Repetisjon: Eksempel. Repetisjon: Aliasing. Oversikt, 26.februar Gitt. Alle signaler. Ettersom. vil alle kontinuerlig-tid signaler.

Transkript

1 Oversikt, 6.februar Tilhørende pensum i boken er. -.. Repetisjon regning med aliasing og folding rekonstruksjon ved substitusjon FIR-filtre glidende middel et generelt FIR-filter enhetsimpulsresponsen konvolusjon Ekstra Diskret Fourier-transform DFT omregning mellom logaritmer Repetisjon: Aliasing Anta kontinuerlig-tid signalet xt = A cosω t + φ som samples med perioden T s til x[n] = xnt S = A cosω T s n + φ = A cos ˆω n + φ der ˆω = ω T s er diskret-tid frekvensen. Spektret til x[n] inneholder spektrallinjer ved uendelig mange aliasfrekvenser ˆω = ˆω + πl, l =, ±, ±,... ˆω = ˆω + πl, l =, ±, ±,... Merk at det er ˆω som har aliasfrekvenser, det er viktig å ikke blande inn ω her. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Repetisjon: Aliasing Alle signaler A cos ˆω + πln + φ A cos ˆω + πln φ gir samme sekvens x[n], for l =, ±, ±,... Ettersom ˆω = ωt s = ω/f s vil alle kontinuerlig-tid signaler ω ut = A cos + πlf s t + φ og ω vt = A cos + πlf s t φ gi identiske samplede sekvenser xnt s = unt s = vnt s Repetisjon: Eksempel Gitt ω = 88π rad/s f s = / = s For l = er ut og vt gitt ved 88π ut = A cos + π t + φ = A cos 88 πt + φ og Merk at og 88π vt = A cos + π t φ = A cos 9 πt φ 88π = 88π + ω s 9π = 88π + ω s INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK

2 Plot av xt = A cos88π t + φ Aliasing ved sampling, gitt T s = s xt = cos 88 π t + π/ xt = cos9 π t π/ xt = cos88 π t + π/ x[n] = cos 88 π T s n + π/ 6 tid s x INSTITUTT FOR INFORMATIKK Aliasing for ulike frekvensvariable Diskret frekvens Vinkelfrekvens Syklisk frekvens ˆω = ˆω + πl ω =ω + πfsl f =f + l fs ˆω = ˆω + πl ω = ω + πfsl f = f + l fs INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Rekonstruksjon Anta sampling av signalet gitt f s > f, som gir xt = A cosπf t + φ x[n] = A cosπf T s n + φ Ved valg av en annen frekvens f s > f s ved rekonstruksjon får vi x re t = A cosπf T s f s t + φ = A cosπf f s f s t + φ Frekvensen til det rekonstruerte signalet er gitt ved f re = f f s f s > f FIR-filtre Et filter er et system som fjerner komponenter eller endrer karakteristikken til signalet det opererer på. FIR-filtre er filtre med endelig impulsrespons, FIR står for Finite Impulse Response. Hvert element i utgangssekvensen er en endelig sum av vektede elementer fra inngangssekvensen. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Diskret-tid systemer Diskret-tid systemer En inngangssekvens x[n] omformes til en utgangssekvens y[n]; begge diskrete i tid. Slike filtre kan implementeres av en digital datamaskin, og refereres da til som digital signalbehandling. xt A/D omformer x[n] DSP y[n] D/A omformer yt Representasjon med operatoren T y[n] = T {x[n]} To eksempler på diskret-tid systemer y[n] = x[n] y[n] = med { x[n + ], x[n], x[n ] } Implementasjon av FIR-filtre skjer i DSP-enheten i figuren. x[n] inngang Diskret tid system T{} y[n] = T{x[n]} utgang DSP står for Digital Signal Processing Det er mulig å generere en uendelig mengde av ulike diskret-tid systemer. FIR-filtre representerer en viktig klasse av slike systemer. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK Glidende middel, eksempel Signalet x[n] har endelig lengde, her definert for n 9. Glidende middel Et filter som beregner gjennomsnittet til et sett av ledd fra inngangssekvensen, og former en utgangssekvens med middelverdier. FIR-filteret er en generalisering av det enklere filteret for glidende middel. Midling er en enkel, men nyttig transformasjon. Mulige bruksområder er for å fjerne hurtigvarierende støy i datamengder for bedre å se langvarige tendenser. Vi definerer en -punkts midler ved differensligningen 6 6 y[n] = x[n] + x[n + ] + x[n + ] Inngangssekvens x[n] 6 8 Utgangssekvens y[n], filtrert med running average filter / / / / / 6 8 INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK

4 Glidende middel, eksempel n n < x[n] y[n] Resultatet av midlingen er en utgangssekvens som er ikke-null for flere verdier av n enn inngangen x[n] mer avrundet enn x[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK Kausalitet Generelt kan utgangen y[n] beregnes fra verdier av x[n] både i fortid, f.eks. x[n ] nåtid, x[n] fremtid, f.eks. x[n + ] Uansett vil et glidende vindu av en viss størrelse bestemme hvilke sampler som ved tiden n inngår i beregningen. Generelle FIR-filtre kan være kausale hvis utgangen y[n] bare avhenger av nåtidige og tidligere verdier av x[n]. ikke-kausale hvis y[n] også avhenger av fremtidige verdier av inngangen INSTITUTT FOR INFORMATIKK Glidende middel, kausalt eksempel Kausalt FIR-filter, glidende middel 6 6 y[n] = x[n] + x[n ] + x[n ] Inngangssekvens x[n] 6 8 Utgangssekvens y[n], filtrert med running average filter / / 6 8 INSTITUTT FOR INFORMATIKK / / / Glidende middel, kausalt eksempel n n < x[n] y[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6

5 Det generelle FIR-filtret Det generelle FIR-filtret er definert ved differensligningen y[n] = b k x[n k] k= Dette filtret kaller vi også et vektet glidende middel. Hvis M = og b k = / for alle k =,,, har vi det kausale glidende middel fra forrige eksempel. y[n] = x[n k] k= = x[n] + x[n ] + x[n ] Filterkoeffisientene b k Et FIR-filter er fullt definert hvis settet av koeffisienter {b k } er kjent. For eksempel, hvis {b k } = {, 8,, } vet vi at filteret har lengde, med M =, og differensligningen kan skrives ut som y[n] = x[n] + 8 x[n ] + x[n ] + x[n ] Filtret beskrives ved sin orden M eller sin lengde L, der L = M +. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 Illustrasjon av FIR-filtrering. n + x[n] = cosπ n 8 + π n ellers Enhetspulsen Enhetspulsen er definert ved n = δ[n] = n Signalet x[n] punkts glidende middel over x[n] Eksempel for δ[n], samt de tidsforskjøvede versjonene δ[n ] og δ[n + ]. Enhetspulsen δ[n] punkts glidende middel over x[n]. Enhetspulsen δ[n ] Enhetspulsen δ[n+]. Hva ser vi? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK

6 Enhetspulsen Enhetspulser forskjøvet i tid er nyttige for å syntetisere signaler, for eksempel x[n] = δ[n] + δ[n ] + δ[n ]+ δ[n ] + δ[n ] + δ[n ]+ δ[n 6] Enhetsimpulsresponsen Enhetsimpulsresponsen til et FIR-filter er den utgangen y[n] vi får dersom inngangen er x[n] = δ[n]. Enhetsimpulsresponsen kalles også bare impulseresponsen, og refereres til som h[n]. Hvilke verdier vil x[n] ta for n [, ]? Enhver sekvens x[n] kan skrives kompakt som x[n] = x[k] δ[n k] k= som er en endelig sum av vektede, tidsforskjøvede enhetspulser. Substitusjonen x[n] = δ[n] i uttrykket for det generelle FIR-filtret gir b n n =,,..., M h[n] = b k δ[n k] = ellers k= x[n] = δ[n] Diskret tid FIR filter h[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK Impulsresponsen For FIR-filtre har impulsresponsen h[n] endelig lengde, derav forkortelsen FIR Finite Impulse Response = endelig impulsrespons. Hva blir impulsreponsen til filtrene med koeffisenter { {b k } =,, } og {b k } = {,,,, } De oppgitte koeffisientene gir filtrene og.. h[n] = δ[n] + δ[n ] + δ[n ] h[n] = δ[n] + δ[n ] + δ[n ]+ δ[n ] + δ[n ] Impulsrespons for FIR filter med koeffisienter {/,/,/} FIR-filter y[n] = b k x[n k] k= Impulsrespons for FIR filter med koeffisienter {,,,,} Impulsrespons y[n] = h[n] = b k δ[n k] x[n]=δ[n] k= 6 8 INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK

7 Enhetsforsinkelse system Vi skriver operatoren som tidsforsinker x[n] med en mengde n som y[n] = x[n n ] Når n = gir det enhetsforsinkelsessystemet. Forsinkelsesfiltre er enkle FIR-filtre der kun en av koeffisinene er ikke-null. For en forsinkelse n = er {b k } gitt ved {b k } = {,,, } som gir en orden M =. Impulsresponsen til et forsinkelsesfilter er h[n] = δ[n n ] Konvolusjon og FIR-filtre Substituer b k = h[k] i det generelle uttrykket for et FIR-filter y[n] = h[k]x[n k] k= Dette er den endelige konvolusjonssummen, der vi konvolverer sekvensene x[n] og h[n]. Det er vanlig å tenke på konvolusjon som en operasjon der den ofte korte impulsresponsen glir over en lang inngangssekvens x[n]. INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 Ekstra: Omregning mellom logaritmer Gitt tallet x er -logaritmen gitt ved log x = y y = x Den naturlige logaritmen, men base e, er lnx = z e z = x Gitt den naturlige logaritmen til et tall, finner man -logaritmen som følger lnx = ln y = y ln = log x ln = log x = lnx ln eller.-ibsen-ibsen DFT, Diskret Fourier-transform En sekvens x[n] med endelig lengde N er definert for n =,,..., N Den diskrete Fourier-transformen til x[n] er definert som X[k] = L n= x[n]e jπ/nkn k =,,..., N der grensene for k er bestemt av x[n]. Det er vanlig å sette L = N, noe vi følger her. Dette er en Fourier-transform av x[n], evaluert ved et diskret sett med frekvenser ˆω k = πk, for k =,,..., N N INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

8 DFT, eksempel Anta signalet πr n x[n] = cos, n N N r N som kan skrives om til x[n] = e jπr n/n jπr + e n/n DFT, eksempelplot Sekvensen x[n] = cosπ/ n, n [, N ] = [, 9] har diskret frekvens ˆω = π/ = π/n punkts DFT av x[n] = cosπ/ n Innsatt i DFT-definisjonen får vi X[k] = = N n= [ N x[n]e jπ/nkn k =,,..., N n= N e j πn N r k + N/, k = r = N/, k = N r, ellers n= e πn j N r k] absoluttverdi absoluttverdi indeks punkts DFT av x[n] = cosπ/ n indeks INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK DFT, eksempelplot Sekvensen x[n] = cosπ/6 n, n [, N ] = [, 9] har diskret frekvens absoluttverdi ˆω = π/6 lπ/n punkts DFT av x[n] = cosπ/6 n indeks En diskret Fourier-transform kan brukes på et signal for å transformere det fra tids- til frekvensdomenet. Fra en sekvens av signalverdier gir en DFT-beregning informasjon om de frekvenskomponentene som finnes i signalet. punkts DFT av x[n] = cosπ/6 n absoluttverdi indeks INSTITUTT FOR INFORMATIKK INSTITUTT FOR INFORMATIKK