Utregning av en konvolusjonssum

Transkript

1 Forelesning 4.mars 2004 Tilhørende pensum: byggeklosser i implementasjon av FIR-filtre multiplikator adderer enhets blokkdiagrammer over FIR-filtre LTI-systemer tidsinvarians linearitet utlede konvolusjonssummen egenskaper ved LTI-systemer konvolusjon som en operator konvolusjon er kommutativt konvolusjon er assosiativt LTI-systemer i kaskade Repetisjon: FIR-filtre Både inngang og utgang er diskrete sekvenser. Det generelle FIR-filtret er kausalt. b k x[n k] Impulsresponsen h[n], utgangen gitt δ[n] som inngang, er endelig. h[n] b k δ[n k] Glidende middel filtret er en type FIR-filter. 1 L x[n k], M L 1 Tidsforskjøvede enhetspulser kan brukes til signalsyntese. Konvolusjon x[k]δ[n k] h[k]x[n k] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 2 Utregning av en konvolusjonssum Anta et FIR-filter med koeffisienter b k {1, 2, 0, 3} og en inngang, der n [0, 8], definert som 7 Inngangssekvens Utregning av en konvolusjonssum Impulsresponsen h[n] h[n] b k δ[n k] δ[n] + 2 δ[n 1] 3 δ[n 3] Konvolusjonssummen h[k]x[n k] indeks n Hva blir utgangen fra filtret? Gitt M 3 har vi 3 h[k]x[n k] Er filtret kausalt? For hvilke n vil utgangen være definert? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4

2 Utregning av en konvolusjonssum Inngangen er N 9 lang og for impulsresponsen h[n] er M 3. Det gir mening å regne ut for n [0, N + M 1]. Deler utgangen i 3 perioder transient på, når filtret er på vei inn over inngangen, 0 < n < M steady-state, når hele filtret er over en del av inngangen, M n N transient av, når filtret er på vei ut fra inngangen, N < n N + M 1 1. [n] physics a short-lived oscillation in a system caused by a sudden change of voltage or current or load 2. [n] one who stays for only a short time; "transient laborers" 4. [adj] enduring a very short time; "a passing fancy"; "youth s transient beauty" Transient på y[0] h[0]x[0] y[1] h[0]x[1] + h[1]x[0] y[2] h[0]x[2] + h[1]x[1] + h[2]x[0] Steady state y[3] h[0]x[3] + h[1]x[2] + h[2]x[1] + h[3]x[0] y[4] h[0]x[4] + h[1]x[3] + h[2]x[2] + h[3]x[1] y[5] h[0]x[5] + h[1]x[4] + h[2]x[3] + h[3]x[2] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 y[6] h[0]x[6] + h[1]x[5] + h[2]x[4] + h[3]x[3] Resultat av konvolusjonen y[7] h[0]x[7] + h[1]x[6] + h[2]x[5] + h[3]x[4] h[k]x[n k], n [0, N + M 1] y[8] h[0]x[8] + h[1]x[7] + h[2]x[6] + h[3]x[5] Utgangssekvens 5 Transient av 0 y[9] h[1]x[8] + h[2]x[7] + h[3]x[6] y[10] h[2]x[8] + h[3]x[7] y[11] h[3]x[8] indeks n Utgangen er definert for M flere sampler enn inngangen, n 9, 10, 11. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8

