Filter-egenskaper INF Fritz Albregtsen

Transkript

1 Filter-egenskaper INF Fritz Albregtsen Tema: Naboskaps-operasjoner Del 2: - Lineær filtrering - Gradient-detektorer - Laplace-operatorer Linearitet H [af (x, y) + bf 2 (x, y)] ah [f (x, y)] + bh [f 2 (x, y)] der a og b er konstanter, f og f 2 er vilkårlige bilder. Additivitet H [f (x, y) + f 2 (x, y)] H [f (x, y)] + H [f 2 (x, y)] Hvis H er en lineær operator vil responsen på en sum av to inn-signaler være lik summen av responsen på hvert av de to signalene. Homogenitet H [af (x, y)] ah [f (x, y)] Hvis H er en lineær operator, er responsen på et konstant multippel av en vilkårlig input lik konstanten multiplisert med responsen på input. Kommutativ og assosiativ Litteratur: Efford, DIP, kap Konvolusjon er kommutativ og assosiativ f g g f (f g) h f (g h) Det spiller altså ingen rolle hvilken rekkefølge sammensatte konvolusjonener utføres i. 2 Filter-typer Normalisering av filtre Lavpass Slipper gjennom lave frekvenser, og demper eller fjerner høye frekvenser i Fourier-domenet. Hvis vi konvolverer [ ] med seg selv, får vi Fortsetter vi, får vi [] [] [ ] Høye frekvenser: Støy, skarpe kanter, linjer og detaljer i bildet. og [] [ ] [ ] Effekt: blurring av bildet. Høypass Slipper igjennom høye frekvenser, og demper eller fjerner lav-frekvens komponenter i Fourier-domenet. Effekt: Fjerner langsomt varierende bakgrunn, fremhever kanter og skarpe detaljer. Bandpass Fjerner eller demper frekvens-komponenter under og over to gitte frekvenser. [] [ ] [ ] og så videre... Men ved normalisering av filter-kjernen får vi 3 [] [] [ ] 3 Fortsetter vi, får vi naturligvis og 3 [] 3 [ ] [ ] 9 3 [] 9 [ ] [ ]

2 Separable lavpass-filtre Geometrisk form: kvadrat, rektangel. Rektangulære middelverdi-filtre er separable. HM(i, j) [ ] Fordel: En rask implementasjon av et lavpass-filter. Antall aritmetiske operasjoner for n n separabelt filter: S 2 2 n Brute force for n n filter: S 2 n 2 Lavpass-filtrering ved oppdatering Det tar n 2 multiplikasjoner og n 2 addisjoner å beregne responsen R for et n n filter, hvis vi ser bort fra skala-faktoren. Flytter filtret ett piksel. Ny respons R ny kan skrives R ny R gml C + C n der C er summen av produktene under første kolonne i filtret, C n er tilsvarende for siste kolonne i filtret. Det tar n multiplikasjoner og (n ) addisjoner å finne hhv c og C n. Altså 2n + 2n aritmetiske operasjoner for å finne R ny. Oppdatering er like rask som separabilitet! (NB! Ikke alle filtre er separable) Hvis alle filterkoeffisienter, dropper vi alle multiplikasjoner. Dette gir n + addisjoner pr flytting ved oppdatering, mot n 2 addisjoner ved brute force. 5 6 Ikke-uniformt lavpass-filter Høypass-filtre Uniforme lavpass-filtre kan implementeres raskt. Ulempe: Kan gi underlige effekter i frekvensdomenet. Ikke-uniforme filtre: eksempel 2D Gauss-filter. h(x, y) exp (x2 + y 2 ) Fordel: Rotasjons-symmetri, separabilitet Parameter: σ Filterstørrelse må tilpasses σ. Gauss-filtre kan approksimeres: G 3 3 [ ] T [ ] [ ] T [ ] Et høypass filter må ha positive vekter i midten, og negative vekter lenger ut. 8 Vi lar summen av vektene være null. Hvis vi lar middelverdien av ut-bildet bli 0, må noen deler av bildet være < 0. Det er ingen god ide å benytte g(x, y). Vi skalerer, og legger til en konstant, slik at resultatet kan vises fram som g(x, y) > 0 7 8

