HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi"

Atle Gjertsen
4 år siden
Visninger:

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Eksamensdato: 14.5.

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Eksamensdato: Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT24T Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): (navn og telefonnr på eksamensdagen) Håkon Grønning tlf Ingrid Kvakland tlf Kontaktperson(adm.) (fylles ut ved behov kun ved kursemner) Hjelpemidler: Kalkulator Citizen SR27X, Casio fx-82es, Casio fx-82es plus Oppgavesettet består av: (antall oppgaver og antall sider inkl. forside) Vedlegg består av: (antall sider) 4 oppgaver over 1 sider inkl. forside 4 sider Merknad: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. NB! Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner arbeidet, og disponer tiden. Dersom noe virker uklart i oppgavesettet, skal du gjøre dine egne antagelser og forklare dette i besvarelsen. Lykke til!

2 Oppgave 1 (35 %) π a) Et signal x( t ) er gitt som x( t) = 6cos(2π 3 t 2 ). Skisser signalet x( t ) og merk av karakteristiske størrelser og verdier på figuren. Ta med så mange detaljer som mulig. Angi frekvensen f, amplituden A og fasen ϕ. (Merk: skisser betyr at selve kurven ikke trenger å være super-nøyaktig.) b) Hvor stor tidsforskyving representerer faseleddet i uttrykket for x( t )? c) Skriv opp et uttrykk for x( t ) ved hjelp av komplekse eksponentialer. d) Skisser frekvensspekteret til x( t ) som et linjespekter. Merk av frekvensen f, amplituden A og fasen ϕ på figuren. Du får bruk for figuren under i resten av oppgaven: e) Anta at x( t ) punktprøves som vist i figuren over. («punktprøving» = «sampling») Det er gitt at punktprøvingsfrekvensen f s = 12 khz. - Hva blir den diskrete vinkelfrekvensen ˆω? - Skriv opp et uttrykk for det diskrete signalet x[ n ]. f) Skisser x[ n ] i samme figur som x( t ) i punkt a). (Eller tegn ny figur her.) Forklar hvordan du kan finne den diskrete vinkelfrekvensen ˆω fra figuren. 2

3 g) - Hva sier Nyquists/Shanons punktprøvingsteorem? Anta nå at vi endrer punktprøvingsfrekvensen til f s = 5 khz. - Hvilken konsekvens får det når vi punktprøver x( t ) med den nye f = 5 khz? s h) Skisser spekteret til det punktprøvde signalet x[ n ] når vi punktprøver med f s = 5 khz. i) I spekteret skal du nå også tegne inn «rekonstruksjonsvinduet» som gjelder for den ideelle diskret-til-kontinuerlig (D-to-C) konverteren. Fortsatt gjelder f s = 5 khz. Hvilken frekvens har da det rekonstruerte signalet y( t )? 3

4 Oppgave 2 (15 %).8 ECG-signal.6 Absoluttverdi til DFT av ECG-signal amplitude.2 amplitude tid [s] frekvens [Hz] Figur 2.1 ECG-signal uten støy. Til venstre: en periode av ECG-signalet i tidsplanet. Til høyre: DFTanalyse av ECG-signalet. (Vi har egentlig foretatt en 512-punkt DFT, men bare de 6 første verdiene er vist i plottet.).8 ECG-signal med søy.6 Absoluttverdi til DFT av ECG-signal amplitude amplitude tid [s] frekvens [Hz] Figur 2.2 ECG-signal med støy. Til venstre: en periode av ECG-signalet med støy i tidsplanet. Til høyre: DFT-analyse av ECG-signalet med støy. (Vi har egentlig foretatt en 512-punkt DFT, men bare de 6 første verdiene er vist i plottet.) Figurene viser en periode av et punktprøvd ECG-signal. Signalet er punktprøvd med 512 punktprøver pr. sekund og det er nøyaktig 512 punktprøver i en periode av signalet. Vi ønsker å bruke et lineær fase FIR-filter for å forbedre signalet i Figur 2.2 slik at det blir mest mulig likt signalet i Figur

5 Figur 2.3 Del av filterdesignverktøyet «sptool» i Matlab. a) Gi forslag til valg av parametere for filteret: LP/HP/BP, passbåndfrekvens (Fpass), stoppbåndfrekvens (Fstop), passbåndrippel (Apass), stoppbåndsdemping (Astop). Se Figur 2.3. Begrunn valgene ut i fra informasjonen gitt i Figur 2.1 og Figur 2.2. b) Hvordan påvirkes filterorden hvis vi gjør filteret «brattere» ved å minske avstand mellom passbåndfrekvens (Fpass) og stoppbåndfrekvens (Fstop). c) Anta at vi er fornøyd med et filter der orden er 64. Hvor mange koeffisienter (eller «tapper») er det i filteret? Hvor stor blir forsinkelsen i filtret målt i antall punktprøver? d) Vil det være mulig å gjenskape signalet perfekt (med unntak av forsinkelse)? Begrunn svaret. 5