3 Implementasjon av et FIR-filter Det generelle FIR-filtret Det som behøves er b k x[n k] 1. å få tak i tidsforsinkede versjoner av inngangen 2. å kunne multiplisere disse signalene med filterkoeffisientene 3. å addere de skalerte sekvensverdiene Enhetsforsinker Denne komponenten forsinker inngangen med en tidsenhet, det vil si med ett sampel. Dette er et FIR-filter. x[n 1] Implementeres ved å finne sampelverdien x[n 1] ved tiden n 1, spare den til neste klokkesykel n, og bruke den den da. Forsinkelse med en faktor M kan oppnås ved å sette flere enhetsforsinkere i kaskade. Tre komponenter realiserer det nødvendige, henholdsvis x[n 1] x[n 2] x[n 3] 1. enhetssoperator 2. multiplikator 3. adderer En slik kaskade kan implementeres ved bruk av et ringbuffer, og krever følgelig M ganger minnekapasiteten. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 10 Multiplikator Multiplikatoren multipliserer inngangen med en konstant β β β Multiplikatoren er et FIR-filter, av lengde 1 M 0, og med impulsrespons h[n] βδ[n] Adderer Denne komponenten adderer to signaler x [n] 1 x [n] 2 x [n] + x [n] 1 2 Addereren er ikke et FIR-filter, ettersom den har to innganger. Addisjon av flere innganger utføres gjerne i par av to. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 11 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 12

4 Blokkdiagram, direkte form x[n 1] b 0 b 1 Skriv ut uttrykket for utgangen fra FIR-filtret på figuren. 2 1 x[n 2] b 2 0 x[n 3] b 3 3 x[n 4] b 4 1 Et FIR-filter kalles også en "feed-forward differensligning". 3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 13 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 14 Blokkdiagram, andre former Ulikt utseende blokkdiagrammer kan implementere samme FIR-filter, digrammet på direkte form er bare en av mange muligheter. Transponert form b 4 b 3 b 2 v [n] 4 v [n] 3 Noen detaljer om maskinvare blokkdiagrammet viser rekkefølge og avhengigheter i filtret; viktig å ta hensyn til hvis for eksempel parallellisering er ønsket tilpassing av et filter for en VLSI -brikke kan gjøres ved at en spesiell kompilator oversetter blokkdiagrammet til optimalisert kode for DSP-brikken. digital representasjon impliserer endelig nøyaktighet, effekten av avrundingsfeil må vurderes b 1 v [n] 2 v [n] 1 digital representasjon impliserer også endelig ordlengde, effekten av mulig overflow må vurderes Very Large Scale Integration b 0 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 15 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 16

5 Tidsinvarians Linearitet og tidsinvarians Vi skal se på begrepene linearitet og tidsinvarians. I den forbindelse introduseres en ny notasjon for FIR-filtret. Et diskret-tid system er tidsinvariant dersom også betyr at x[n n 0 ] y[n n 0 ] At inngangen transformeres til utgangen skrives som Systemer som tilfredsstiller kravene både til linearitet og tidsinvarians kalles lineære, tidsinvariante LTI systemer. Hva med systemene y 1 [n] 2 y 2 [n] n y 3 [n] x[3 n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 17 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 18 Linearitet Et diskret-tid system er lineært dersom x 1 [n] y 1 [n] og også betyr at x 2 [n] y 2 [n] α x 1 [n] + β x 2 [n] α y 1 [n] + β y 2 [n] Systemer som ikke tilfredsstiller dette kalles ikke-lineære systemer. Hva med systemene y 1 [n] 2 FIR-filtre og LTI-systemer FIR-filtre er en type LTI-systemer. Det generelle FIR-filtret, definert ved b k x[n k] er både lineært og tidsinvariant. y 2 [n] n y 3 [n] x[3 n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 19 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 20

6 FIR-filtrets tidsinvarians Finne utgangen når inngangen er tidsforsinket med n 0 sampler, v[n] x[n n 0 ] w[n] b k v[n k] b k x[n k n 0 ] b k x[n n 0 k] Tidsforsinke utgangen direkte y[n n 0 ] b k x[n n 0 k] w[n] FIR-filtrets linearitet Bruker α x 1 [n] + β x 2 [n] som gir b k x[n k] b k α x1 [n k] + β x 2 [n k] α b k x 1 [n k] + β b k x 2 [n k] α y 1 [n] + β y 2 [n] FIR-filtret er lineært. FIR-filtret er tidsinvariant. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 21 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 22 Konvolusjon og LTI-systemer Enhver sekvens kan representeres som en sum av skalerte og tidsforsinkede enhetspulser. x[l]δ[n l] l + x[ 2]δ[n + 2] + x[ 1]δ[n + 1]+ x[0]δ[n] + x[1]δ[n 1]+ x[2]δ[n 2] +... I det mest generelle tilfellet vil l summere fra til. Utlede konvolusjonssummen LTI-systemets respons på inngangen δ[n] er impulsresponsen h[n]. Fordi systemet er tidsinvariant vet vi også at responsen på en inngang δ[n 1] er h[n 1]. Noen flere par av inngang-utgang δ[n] h[n] δ[n 2] h[n 2] δ[n 1] h[n 1] h[n + 1] δ[n l] h[n l], l Z refereres også til som lineær kombinasjon eller superposisjon INSTITUTT FOR INFORMATIKK 23 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 24

