HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Eksaensdato: Torsdag 15.deseber 011 Varighet/eksaenstid: Enekode: LM005M- Enenavn: Mateatikk 1 Klasse(r): 1E Studiepoeng: 10 Faglærer(e): Kåre jørvik, Telefon: eventuelt Kontaktperson(ad.)(fylles ut ved behov kun ved kursener) Hjelpeidler: Oppgavesettet består av: Vedlegg består av: Lærebok: Engineering atheatics av nthony roft /flere Forelsaling: Tabeller og forelsaling for ingeniørhøgskolen ase: Regulering av væskenivået i en tank og egen caserapport Kalkulator: Type To notater: erivasjonsregler og differensiallikninger 11 sider, eksklusiv forside, ed 0 flervalgsoppgaver På side 11 finner du svarkupongen so du skal fylle ut. en enkelte student å selv kontrollere at dette steer. Ingen Merknad: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter so sitter eksaenstiden ut. Lykke til! Eksaen består av 0 flervalgsoppgaver, 15 fra casen og 15 fra pensu, so skal besvares uten begrunnelse Hver oppgave har fire svaralternativer, kalt,, og u kan også velge å ikke svare på oppgaven Galt svar gir 1 poeng, ubesvart gir 0 poeng og riktig svar gir poeng Skriv dine svar (én bokstav for hvert spørsål) på den vedlagte svarkupongen et er bare svarkupongen so skal innleveres Eksaenssettet og kladden beholder du selv Hvis du vil ha en "gjenpart" av svarkupongen, å du overføre svarene dine til et eget ark

2 1 1 Fylling av væske i en tank Tanken har et tverrsnittsareal på 0,50. Tanken er to og tappekranen stenges. Tanken fylles opp ed en konstant væskestrø og nivået når 0,75 etter ½ inutt. Hvor stor er den konstante væskestrøen? 0,0 s 0,015 s 0,015 s Tapping av væske fra en tank,5 Tanken har et tverrsnittsareal på 0,50 og ventilkonstanten er 0,0 s. Nivået i tanken er 0,64 før tappekranen åpnes. Hvor lang tid tar det før nivået i tanken er blitt redusert til 0,5? 5s 0s 15s Tapping av væske fra en tank,5 Tanken har et tverrsnittsareal på 0,50 og ventilkonstanten er 0,0 s. Tappekranen åpnes og nivået i tanken reduseres til ¼ i løpet av 5 s? Hva var nivået i tanken før tappekranen ble åpnet? 1,00 0,50 0,5 4 Fylling av to tank ed P-regulering Ønsket væskenivå i tanken settes til r og påfyllingen starter ved t = 0. Stasjonært væskenivå i tanken blir da: 0 r KP r 1 K P

3 5 Fylling av to tank ed P-regulering Proporsjonalitetsforsterkningen ved funksjonen: 5s 0,04s K er satt til 0,05 P ( ) 0,75 0,75 0,04 t [ ] s. nta at væskenivået i tanken er gitt x t e. Tidskonstanten til systeet er da lik: 0,75s 6 Stabilisering av væskenivået ed P-regulering Tanken er fylt opp til ønsket nivå r og P-reguleringen av nivået i tanken er operativt. Pupa starter opp ved t = 0 og puper ut en konstant volustrø v ut av tanken. a vil nivået i tanken synke. Med hvor stor hastighet synker nivået ed like etter at pupa starter opp? ruk: 0,50, K 0,01, v 0,005 og r 1. P s s 0,005 s 0,0050 s 0,0075 s 7 Stabilisering av væskenivået ed P-regulering Tanken er fylt opp til ønsket nivå r og P-reguleringen av nivået i tanken er operativt. Pupa starter opp ved t = 0 og puper ut en konstant volustrø v ut av tanken. a vil nivået i tanken synke. Hvor stort blir det stasjonære avviket ello ønsket nivå r og virkelig nivå x? ruk: 0,50, K 0,01, v 0,005 og r 1. P s s 0 0,5 0,15 8 Utledning av differensiallikning ed startbetingelser ed PI - regulering ruk verdiene: 0,50, KP 0,01 s og Ti 100 s. Karakteristisk likning har løsningene 1 og. I dette tilfellet vil vi få: 1 0,0 1 0,05 1 0,01

4 9 eregning av væskenivået ed PI - regulering nta at = 1, r = 1 og v 0,005 s. nta videre at regulatorparaetrene er stilt inn slik at 1 0,05. Nivået i tanken er lik referansen r før pupa starter opp ved t = 0. Nivået i tanken, etter t = 0, er da gitt ved funksjonen () Verdien på konstanten 1 er lik 0,005 0,0 0 t x t 1 t e r. 10 eregning av væskenivået ed PI - regulering nta at = 1, r = 1 og v 0,005 s. nta videre at regulatorparaetrene er stilt inn slik at 1 0,05. Nivået i tanken er lik referansen r før pupa starter opp ved t = 0. Nivået i tanken, etter t = 0, er da gitt ved funksjonen () Verdien på konstanten er lik 0,005 0, iensjonering av PI - regulatoren nta at = 1 og T 10s t x t 1 t e r. i. Regulatoren skal diensjoneres slik at vi får koplekskonjugerte løsninger på karakteristisk likning, dvs. j. Hva å proporsjonalforsterkningen være for at α skal bli lik-0,05? 0,004 0,0 0,1