3 Punkt-deteksjon Anta at vi benytter en konvolusjonsmaske med vekter w i gitt ved Vi beregner 8 R 9 w i z i i der z i er den gråtone-verdi vi finner under maskeverdien w i. Et punkt (i, j) avviker fra sine omgivelser hvis R(i, j) > T der T > 0 er en terskel, og R beregnes ved å sentrere masken om punktet (i, j). Dette er samme maske som vi brukte til høyfrekvensfiltrering, men her anvendes en terskel T for å finne punkter som avviker tilstrekkelig fra sine omgivelser. Hvilket resultat får vi i homogene områder? Hva med en hellende gråtone-flate? High-boost -filtre En høypass filtrering kan utføres ved Høypass Original - Lavpass Hvis vi adderer et høypass-bilde til original-bildet, får vi et High-Boost bilde Vekter vi de to bildene får vi generelt c Vi kan gjøre en vektet high boost i EN konvolusjon (c > 8). Dette gjøres i øyet vårt, og i diverse forbruker-elektronikk. 9 0 Unsharp Masking En høypass filtrering kan sees som at vi subtraherer en blurret versjon av bildet fra originalen g HP (x, y) f(x, y) f LP (x, y) La oss si at vi lager bildet g(x, y) f(x, y) + α(f(x, y) f LP (x, y) βf(x, y) αf LP (x, y) Middelverdien av dette bildet er βf(x, y) αf LP (x, y) βf(x, y) αf LP (x, y) Hvis lavpass-bildet har samme middelverdi som originalen, så er dette lik (β α)f(x, y) Derfor velger vi oftest (β α), slik at middelverdien i resultat-bildet ikke skal forandres. Dette er Unsharp Masking. Fotografisk: Et negativ kopieres gjennom et litt defokusert positiv, slik at lokal middelverdi subtraheres. Resultat: skarpere bilde. Motivasjon for kant-deteksjon Repeterte fenomener i en sekvens bringer oss lite ny informasjon. Vi vet at dette utnyttes i kommunikasjon og i digital bilde-kompresjon. Det meste av informasjonen i et bilde finnes ved kantene/omrissene til objektene/regionene i bildet. Kanter brukes her om intensitets-kanter, farge-kanter, tekstur-kanter, etc. Biologiske visuelle systemer er basert på kant-deteksjon, ikke på f.eks. terskling. Slike systemer arbeider ofte både parallelt og sekvensielt: Alle lokale omgivelser behandles uavhengig av hverandre, og behandles derfor samtidig. Lokalt resultat kan være avhengig av tidligere resultat(er). 2

4 Digitale gradient-operatorer Gradient i kontinuerlig bilde Vi husker at den deriverte av f(x) er gitt ved f(x + h) f(x) lim h 0 h I våre digitale bilder setter vi h Vi får da en gruppe av operatorer som gir approksimasjoner til de ortogonale gradient komponentene δf (x, y)/δx og δf (x, y)/δy Noen operatorer gir bare et estimat av gradient-magnituden (kant-styrken) Andre gir også gradient-retningen Gitt to digitale masker H x og H y. Disse konvolveres med det digitale bildet F (i, j) og måler gradient-komponentene g x og g y over en omegn om (i, j) i bildet F. Gradienten til F langs r i retning θ dvs. Gradienten er størst når Dvs når δf δr δf δx δx δr + δf δy δy δr δf δr δf δf cos θ + δx δy sin θ δ δf 0 δθ δr δf δx sin θ g + δf δy cos θ g 0 Retningen til kanten relativt til x-aksen er derfor θ g tan Og gradient-magnituden er δf δr max g y g x [ g 2 x + g 2 y ] /2 3 4 Digitale gradient-approksimasjoner Symmetriske gradient-operatorer Asymmetrisk D operator G R (i, j) F (i, j) F (i, j ) G C (i, j) F (i, j) F (i +, j) Definisjonen er gitt slik at komponentene er positive for en kant der intensiteten øker fra venstre mot høyre og nedenfra og oppover i bildet. Gradient-estimatene refererer ikke til samme sted i bildet. Symmetrisk D operator G R (i, j) F (i, j + ) F (i, j ) G C (i, j) F (i, j) F (i +, j) Gradient-estimatene refererer nå til (i, j). Operatoren gjøres mindre følsom for støy ved å midle i én retning og derivere i den ortogonale retningen. Eksempler: Prewitt, Sobel, Frei-Chen. Frei-Chen gir samme gradient om kanten ligger langs aksene eller diagonalt. Prewitt er mer følsom for horisontale og vertikale enn for diagonale kanter. Det motsatte er tilfelle for Sobel. Prewitt-operatoren glatter ikke ut støy like effektivt som Sobel-operatoren. Større masker gir mindre støy-følsomhet. Alle de tre nevnte operatorene er separable. 5 6