7 Utlede konvolusjonssummen Vi ser hver x[l] som en skaleringsfaktor. Noen innganger og utganger er x[0]δ[n] x[0]h[n] x[2]δ[n 2] x[2]h[n 2] x[ 1]δ[n 1] x[ 1]h[n + 1] x[l]δ[n l] x[l]h[n l], l Z Gitt ovenstående og kravet om linearitet må inngangen gi utgangen l l x[l]δ[n l] x[l]h[n l] Utlede konvolusjonssummen Merk at derivasjonen av siste uttrykk ikke inneholder noen antagelser om hvorvidt h[n] eller er av endelig lengde. Generelt kan de da ha uendelig lengde og konvolusjonssummen for alle LTI-systemer er x[l]h[n l] l Alle LTI-systemer kan representeres på denne måten. l x[l]δ[n l] l x[l]h[n l] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 25 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 26 Konvolusjon er kommutativt Viser at Konvolusjon som operator Konvolusjon representeres som en operator med tegnet, slik at h[n] x[l]h[n l] l Sekvensen konvolveres med h[n]. En enkel sammenheng er for ssystemet, der x[n n 0 ]. Vi husker at h[n] δ[n n 0 ], slik at δ[n n 0 ] x[n n 0 ] h[n] h[n] h[n] x[l]h[n l] l Substituerer k n l, som gir x[n k]h[k] n k k+ k x[n k]h[k] h[k]x[n k] h[n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 27 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 28

8 Konvolusjon er assosiativt Viser at x 1 [n] x 2 [n] x 3 [n] x 1 [n] x 2 [n] x 3 [n] x 1 [n] x 2 [n] x 3 [n] x 1 [l] x 2 [k]x 3 [n l k] l l x 1 [l] q l q l k q x 2 [q l]x 3 [n q] x 1 [l]x 2 [q l]x 3 [n q] x 1 [l]x 2 [q l] x 3 [n q] x 1 [n] x 2 [n] x 3 [n] LTI-systemer i kaskade Signalet filtreres av et LTI-system som gir utgangen w[n]. Denne sekvensen sendes videre til et annet LTI-system, endelig utgang kalles. LTI 1 h 1[n] w[n] LTI 2 h 2[n] Utgangen fra det første filtret er w[n] h 1 [n] Etter neste filtrering er utgangen eller serie w[n] h 2 [n] h 1 [n] h 2 [n] INSTITUTT FOR INFORMATIKK 29 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 30 FIR-filtrering av børsdata, midling LTI-systemer i kaskade Fordi konvolusjon er både kommutativt og assosiativt ser vi at h 1 [n] h 2 [n] h 1 [n] h 2 [n] h 2 [n] h 1 [n] h 2 [n] h 1 [n] 1 x[n k], M {50, 150}, L M+1 L OBX indeksen fra 02/ til 01/ OBX indeksen 51 punkt glidende middel 151 punkts glidende middel De to filtrene kan altså bytte plass uten at utgangen endres, som vist på figuren. 600 LTI 2 h 2[n] v[n] LTI 1 h 1[n] Total impulsrespons for kaskaden av filtre er h[n] h 1 [n] h 2 [n] h 2 [n] h 1 [n] tid i boersdager fra 02/ Hvorfor bruker glidende middel tid på å "komme opp"? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 31 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 32