Uke 6: Analyse i frekvensdomenet

Transkript

1 Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011

2 2/39 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og transformer Egenskaper til DT Fourier transform LTI systemer som frekvens-selektive filtre

3 3/39 Tema Fra forrige gang

4 4/39 z-transformasjonen. Definisjon; formel + ROC Egenskaper Drøfte systemer vha z-transformen Invers z-transformasjon Poler og nullpunkter...

5 5/39 Egenfunksjoner til et LTI system La Da er x[n] = e ȷnΩ, < n <, Ω [ π, π]. y[n] = h[n] x[n] = = k= k= h[k]x[n k] h[k]e ȷΩ(n k) = e ȷnΩ = H(Ω)e ȷnΩ = H(Ω)x[n]. dvs at egenfunksjonen til et LTI system er k= h[k]e ȷkΩ x[n] = e ȷnΩ, < n <, Ω [ π, π]. og egenverdien, benevnt H(Ω), er = k= h[k]e ȷkΩ.

6 6/39 Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analyse : X(Ω) F {x[n]} = Alternativt: X(F) = n= n= x[n]e ȷ2πFn. x[n]e ȷΩn. Syntese : x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 2π 2π X(Ω)e ȷΩn dω. Alternativt: x[n] = x[n] F X(Ω). 1/2 1/2 0 X(F)e ȷ2πFn df.

7 7/39 Tema Frekvensrespons funksjonen

8 8/39 H(Ω): Frekvensresponsen H(Ω) = k= h[k]e ȷkΩ. H(Ω) er en funksjon av frekvensvariabelen Ω. H(Ω) er, generelt, en kompleks størrelse, og kan skrives som: Reell og imaginær del: H(Ω) = HR (Ω) + ȷH I (Ω) eller Magnitude og fase: H(Ω) = H(Ω) e ȷΘ(Ω), hvor H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) = H 2 R(Ω) + H 2 I (Ω) og Θ(Ω) = tan 1 H I (Ω) H R (Ω). Gruppeforsinkelsen (eller envelopeforsinkelsen) til H: τ g (Ω) = dθ(ω) dω. Periodisitet: Siden x[n] = e ȷnΩ 0 = e ȷn(Ω 0+2π), må vi ha at H(Ω 0 ) = H(Ω 0 + 2π).

9 9/39 H(Ω): Frekvensresponsen Hva er H(F 0 ), H(2F 0 ) og H(3F 0 )?

10 10/39 H(Ω): Frekvensresponsen Hva er Θ H (F 0 ), Θ H (2F 0 ) og Θ H (3F 0 )?

11 11/39 H(Ω): Frekvensresponsen Konstant tidsskift: Når fasen er proporsjonal med. frekvensen... (lineær)...

12 12/39 Eksempel Vi har gitt et LTI-system med impulsrespons h[n] = α n u[n], α R, α < 1. Frekvensresponsen er da H(Ω) = h[n]e ȷnΩ = α n e ȷnΩ = k= (αe ȷΩ ) n = k=0 k=0 1 1 αe ȷΩ. Amplituderespons: H(Ω) = 1 1 αe ȷΩ 1 1 αe ȷΩ = 1 1+α 2 2α cos Ω Faserespons: Θ(Ω) = tan 1 H I (Ω) H R (Ω) = tan 1 Gruppeforsinkelse: τ g (Ω) = α2 α cos Ω 1+α 2 2α cos Ω. α sin Ω 1 α cos Ω.

13 13/39 Tema Fourier rekker og transformer Kontinuerlig tid Fourier rekke og transform Frekvens analyse av diskret tid periodiske signaler

14 14/39 Fourier rekker og transformer Mål: Utvikle et matematisk verktøy (et prisme ) som dekomponerer signaler ( lys ) inn forskjellige frekvenskomponenter ( farger ). Videre: Utvilke verktøyet ( det inverse prismet ) som syntetiserer tilbake det hvite lyset fra frekvenskomponentene.

15 15/39 De fire Fourier rekkene/transformasjonene

16 16/39 Kontinuerlig tid: Fourier rekke og transform Fourier rekker: Dekomposisjon av signaler til sum av sinus/cosinus ledd (eller komplekse eksponensialer) frekvens domenet. De aller fleste signaler av prakisk interesse kan dekomponeres i en sum av sinus/cosinus ledd. Periodiske signaler: Fourier rekker (Fourier series). Endelig energi signaler: Fourier transform. Viktig i analyse av LTI systemer: Et LTI systems respons til en sinus/cosinus er en tilsvarende sinus/cosinus, men med en (kompleks) skalering. Et LTI systems respons til en lineær sum av sinus/cosinus ledd er en tilsvarende sum av sinus/cosinus ledd med kun en mulig kompleks skalering av hvert ledd.