6 Oppgave 3 (25 %) Gitt signalet x(t) vist i figur s1(t) 1.5 Figur 3.1 Signalet er periodisk og kan uttrykkes i ei kompleks Fourierrekke på formen j2π fkt = ak. k= x( t) e t[sek] a) Hvilken verdi har f i Fourierrekka for x(t)? b) 1 for k = 4 Fourierkoeffisientene for x(t) er gitt av : ak = for odde k 2 2 π k ellers Skisser amplitudespekteret og fasespekteret til x(t). c) Uttrykk x(t) som ei reell Fourierrekke (trigonometrisk Fourierrekke) hvor du tar med ledd til og med 3.harmoniske. 6

7 d) Signalet x(t) filtreres med et filter som vist i figur 3.2. Filterets frekvensrespons er gitt av 1 H1( jω) =, ω = 2π ω 1+ j ω x(t) H 1 (jω) y(t) Figur 3.2 Finn et uttrykk for og skisser filterets amplituderespons og faserespons. e) Uttrykk y(t) som ei reell Fourierrekke (trigonometrisk Fourierrekke) hvor du tar med ledd til og med 3.harmoniske. f) Skisser utgangssignalet y(t). 7

8 Oppgave 4 (25 %) a) Signalet x(t) vist i figur 4.1 (det samme som vist i figur 3.1) punktprøves med punktprøvingsfrekvens f s =8Hz. Skisser to perioder av det punktprøvde signalet x[n] som funksjon av n s1(t) t[sek] Figur 4.1 8

9 b) Anta at x(t) filtreres med et ideelt lavpassfilter med grensefrekvens 4Hz og punktprøves med f s =8Hz. Det punktprøvde signalet analyseres med en fft-analyse i Matlab. De brukte kommandoene og resultatet av fft-analysen er vist nedenfor. X=fft(x(1:8)); k=:7; subplot(2,1,1); stem(k,abs(x)); xlabel('k'); ylabel('abs(x)') subplot(2,1,2) stem(k,angle(x)); xlabel('k'); ylabel('angle(x)') abs(x(1:8)) ans = angle(x(1:8)) ans = abs(x) k 4 2 angle(x) k Tegn opp amplitudespekteret og merk av de diskrete vinkelfrekvensene på førsteaksen. 9

10 c) Bruk resultatet fra fft-analysen til å skrive opp et funksjonsuttrykk for x[n]. d) x[n] filtreres med et diskret filter med differenseligning gitt av y[ n] = x[ n] + 2 x[ n 1] + x[ n 2] Finn et uttrykk for filterets frekvensrespons. e) Finn et uttrykk for og skisser filterets amplituderespons og faserespons. f) Finn et uttrykk for utgangssignalet y[n] når x[n] er som gitt tidligere i denne oppgaven. Hvis du ikke har funnet et uttrykk for x[n] tidligere i oppgaven kan du bruke inngangssignalet 3 x1[ n] 1 2cos( n π π = + ) + cos( n ) 2 4 1

11 Vedlegg 1 11

12 Vedlegg 2 Komplekse Fourierrekker: Analyse: T 1 j2π fkt ak = x( t) e d t T = k= j2π Syntese: x( t) ak e f kt Diskret tid Fouriertransformasjon (frekvensresponsen til FIR-filter): M M j ˆ ω j ˆ ωk j ˆ ωk = k = k= k= H(e ) b e h[ k]e Diskret Fouriertransformasjon: N 1 n= 2π k n -j N X[k] = x[n] e for k N 1 Invers diskret Fouriertransformasjon: k= 2π k n j N N 1 1 x[n] = X[k] e for n N 1 N 12

13 Vedlegg 3 13

14 Vedlegg 4 FOURIERTRANSFORMASJONEN FOR ANALOGE OG DISKRETE SYSTEMER: For analoge LTI-system gjelder: t= H( j ω) = h(t) e dt = H( j ω) e t= jωt j H( j ω ) hvor H(jω) er systemets frekvensrespons og h(t) er systemets impulsrespons. S( j ω) = R(j ω) H(j ω) r(t) h(t) s(t) s(t) = r(t) h(t) = r( τ )h(t τ )dτ τ = R(jω) H(jω) S(jω) For sinusformede signal gjelder: r(t) = sin( ω t) s(t) = H( j ω ) sin( ω t + H( j ω )) For diskrete LTI-system gjelder: ( j ˆ ω j H e ) H e = h(n) e = H e e (DiskretTidFourierTransform) n= ( j ˆ ω ˆ ˆ ) j ω n ( j ω ) n= hvor H( e j ˆ ω ) er systemets frekvensrespons og h(n) er systemets enhetspulsrespons. j ˆ ω j ˆ ω j ˆ ω S(e ) = R(e ) H(e ) s(n) = r(n) h(n) = r(k)h(n k) k= r(n) h(n) s(n) For sinusformede sekvenser gjelder: r(n) = sin( ˆ ω n) s(n) = H(e ) sin( ˆ ω n + H(e )) j ˆ ω j ˆ ω 14

Like dokumenter

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 7.mai 24 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: Faglærer(e):