HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi"

Renate Aamodt
5 år siden
Visninger:

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 6.mai 215 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): (navn og telefonnr på eksamensdagen) Håkon Grønning tlf Ingrid Kvakland tlf Kontaktperson(adm.) (fylles ut ved behov kun ved kursemner) Hjelpemidler: Kalkulator Citizen SR27X, Casio fx-82es, Casio fx-82es plus Oppgavesettet består av: (antall oppgaver og antall sider inkl. forside) Vedlegg består av: (antall sider) 4 oppgaver over 8 sider inkludert forside 4 sider formler. Merknad: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. NB! Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner arbeidet, og disponer tiden. Dersom noe virker uklart i oppgavesettet, skal du gjøre dine egne antagelser og forklare dette i besvarelsen. Lykke til!

2 Oppgave 1 (2%) Vi har gitt signalet x( t) = Acos(2 π ft + ϕ). a) Skisser x( t ). Konstantene A, f og ϕ skal merkes av direkte på figuren, eller avledes fra størrelser på figuren. b) Skriv opp et uttrykk for x( t ) ved hjelp av komplekse eksponentialfunksjonerer. c) Tegn frekvensspekteret til x( t ) som et linjespekter. Merk av de tre størrelsene A, f og ϕ på figuren. A j(2 π ft + ϕ ) d) Gitt det komplekse signalet z( t) = 2 e. Illustrer dette signalet som et viserdiagram. Tegn også signalet som et linjespekter i frekvensplanet. e) Anta at signalet x( t) = Acos(2 π ft + ϕ) punktprøves med en punktprøvefrekvens (samplingsfrekvens) fs = 4 f. Hva blir den diskrete normaliserte vinkelfrekvensen ˆω? Vi kaller det punktprøvde signalet for x[ n ]. Skisser begge signalene x( t ) og x[ n ] i en figur, og forklar hvordan du kan se (lese av) ˆω i figuren. 2

3 Oppgave 2 (32 %) a) π Gitt signalet x( t) = 1+ 1,15cos(2 π ft ) 2 Skisser x(t) og merk av de karakteristiske størrelsene på aksene. b) Tegn opp amplitudespekteret og fasespekteret til x(t) gitt i a) c) Gitt den periodiske, diskrete sekvensen x[n] i figur 2.1. Finn perioden til x[n] Diskret sekvens x[n]) x[n] n Figur 2.1 Diskret sekvens x[n] d) Den diskrete sekvensen x[n] i figur 2.1 skal analyseres for å finne en spektrumsrepresentasjon av x[n]. Vis ved utledning at DFT-koeffisientene til x[n] er gitt ved 2π 3 X [ k] = 1+ 2e j k e) Sett inn for k, og finn DFT-koeffisientene. Tegn opp amplitudespekteret og fasespekteret. Merk av på k-aksen hvilken diskret vinkelfrekvens som kan knyttes til hver k-verdi. 3

4 f) Bruk resultatet i e) og finn et funksjonsuttrykk for x[n]. Sett inn verdier for n og vis at resultatet stemmer med figur 2.1. g) Anta at sekvensen x[n] har fremkommet med å punktprøve et analogt båndbegrenset signal med punksprøvingsfrekvens f s =3Hz. Anta ideell sampling. Finn et funksjonsuttrykk for det analoge signalet. 4

5 Oppgave 3 (24 %).8 ECG-signal.6 Absoluttverdi til DFT av ECG-signal amplitude.2 amplitude tid [s] frekvens [Hz] Figur 3.1 ECG-signal uten støy. Til venstre: en periode av ECG-signalet i tidsplanet. Til høyre: DFTanalyse av ECG-signalet. (Vi har egentlig foretatt en 512-punkt DFT, men bare de 6 første verdiene er vist i plottet.).8 ECG-signal med søy.6 Absoluttverdi til DFT av ECG-signal amplitude amplitude tid [s] frekvens [Hz] Figur 3.2 ECG-signal med støy. Til venstre: en periode av ECG-signalet med støy i tidsplanet. Til høyre: DFT-analyse av ECG-signalet med støy. (Vi har egentlig foretatt en 512-punkt DFT, men bare de 6 første verdiene er vist i plottet.) Figurene viser en periode av et punktprøvd ECG-signal. Signalet er punktprøvd med f s =512 punktprøver pr. sekund og det er nøyaktig 512 punktprøver i en periode av signalet. Vi ønsker å bruke et lineær fase FIR-filter for å forbedre signalet i Figur 3.2 slik at det blir mest mulig likt signalet i Figur

Figur 3.3 Del av filterdesignverktøyet «sptool» i Matlab. a) Gitt informasjon i Figur 3.1 og Figur 3.2. Det spesifiseres et filter med følgende parametere, se Figur 3.