17 Kontinuerlig tid (CT) og periodiske signaler Fourier rekker Hvis x(t) er et periodisk signal som tilfredstiller Dirichlet krav, så er Syntese likn.: x(t) = c k e ȷ2πkf0t. k= Analyse likn.: ck = 1 T p x(t)e ȷ2πlf0t dt. T p Dirichlets krav: 1. Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter innenfor enhver periode. 2. Signalet x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter innenfor enhver periode. 3. Signalet x(t) er absolutt integrerbar innefor enhver periode, dvs T p x(t) dt <. I praksis vil alle periodiske signaler av interesse tilfredstille disse kravene. Andre periodiske signaler kan også ha en Fourier rekke 17/39

18 18/39 Fourier transformasjonen til CT signaler Betrakt et aperiodisk signal x(t) med endelig lengde. Konstruer et periodisk signal x p (t) med periode T p. Da er x(t) = lim x p(t). T p

19 19/39 Fourier transformasjonen til CT signaler, fortsettelse Hvis x(t) er et aperiodisk signal som tilfredstiller Dirichlets krav, så er Syntese likn,: x(t) = X(f)e ȷ2πft df. Analyse likn.: X(f) = x(t)e ȷ2πft dt. Dirichlets krav: 1. Signalet x(t) har et endelig antall diskontinuiteter. 2. Signal x(t) innehar et endelig antall maks og min punkter. 3. Signal x(t) er absolutt integrerbart, dvs x(t) dt <. Alle signaler av praktisk interesse tilfedstiller disse kravene.

20 20/39 Diskret tid Fourier rekker. Gitt et signal x[n] med periode N, dvs. x[n] = x[n + N] N. Da har vi: N 1 Syntese likn.: x[n] = c k e ȷ2πkn/N. Analyse likn.: cl = 1 N k=0 N 1 n=0 x[n]e ȷ2πln/N, l = 0, 1,..., N 1. {c k } representerer amplitude og fase til frekvenskoeffisienten s k [n] = e ȷ2πkn/N = e ȷΩ kn, Ω k = 2πk/N. {c k } er periodisk med periode N. Endelig mengde informasjon i både tid og frekvens. Dette kan datamaskiner håndtere!!!

21 21/39 Diskret tid Fourier rekker. Energitetthetsspekter av periodiske sekvenser: Gjennomsnittlig energi av et diskret tid periodisk signal: P x = 1 N 1 N x[n] 2 = N 1 c k 2. n=0 k=0 Dvs. energien må være lik i tid og frekvens Parseval s relasjon. Fourier rekker av reelle diskrete periodiske signaler: Hvis x[n] er reell (x [n] = x[n]), så er c k = c k, eller også Like symmetri: c k = c k, Ulike symmetri: c k = c k. Reelle signaler kan uttrykkes som x[n] = c L k=1 c k cos( 2π N kn + θ k) = a 0 + L ( k=1 ak cos( 2π N kn) b k sin( 2π N kn), hvor a 0 = c 0, a k = 2 c k cos θ k, b k = 2 c k sin θ k, og L = N/2 hvis N like og L = (N 1)/2 hvis N ulike.

22 22/39 Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodiske signaler. Hvis x[n] er et diskret ikke-periodisk signal: π Syntese likn.: x[n] = 1 X(Ω)e ȷΩn dω. 2π π Analyse likn.: X(Ω) = n= x[n]e ȷΩn. X(Ω) representerer frekvensinnholdet i signalet x[n], dvs. X(Ω) er en dekomposisjon av x[n] inn i sine frekvenskomponenter. Unik over frekvensintervallet ( π, π), eller ekvivalent (0, 2π). X(Ω) er periodisk med periode 2π.

23 23/39 Fourier transformasjonen til diskrete ikke-periodiske signaler, fortsettelse Konvergerer: X N (Ω) = N n= N x[n]e ȷΩn konvergerer uniformt til X(Ω), dvs. lim {sup Ω X(Ω) X N (Ω) } = 0. N Garantert hvis x[n] er absolutt summerbar. Mulig med kvadratisk summerbare sekvenser hvis mean-square konvergenskriterium er oppfylt. Energitetthetsspekter E x = n= x[n] 2 = 1 2π π π X(Ω) 2 dω.

24 24/39 Diskret tid Fourier transform; DTFT Notasjon: Analyse: X(Ω) F {x[n]} = Alternativt: X(F) = n= n= x[n]e ȷ2πFn. Syntese: x[n] F 1 {X(Ω)} = 1 Alternativt: x[n] = x[n] F X(Ω). 1/2 1/2 x[n]e ȷΩn. 2π 2π X(F)e ȷ2πnF df. X(Ω)e ȷΩn dω.