5 Gradient-operatorer Pixel difference H R (i, j) 0 H C(i, j) 0 0 Separated pixel difference H R (i, j) 0 H C(i, j) 0 0 Roberts H R (i, j) 0 0 H C(i, j) 0 0 Prewitt 0 H R (i, j) 0 H C(i, j) 0 Sobel 0 2 H R (i, j) H C(i, j) 0 2 Frei-Chen H R (i, j) H C(i, j) Laplace-operatoren Den generaliserte 2. deriverte er gitt ved G(x, y) 2 (F (x, y)) der Laplace-operatoren er gitt ved 2 F 2 F x + 2 F 2 y 2 G(x, y) 0 hvis F (x, y) er en lineær funksjon av x og y. G(x, y) endrer fortegn der F (x, y) har et infleksjons-punkt. Denne operatoren gir ikke brede kanter! Vi finner bare magnitude, ikke retning. Merk at G har to ekstremalverdier idet vi passerer en kant, mens G 0 markerer kant-posisjonen. 7 8 D Laplace-operator 2D Laplace-operator I D er 2 f ekvivalent med 2. deriverte Kontinuerlig Digitalt f(x) f(i) f (x) f (i) f(i) f(i ) f (x) 2 f(x) f (i) f (i) f (i ) [f(i) f(i )] [f(i ) f(i 2)] f(i 2) 2f(i ) + f(i) Av symmetri-hensyn flytter vi operatoren slik at den er sentrert om i. Dessuten bytter vi fortegn 2 f(i) f(i ) + 2f(i) f(i + ) Anvender D Laplace i begge retninger: 2 f 2 f x f y 2 f(i, j) + 2f(i, j) f(i +, j) f(i, j ) + 2f(i, j) f(i, j + ) Dette får man ved å konvolvere f(i, j) med

6 Laplace-operatoren Legg merke til at Laplace-operatorene kan uttrykkes som senter-verdi minus et (veiet) middel over et lokalt naboskap. D : 2 f(i) f(i ) + 2f(i) f(i + ) 3f(i) i+ f(j) ji 2D pluss : 4 2D kvadrat : LoG 2 G Gauss-funksjonen i D er gitt som G(x) e (xµx)2 2πσ mens den 2-dimensjonale sirkelsymmetriske Gauss-funksjonen er gitt ved G(x, y) (xµx) 2 +(yµy) 2 2πσ 2e Anta at middelverdiene µ x µ y 0, og derivér G x 2πσ 4 2 G x x2 2 2πσ 4 σ 2 Tilsvarende får vi 2 G y 2 2πσ 4 xe (x2 +y 2 ) y2 e (x2 +y 2 ) σ 2 e (x2 +y 2 ) og summen av 2 G og x 2 2 G blir dermed y 2 2 G 2 x2 + y 2 2πσ 4 σ 2 e (x2 +y 2 ) 2 22 Laplacian-of-Gaussian (LoG) Først foreslått av David Marr (980) I 2D 2 G(x, y) (x y 2 ) 2πσ 4 σ 2 exp (x2 + y 2 ) σ er standard-avviket til G(x,y) w 2 2σ er bredden av den sentrale positive toppen i LoG-operatoren I de fleste tilfelle er størrelsen på operatoren 3w, 8.5σ. 99.7% av arealet under en D Gauss ligger mellom µ 3σ og µ + 3σ. Integralet av LoG operatoren mellom disse grensene 0. 23