5 4 1 Utledning av differensiallikning ed startbetingelser ed PI - regulering ruk verdiene: 0,5, K 0,, T 10 s, T 5 s, v 0,005 og r 1 P s i d Nivået er lik r før pupa koples inn. Hastigheten so nivået faller ed like etter at pupa er koplet inn er s 0,001 s 0,01 s 0,0 s 1 eregning av integrasjonstiden T i og derivasjonstiden T d og løsning av differensiallikningen. ruk verdiene: 1, K 1, v 0,005 og r 1 P s s Regulatoren skal stilles inn slik at karakteristisk likning får løsningene 0,0 j0,0 erivasjonstiden til regulatoren å da stilles inn på: 19s 4s 100s 14 eregning av integrasjonstiden T i og derivasjonstiden T d og løsning av differensiallikningen. ruk verdiene: 1, K 1, v 0,005 og r 1 P s s Regulatoren skal stilles inn slik at karakteristisk likning får løsningene 0,0 j0,0 Integrasjonstiden til regulatoren å da stilles inn på: 19s 4s 100s

6 5 15 eregning av integrasjonstiden T i og derivasjonstiden T d og løsning av differensiallikningen. Regulatoren er i utgangspunktet diensjonert slik so beskrevet i punkt 4. i casen slik at tidskonstantene til det regulerte systeet er like store og lik 0 [s]. En askiningeniør tukler ed regulatoren, og det ender opp ed at han kopler ut derivatvirkningen i regulatoren. Proporsjonalitetsforsterkningen og integrasjonstiden er uendret. Suen av tidskonstantene til det regulerte systeet blir da: 40s 0s 1s 16 Trigonoetriske funksjoner Et periodisk strøsignal er gitt ved funksjonsuttrykket: i( t) 0,75 cos 500 t 1,00 sin 500 t 1,5 [ ], t 0 Maksialverdien til strøfunksjonen i(t) er 1,5 0 0,50 17 Trigonoetriske funksjoner Et periodisk strøsignal er gitt ved funksjonsuttrykket: i( t) 0,75 cos 500 t 1,00 sin 500 t 1,5 [ ], t 0 Frekvensen til signalet er 0,016 Hz 500 Hz 141,59 Hz

7 6 18 Trigonoetriske funksjoner Et periodisk strøsignal er gitt ved funksjonsuttrykket: i( t) 0,75 cos 500 t 1,00 sin 500 t 1,5 [ ], t 0 Signalet i(t) kan også skrives slik: i( t) R sin t K Fasen er lik 90 5,1 6,87 19 Matriser Gitt kretsen: Med tallverdiene R1 15, R 5, R 10, E1 5 V, E 6V og E 1V kan askestrøene finnes ved å løse ligningssysteet: 0I 15I 5I I 15I 6 1 5I1 15I 6 ette ligningssysteet kan skrives på atriseforen T I b, der I I I I ogb eterinanten til er lik 1 det( ) 750 det( ) 1500 det( ) 7500 T

8 7 0 Matriser Sae krets so i oppgave 19. Strøen so går igjenno otstanden R fra X til Y, er lik 0,9 0, 0,7 1 Matriser Sae krets so i oppgave 19. Hvilken spenning å spenningskilden E ha for at askestrøen I skal bli 0? (e andre kildene og otstandene er uendret) E 5V E 1V E 1V Koplekse tall Gitt kretsen: 1 j L R Ipedansen Z er gitt ved uttrykket: Z j j L R Kretsen påtrykkes en sinusspenning over kleene. Vinkelfrekvensen til sinusspenningen er 10 rad/s. erso R, 0,05F og L 0,1H, vil ipedansen Z, sett fra kleene -, være lik: Z 0,4 j 1, Z,5 j,8 Z 1 j

9 8 Koplekse tall Sae krets so i oppgave. Hvilken verdi å kondensatoren ha for at ipedansen Z skal bli reell? (Vinkelfrekvensen og de andre koponentverdiene er uendret). 0,015F 0,15F 0,75F 4 Koplekse tall Sae krets og koponentverdier so i oppgave. Vinkelfrekvensen til sinussignalet justeres opp til 0 rad/s. erso sinusspenningen har en aplitude på 1V, vil den stasjonære aplituden på spenningen over otstanden, u R (t), bli V 1V 1 V 5 erivasjon En RL-krets påtrykkes en likespenning. Strøen i(t) i kretsen er gitt ved: t i( t) e cos(50 t) Funksjonen it () er en ikke- lineær funksjon. erso it () lineariseres okring t = 0 (tangenten i t = 0), får en følgende lineære funksjon : y 100t y y t 6 erivasjon Gitt likningen: e x x 0 Likningen skal løses vha. Newton - Raphson sin nueriske etode. erso en benytter startverdien x0 0, vil en etter to iterasjoner få: x 0,658 x 0,659 x 1,0000

10 9 7 Integrasjon Gitt det bestete integralet: I x 1 x 0 dx Integralet skal løses nuerisk vha. Trapesetoden. erso en deler opp i trapeser får an: I 1,5 I 1,0000 I 0, Integrasjon I figuren over er en periodisk spenning u(t) vist. Gjennosnittsverdien til den periodiske funksjonen er: 4

11 10 9 Integrasjon Sae periodiske funksjon so i oppgave 8. Effektivverdien (RMS-verdien) til den periodiske funksjonen er: 4 0 ifferensiallikning En seriekopling av en otstand R, en kondensator og en spole L påtrykkes en likespenning u(t) ved t = 0. Kretsen er energiløs før t = 0. nta at R 1, 0,01F og L 0,1H. Strøen i kretsen vil svinge ed avtagende aplitude, der svingefrekvensen vil være tilnæret 5 8 1

12 11 Svarkupong Kandidatnuer: