførsel inn i kategorier avhengig av type innsignal: Direct Current (DC Impuls Sinusformet Alternating Current (AC deler man totalresponsen inn i to deler Naturlig Påtrykket (tvungen INF

5 Analyse i frekvensdomenet Ofte Analyse I Det er det vel så viktig å analysere oppførselen til en krets som funksjon av frekvensen til inn-signalet istedenfor som funksjon av tiden i frekvensplanet kan også gjøre analysen i tidsplanet enklere vha Laplace-transform frekvensanalysen benyttes som oftest et sinus-signal som basis innsignal kan vises vha av Fourier-transform at et vilkårlig acsignal kan representeres som en sum av sinus-signal mmed ulik frekvens og amplitude INF

6 Sinussignaler Et sinussignal er et tidsvarierende signal og karakteriseres ved Amplitude Frekvens Et sinusformet spenningssignal kan skrives på formen v(t V m sin( t Et der V m er amplituden, ωt er argumentet og ω vinkelfrekvensen (radianfrekvensen sinussignal er et periodisk signal, dvs at det gjentar seg med en bestemt hyppighet, bestemt av frekvensen INF

7 Sinussignaler (forts Sammenhengen Hvis mellom frekvens f og periode T er gitt ved f der enheten for periode er sekunder, og for frekvens 1/s frekvensen oppgis i radianer, får man følgende sammenheng 1 T T 2 2 f INF

8 Sinussignaler med forskyving Et sinussignal kan uttrykkes enda mer generelt ved å ta med en fasevinkel θ v(t V m sin( Fasevinkelen angir en tidsforskyvning i forhold til ωt, dvs enten til ventre eller til høyre langs tidsaksen t INF

9 Sinussignaler med forskyving Fasevinkelen For er spesielt nyttig når man sammenligner to sinussignaler med samme frekvens Hvis to signaler har sammen verdi for fasevinkelen er signalene i fase Hvis de har ulik fasevinkel er de ute av fase å sammenligne to signaler mhp fase må de Begge være sinussignaler eller begge cosinussignaler Begge skrives med positiv amplitude Ha samme frekvens INF

10 Sammenheng mellom sinus og cosinus For å konvertere signaler som er en blanding av sinus og cosinus, kan man benytte følgende ligninger: sin( cos( t t sin( cos( t t sin( t cos( t 90 cos( t sin( t INF

11 Komplekse frekvenser Ved I Med Løsning å introdusere komplekse signaler (dvs signaler i det komplekse planet får man en enkel og generell måte å representere alle typer innsignaler tillegg vil innsignaler representert som komplekse variable også forenkle analysen, både i tids- og frekvensplanet komplekse signaler vil ligningene som beskriver generelle RCL-kretser være rent algebraiske og ikke integro-differensial ligninger av rene algebraiske ligninger er mye enklere enn integro-differensialligninger INF

12 Kort om komplekse tall Komplekse Et tall kan tenkes på som en utvidelse av de reelle tallene kompleks tall består av en reell og en imaginær del: A= a + jb der konstanten j 1 Et Den vanlig reelt tall er et kompleks tall hvor b=0 reelle og imaginære delen kan refereres til som hhv Re{A} a Im{A} b INF

13 Kort om komplekse tall (forts Man kan tenke seg et kompleks tall i et to-dimensjonalt koordinatsystem Den horisontale aksen representerer rene reelle tall (b=0, mens resten av planet representerer generelle imaginære tall INF

14 Kort om komplekse tall (forts For Addisjon at to komplekse tall A=a+jb og B=c+jd skal være like, må a=c og samtidig b=d av to komplekse tall: (a jb (c jd (a c j(b d Subtraksjon av to komplekse tall: (a jb (c jd (a c j(b d INF

15 Kort om komplekse tall (forts Multiplikasjon av to komplekse tall: (a jb(c jd (ac bd j(bc ad For å definere divisjon, defineres først den konjugerte: Hvis A=a+jb, så er den konjugerte A*=a-jb Summen av et kompleks tall og dets konjungerte er et reelt tall Differensen av et kompleks tall og dets konjungerte er et imaginært tall Produktet av et kompleks tall og dets kompleks konjungerte er et imaginært tall INF

16 Kort om komplekse tall (forts Divisjon av to komplekse tall A=a+jb og B=c+jd: A B (A(B (B(B (ac bd 2 2 c d a c j jb jd (bc 2 c (ac ad 2 d bd 2 c j(bc 2 d ad INF

17 Eulers identitet Sinus og cosinus kan defineres ved rekkeutvikling INF !!! cos !!! sin !!!! j j sin cos

18 Eulers identitet (forts Den naturlige eksponentialfunksjonen defineres som e z z z z 1 z 2! 3! 4! e j 1 j j 2! 3! 4! Dette gir følgende sammenheng mellom e, sin og cos e j cos( j sin( 1 j j 1 j j cos( (e e sin( j (e e INF

19 Komplekse tall på eksponentiell form Gitt et kompleks tall på formen A= a + jb. Det kan vises at dette kan skrives som en eksponentialfunksjon på formen der tan 1 b a og A C j Ce a 2 b INF

20 Imaginære kilder og responser Det kan vises at en (cosinus kilde også gir en (cosinus respons: En imaginær kilde kan lages ved å multiplisere med j: jv m sin( t Siden dette tilsvarer å multiplisere med en konstant, blir responsen ji m sin( t INF

21 Komplekse kilder og responser Ved superposisjon kan man vise at kompleks kilde gir kompleks respons (adderer imaginær og reell kilde/respons En kompleks kilde på formen: Gir derfor responsen V m e j( t I m e j( t INF

22 Hvorfor komplekse kilde/respons Med For Det komplekse signaler blir ligningene for kretser med spoler/kondensatorer blir rent algebraiske, og ikke integrodifferensialligninger å forenkle ytterligere, kan man fjerne e jωt fordi dette alltid er med. Trenger da å vite amplituden V m (I m og θ man står igjen med er: i(t (og v(t i tidsplanet tilsvarer I (og V i frekvensplanet. I og V kalles for phasor INF

23 Phasorligning for resistor I I tidsdomenet er spenning-strøm relasjonen gitt av v(t=ri(t frekvensdomenet er tilsvarende likning V m e j( t Ri(t RI m e j( t Denne Det kan forenkles til V=RI er mao ingen vits å konvertere en ren resistiv krets til signaler fra tidsplanet til frekvensplanet INF

24 Phasorligning for spole I tidsdomenet er spenningstrøm relasjonen gitt av v(t=ldi(t/dt I frekvensdomenet er tilsvarende likning V m e j( t L d dt (I m e j( t Denne Betydelig kan forenkles til V=jωLI forenkling INF

25 Phasorligning for kondensator I tidsdomenet er spenningstrøm relasjonen gitt av i(t=cdv(t/dt I frekvensdomenet er tilsvarende likning I m e j( t C d dt (V m e j( t Denne Betydelig kan forenkles til I=jωCV forenkling INF

26 Oppsummering Tidsdomenet Frekvensdomenet v Ri V RI v v L 1 C di dt idt V V j j LI 1 I C INF

27 Kirchhoffs lover med phasorer I tidsdomenet er Kirchhoffs spenningslov lik v 1 (t v2(t vn(t 0 Det kan vises at i frekvensdomenet er V V V 1 2 n 0 Med Tilsvarende andre ord gjelder Kirchhoffs spenningslov kan vises for Kirchhoffs strømlov at denne også gjelder i frekvensdomenet INF

28 Eksempel I I tidsdomenet har kretsen følgende KVL: di L Ri Vm cos( t dt RVm LVm i(t cos( t sin( t R L R L frekvensdomenet: V I R VL Vs R j V s L RI j LI V s INF

29 Kompleks impedans Impedans Z kan defineres i det frekvensdomenet som forholdet mellom spenning og strøm: R V I R Z L V I j LI Z C V I 1 j C Disse kan tenkes på som motstand i frekvensdomenet, og uttrykker hvordan motstanden varierer med frekvensen ω: Resistans R: Ingen frekvensavhengighet Induktans L: Motstanden øker når frekvensen øker Kapasitans C: Motstanden synker når frekvensen øker INF

30 Kompleks impedans (forts Kompleks En Ideelle Det impedans består av resistans og reaktans Resistans er reell og angis i Ω Reaktans er imaginær og angis i jω ideel ohmsk motstand har 0 reaktans spoler og kondensatorer har 0 resistans er mulig å lage kretser med spoler og kondensatorer som har 0 reaktans Kan eliminere frekvensavhengighet, slik at for en bestemt frekvens har kretsen kun ohmsk motstand INF

31 Eksempel Skal Beregner beregne den ekvivalente motstanden for kretsen ved f=5rad/s først de tilsvarende komplekse impedansene Motstanden i parallell med kondensatoren (1 gir Z ZR ZC ZRZC ZR ZC ( 6 ( j j j INF

32 Eksempel (forts Kondensatoren (1 i serie med spolen (2 gir og (2 utgjør to impedanser i serie: Z Z ZC j Z1 Z Z L j10 j9 j j9 j9 2 1 Denne står i parallell med 10Ω motstanden: Z ZR Z T 10 ( j INF 1410 j