6 Figur 3.3 Del av filterdesignverktøyet «sptool» i Matlab. a) Gitt informasjon i Figur 3.1 og Figur 3.2. Det spesifiseres et filter med følgende parametere, se Figur 3.3: Passbåndfrekvens Fpass = 22Hz, stopbåndfrekvens Fstop = 3Hz, passbåndrippel Apass = 1dB og stoppbåndsdemping Astop = 4dB. Hvor mye vil da støykomponenten med frekvens 3Hz bli dempet? b) Hvordan påvirkes filterorden hvis vi reduserer kravet til stoppbåndsdemping, Astop, fra 4dB til 3dB mens de andre parameterne fortsatt er som gitt i punkt a). c) Anta at vi har valgt å bruke et lineær fase FIR-filter der orden er 6. Hvor mange koeffisienter (eller «tapper») er det i filteret? Hva blir tidsforsinkelsen i filtret når punktprøvingsfrekvensen fs = 512Hz? d) Hvilken betingelse må være oppfylt for at det skal være teoretisk mulig å fjerne all støy med ved hjelp av et filter slik at ECG-signalet gjenskapes perfekt? (med unntak av en eventuell forsinkelse av signalet) 6

7 e) Anta at vi øker DFT-lengden som gitt i Figur 3.1 og Figur 3.2 fra N=512 til N=124. Det vil si at vi da tar DFT over 2 hele perioder av signalet i stedet for over én periode av signalet. Hvor stort sprang i frekvens tilsvarer da avstanden mellom DFT-koeffisientene? f) Hvilke parametere er det som beregnes i filterdesignprogrammet «sptool» og som brukes i filteret (filterfunksjonen) for å utføre selve filtreringen g) Bruk informasjonen gitt Figur 3.2 og skriv opp et uttrykk for støysignalet s(t) i tidsplanet! (du kan anta at alle faseledd er lik null) 7

8 Oppgave 4 (24 %) Et LTI-system har impulsrespons h(t) som vist i figur Impulsrespons h(t) tid [s] Figur 4.1 Impulsrespons h(t) a) Er dette systemet kausalt? Svaret skal begrunnes. b) Er dette systemet stabilt? Svaret skal begrunnes. c) Systemet påtrykkes inngangssignalet x ( t) δ ( t) 1 =. Skisser inngangssignalet og utgangssignalet. d) Systemet påtrykkes inngangssignalet x ( t) δ ( t) δ ( t 1) 2 = +. Skisser inngangssignalet og utgangssignalet. e) Systemet påtrykkes inngangssignalet x ( t) = u( t). 3 Skisser inngangssignalet og finn verdien av utgangssignalet når t. Finn også et funksjonsuttrykk for utgangssignalet og skisser utgangssignalet for alle t. 8

9 Vedlegg 1 9

10 Vedlegg 2 Komplekse Fourierrekker: Analyse: T 1 j2π fkt ak = x( t) e d t T = k = j2π Syntese: x( t) ak e f kt Diskret tid Fouriertransformasjon (frekvensresponsen til FIR-filter): M M j ˆ ω j ˆ ωk j ˆ ωk = k = k= k= H(e ) b e h[ k]e Diskret Fouriertransformasjon: N 1 n= 2π k n -j N X[k] = x[n] e for k N 1 Invers diskret Fouriertransformasjon: k= 2π k n j N N 1 1 x[n] = X[k] e for n N 1 N 1

11 Vedlegg 3-11

12 Vedlegg 4 FOURIERTRANSFORMASJONEN FOR ANALOGE OG DISKRETE SYSTEMER: For analoge LTI-system gjelder: t= H( j ω) = h(t) e dt = H( j ω) e t= jωt j H( j ω) hvor H(jω) er systemets frekvensrespons og h(t) er systemets impulsrespons. S( j ω) = R( j ω) H( j ω) r(t) h(t) s(t) s(t) = r(t) h(t) = r( τ )h(t τ )dτ τ = R(jω) H(jω) S(jω) For sinusformede signal gjelder: r(t) = sin( ω t) s(t) = H( j ω ) sin( ω t + H( j ω )) For diskrete LTI-system gjelder: ( j ˆ ω j H e ) H e = h(n) e = H e e (DiskretTidFourierTransform) n= ( j ˆ ω ˆ ˆ ) j ω n ( j ω ) n= hvor H( e j ˆ ω ) er systemets frekvensrespons og h(n) er systemets enhetspulsrespons. j ˆ ω j ˆ ω j ˆ ω S(e ) = R(e ) H(e ) s(n) = r(n) h(n) = r(k)h(n k) k= r(n) h(n) s(n) For sinusformede sekvenser gjelder: r(n) = sin( ˆ ω n) s(n) = H(e ) sin( ˆ ω n + H(e )) j ˆ ω j ˆ ω 12

Like dokumenter

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 7.mai 24 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: Faglærer(e):