Elektriske svingekretser - FYS2130

Transkript

1 Elektriske svingekretser - FYS3 Koplekse ipedanser Vekselsstrøskretser blir ofte enklere å behandle når ipedansene skrives på kopleks for. De koplekse ipedanser er Z ˆ i for kondensator ed kapasitans i ZˆL i L for induktor ed induktans L ZˆR R for ohsk otstand R (dvs. so rent reelt tall Fordelen ed bruk av koplekse ipedanser i vekselsstrøskretser er at vi får de sae regler so for saenkopling av rene ohske otstander. For seriekopling får vi Zˆ Zˆ + Zˆ For parallellkopling av Ẑ og Ẑ får vi + Zˆ Zˆ Zˆ Saenhengen ello strø og spenning er Vˆ ZI ˆˆ der vi også har uttrykt spenning og strø på kopleks for. Et koplekst tall Ẑ kan skrives so ˆ iϕ Z X + iy Ze Z(cosϕ + isin ϕ der Z X + Y Hvis vi har en vekselsstrøskrets so består av en seriekopling av en ipedans Z og en vekselsspenningskilde ed spenning V V cost setter vi på kopleks for ˆ i t V V e Elektriske svingekretser FYS3 7. AD

2 Strøen i kretsen er da på kopleks for Iˆ Vˆ Zˆ Ve Ze V Z it i( t ϕ iϕ Ie der strøaplituden er I ~ V cos t Z Figur : Enkel krets ed vekselspenningskilde og ipedans Z Siden V V cost er strøen realdelen av Î : I I cos( t ϕ. RL-krets Vi ser nå på en krets so består av en seriekopling av en otstand R, en kondensator ed kapasitans og en induktor (f.eks. spole ed induktans L so vist i figur. Figur : RL-krets (uten vekselsspenningskilde. Sueres spenningene rundt kretsen i angitt retning på figuren (Kirchhoffs slyngeregel får vi: q di RI L dt deriverer vi hp tiden får vi en differensialligning hvor den tidsavhengige strøen kan bestees: Elektriske svingekretser FYS3 7. AD

3 q d I RI& & L dt I RI& LI&& I LI&& + RI& + ( Differensialligningen ( er på sae for so differensialligningen vi fant for tvungne svingninger i et ekanisk syste (ligning 3 side i notatet o ekaniske svingninger: x && + bx& + kx ( Den generelle løsningen av denne hoogene differensialligningen er (se ligning 4 side 3 i notatet o ekaniske svigninger: b k b k b t t t xt ( e e e + (3 der og er konstanter so kan bestees hvis randbetingelser er kjente. Den generelle løsningen av ( finner vi enkelt ved saenligning av ( og ( og setter L b R k i ligning (3: R R R t t ( L t L L L L It e e e + (4 Hvordan svingeforløpet blir vil avhenge av verdiene på R, L og. På sae åte so for ekaniske svingninger kan vi få overkritisk, kritisk eller underkritisk depning: Overkritisk depning når R > L L Radikandene i (4 er positive og I(t avtar eksponentielt ed tiden. R Underkritisk depning når < L L Radikandene i (4 er nå negative og vi får et oscillerende forløp ed en depende faktor: Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 3

4 R t ( L sin( d + ϕ It Ae t R d L L so er overgang ello oscillerende og ikke- R 3 Kritisk depning når L oscillerende svingeforløp. L De ulig svingeforløp vil se ut so på Figur 3 side 5 i notatet o ekaniske svingninger. RL-krets ed vekselsspenningskilde Vi inkluderer nå en vekselsspenningskilde V V sint so vist i Figur 3. Figur 3: Elektriske svingekrets ed påtrykt vekselsspenning. (Tvungne svingninger Sueres spenningene rundt kretsen på figuren (Kirchhoffs slyngeregel får vi: q di V sin t RI L dt q d I V cos t RI& & L dt I LI&& + RI& + V cost (5 Dette er en inhoogen lineær differensialligning og ed generell løsning I( t I ( t + I ( t H P der I H (t er den generelle løsningen av den hoogene versjonen av (5 (frekoer ved å sette på høyre side i (5. I P (t er en spesiell løsning av den inhoogene ligningen (5. Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 4

5 Differensialligningen (5 er på sae for so differensialligningen vi fant for tvungne svingninger i et ekanisk syste (ligning 5 side 6 i notatet o ekaniske svingninger: På sae åte so for det ekaniske systeet vil I H (t avta eksponentielt når tiden t øker. Venter vi lenge nok vil totalløsningen bare bestå av partikulærløsningen I P (t. Vi skal nå finne strøen i kretsen når vi har oppnådd stabile forhold, dvs. når I H (t kan neglisjeres ( I( t I ( t. P Spenningen over spenningskilden er V V sint og kan på kopleks for skrives ˆ i t V V e. Vi har nå at ( Zˆ + Zˆ + Zˆ Iˆ Vˆ R L ˆ Ve Ve Ve I R+ i( L R + ( L e R + ( L it it i( t ϕ iϕ Strøen blir iaginærdelen av uttrykket over: V It ( sin( t ϕ I sin( t ϕ R + ( L Strøen vil svinge ed sae vinkelfrekvens so vekselspenningkilden. Fasevinkelen φ kan bestees ved å frestille ipedansen Z i det koplekse plan. Se Figur 3 side 8 i notatet o ekaniske svingninger. Vi ser at φ π/ når R. L tanϕ R Effekt avgitt i RL-krets ed vekselsspenningskilde Effekten so avgis til RL-kretsen er Pt ( VI V sin( ti sin( t ϕ Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 5

6 Vi er vanligvis interessert i tidsiddelet av effekten: T T sin( sin( ϕ sin (sin cosϕ cos sin ϕ T T T T T (sin cosϕ sin( sin ϕ cosϕ sin ( sinϕ sin( P V t I t dt V I t t t dt V I t t dt V I t dt t dt T T T VI ( cosϕ VIcosϕ So diskutert i forrige avsnitt vil φ π/ i fravær av ohsk otstand R. Det avgis dered kun effekt når det er ohsk otstand i kretsen. Vi kan også bestee den avgitte effekten slik: T sin ( ϕ P RI RI t+ dt RI T Resonans i RL-krets Den idlere avgitt effekt i otstanden R er RV P RI R Z R + ( L V (6 Den idlere effekten avhenger av vinkelfrekvensen og har aksial verdi når L dvs / L. Den frekvens f so gir aksial effekt kalles resonansfrekvensen og er altså f f π. π L Dette er også kretsens egenfrekvens når otstanden (depningen er neglisjerbar. En skisse av den idlere effekten so funksjon av vinkelfrekvensen til spenningskilden er vist i figuren under. Resonanskurvens halvverdibredde i figuren er definert so differensen ello vinkelfrekvensene der effekten er halvparten av aksialeffekten. Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 6

7 P Figur 4: Resonanskurve for en RL-krets. Vi definerer kvalitetsfaktoren for resonanskretsen so Q (7 Denne definisjonen innebærer at liten halvverdibredde gir stor Q. Figuren under viser to resonanskurver ed forskjellig Q-verdi Figur 5: Resonanskurve ed høy Q-verdi (rød og lav Q-verdi (blå. Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 7

8 Resonanskretser finnes for eksepel i radioottakere, der det er viktig å hente ut aksial effekt for en bestet frekvens sendt ut fra en radiostasjon. Ofte ligger frekvensene fra radiostasjoner nær hverandre og det er derfor viktig at RL-kretsen tar ut liten effekt fra de uønskede frekvenser (stasjoner. Dette kan oppnås ed en RL-krets ed liten halvverdibredde, dvs høy Q-verdi. I notatet hvor vi diskuterte ekaniske tvungne svingninger definerte vi kvalitetsfaktoren slik (se dette notatet side 9 : Q b (8 der er assen, b er depningskonstanten og k/ er systeets naturlige vinkelfrekvens. Vi skal vise at de to Q-definisjonene (7 og (8 er ekvivalente når Q er stor. So diskutert tidligere har differensialligningene so beskriver svingninger i et ekanisk syste og i en RL-krets sae for. Ved saenligning av disse svarer R til b, til L og k svarer til /. Bruker vi definisjonen Q på en RL-krets er da Q L R R/ L (9 Ved å saenligne (7 og (9 ser vi at vi å vise at R / L. Uttrykket for effekten avgitt til RL-kretsen (ligning 6 er Maksial effekt Paks RV RV P R + ( L Z oppnås når Z er inial og inntreffer når ( L Når ± er P P og dette inntreffer når aks L R Innsatt for en av ± : ( + L R + ( Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 8

9 + + ( L R ( + Vi antar nå at << fordi vi er interessert i resonanskrester ed store Q-verdier. Da kan vi neglisjere ( / i teller og / i nevner. Siden L / får vi: Innsatt /(L gir / R R / L so viser at Q og Q er ekvivalente definisjoner når <<. b Elektriske svingekretser FYS3 7. AD 9