25 Fra z-transf. til DTFT Finner X(Ω) ved å evaluere z-transformasjonen langs enhetssirkelen. X(z) Z{x[n]} = x[n]z n R=1 = x[n]e j2πfn n= n= 25/39

26 26/39 Tema Egenskaper til DT Fourier transform

27 Egenskaper til DTFT Symmetri 27/39 Realle signaler x[n] har konjugert symetrisk X(Ω). Linearitet: F {ax 1 [n] + bx 2 [n]} = af {x 1 [n]} + bf {x 2 [n]}. Shifting i tid: F {x[n k]} = X(Ω)e ȷΩk. (dvs. frekvensinnhold avhenger bare av form.)

28 28/39 Egenskaper til DTFT, fortsettelse Tidsreversering: F {x[ n]} = X( Ω) (dvs. frekvensinnhold reellt signal (X( Ω) = X (Ω)) avhenger bare av form.) Konjugering: F {x [n]} = X ( Ω). Konvolusjon: F {x 1 [n] x 2 [n]} = F {x 1 [n]}f {x 2 [n]} = X 1 (Ω)X 2 (Ω). Korrelasjon: F {r x1 x 2 } = S x1 x 2 = X 1 (Ω)X 2 ( Ω). Kryss-korrelasjonstetthetsspektrum. Wiener-Khintchine teorem: La x[n] være et reellt signal. Da er F {r xx (l)} = S xx (Ω) = X(Ω)X( Ω) = X(Ω)X (Ω). (Ingen faseinformasjon, dvs ikke unik!)

29 29/39 Egenskaper til DTFT, fortsettelse Shifting i frekvens: F {x[n]e ȷΩ 0n } = X(Ω Ω 0 ). Modulasjon: F {x[n] cos[ω 0 n]} = 1 2 [X(Ω + Ω 0) + X(Ω Ω 0 )]. Parseval s relasjon / energikonservering: E x = π x[n] 2 = 1 X(Ω) 2 dω. n= Multiplikasjon: 2π π F {x 1 [n] x 2 [n]} = F {x 1 [n]} F {x 2 [n]} = 1 X 1 (θ)x 2 (Ω θ)dθ 2π : Periodic convolution.

30 Sammenheng mellom system funksjon og frekvens respons H(Ω) = H(z) z=e ȷΩ = Hvis H(z) rasjonell, H(Ω) = B(Ω) A(Ω) = n= M k=0 1 + N k=1 h[n]e ȷΩn b k e ȷΩk a k e ȷΩk = b 0 30/39 M (1 z k e ȷΩ ), (1) N (1 p k e ȷΩ ) k=1 k=1 hvor {a k } og {b k } reelle, men {z k } og {p k } kan være komplekse. Magnitude kvadrert: H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) H (Ω) finnes ved å evaluere H (1/z ) på enhetssirkelen. Når {h[n]} reell (= {a k } and {b k } reelle) komplekse poler og nullpunkter opptrer i kompleks-konjugerte par H (1/z ) = H(z 1 ), dvs. H (Ω) = H( Ω) og H(Ω) 2 = H(Ω)H (Ω) = H(Ω)H( Ω) = H(z)H(z 1 ) z=e ȷΩ.

31 31/39 Tema LTI systemer som frekvens-selektive filtre Ideell filterkarakteristikk & enkle filtre

32 32/39 Ideell filterkarakteristikk Ideelle filte har konstant magnitudekarakteristikk. Skal se på responskarakterstikk av lavpass, høypass, båndpass, all-pass og båndstop eller bånd-eliminasjons filtre. Lineær faserespons Ideelle filtre har lineær fase i passbåndet. I alle tilfeller: Ideelle filtre er ikke fysisk realiserbare! Design av enkle digitale filtre 1. Basert på pol- og nullpunktplassering. 2. Alle poler innenfor enhetssirkelen (nullpkt hvor som helst). 3. Komplekse poler/nullpkt. i komplekskonjugerte par.

33 Ideell filterkarakteristikk, fortsettelse 33/39

34 34/39 Enkle filtre Lavpass Lavpass til høypass transformasjon H hp (Ω) = H lp (Ω π), i.e. h hp [n] = (e ȷπ ) n h lp [n] = ( 1) n h lp [n]. Digitale resonatorer Notch filtre Kam filtre All-pass filtre

35 35/39 Lavpass and høypass filtre

36 36/39 Lavpass and høypass filtre, fortsettelse

37 Båndpass filter 37/39

38 38/39 Digital resonator

39 39/39 Notch filter

40 40/39 Kam filter

41 41/39 Allpass filter

42 42/39 End of show...