303d Signalmodellering: Gated sinus a) Finn tidsfunksjonen y(t) b) Utfør en Laplace transformasjon og finn Y(s)

Transkript

1 303d Signalmodellering: Gated sinus Operasjonsforsterkere H Sallen and Key LP til Båndpass filter Z-transformasjon av en forsinket firkant puls Chebyshev filter Trekantet strømpuls og spole (H98-1) Digitalisering av Besselfilter d Signalmodellering: Gated sinus a) Finn tidsfunksjonen y(t) b) Utfør en Laplace transformasjon og finn Y(s) 610 Operasjonsforsterkere H (ingen hjelpemidler) a) For operasjonsforsterkere har vi to ulike grunnkoblinger, inverterende og ikke inverterende. Tegn skjema for en ikke inverterende kobling og forklar hvorfor denne ofte foretrekkes som instrumentforsterker. Hva mener vi med idealbetingelser, hvilke har vi, og hvorfor bruker vi dem? 1

2 Figur 1. Ikke ideell operasjonsforsterker i grunnkobling. b) La operasjonsforsterkeren i figuren over være ideell med unntak av forsterkningen som her er A(s) La 1=2 og vis at overføringsfunksjonen kan skrives A( s) H( s). 2 A( s) H 1 (s) H 2 (s) Figur 2. To uavhengige ideelle operasjonsforsterkerkretser med overføringsfunksjon H 1 (s)=vut1/vinn til venstre og H 2 (s)=vut2/vinn til høyre. c) I Error! eference source not found., anta idealbetingelser, la alle være like og vis at H 1 (s) = H 2 (s) når L 1 = 2 C Sallen and Key LP til Båndpass filter Oppgaven omhandler forståelse av Butterworth filter. transformasjon av prototype filter, og finning av overføringsfunksjon H(s) Muntlig eksamenstrening: Når oppgaven er løst skriftlig, gå da tilbake og forklar prinsippene og teorien med egne ord. 1) Fortell om Butterworth filtre 2) Prinsippene for å gjøre om et LP filter til et høypass og båndpass filter 3) fremgangsmåten for å finne overføringsfunksjonen 2

3 4) Denne kretsen tar utgangsignalet og sender det tilbake til det nettet som mater den positive inngangen. Forklar hvorfor det blir et filter og ikke en oscillator. Hva skal til for at kretsen skal bli en oscillator. Et filter har en amplitudeforsterkning gitt ved formelen M 0 M 2n 1 c a) Definer og forklar betydningen av alle størrelsene som inngår i formelen over. Illustrer formelen gjennom en figur. b) Ved å substituere s lp s 0 bp 0 i systemfunksjonen for et lavpass filter blir c BW 0 sbp det nye uttrykket en systemfunksjon for et tilsvarende båndbassfilter. i) Hva representerer parameterne ω 0 og BW? ii) Utfør substitusjonen for et 1.ordens filter. iii) I kretsen under, erstatt komponentene slik at vi får et båndpassfilter Figur 3. 1 ordens lavpass filter V i C C + - f V 0 Figuren viser et skjema for en Sallen & Key krets koblet som et båndpassfilter. Operasjonsforsterkeren kan betraktes som ideell. f =(K-1) c) Finn kretsens systemfunksjon, V 0 /V i. Bruk at 3 K f.

4 d) Bestem K slik at kretsen blir et båndpassfilter med BW 2 0 e) Hva blir BW når K=4? Skisser Bodediagram over amplitudekarakteristikken for dette tilfellet. Bruk komponentverdiene C = 1μF og = 2 kω. 904 Z-transformasjon av en forsinket firkant puls. Balk Figuren under viser en firkant puls med amplitude A, som er forsinket med tiden d = 2Δt Pulsens varighet τ = 3.5 Δt. Under pulsen vises et signal f(t) som består av en rekke med delta pulser. Modulasjonen mellom v(t) og f(t) gir et nytt signal v(kδt). Signalet v(t) i figuren under kan lages av to forsinkede enhetstrinnfunksjoner. Med amplitude A og definisjonene d 2t og 3. 5t kan vi skrive signalet som. v ( t) Au( t d) Au( t d ) volt A τ v(t) Δt f(t) t Figur 4. Skisse av v(t) og f(t) k a) Utfør en Laplacetransformasjon av v(t) og finn signalet V(s) b) Skisser signalet v(kδt) i samme volt / tid diagram som v(t) i figuren. c) hvor stor blir τ for den digitale pulsen. d) Utfør en z-transform av v(kδt) og finn V(z) e) Erstatt nå z med definisjonen av z i utrykket for V(z) og skriv utrykkene for V(z) og V(s) under hverandre. Diskuter forskjeller og likheter. 4

5 5

6 913 Chebyshev filter Dette er en modifisert utgave av eksamensoppgave H00-4e NB Første del av oppgaven a..d er lagret under filteroppgaver. Et 2-ordens Chevychev filter har overføringsfunksjon gitt ved: H( s) 2 s c s 3.31 c a) Utfør en z-transformasjon av H(s) og finn H(z). La 1/Δt = 10 ω c, og sørg for at dc-forsterkningen blir 1. bruk relasjon s (1 - z - 1 )/Δt b) Invers z-transformasjon Vi vet at ( z) H( z) hvor e står for E( z) eksitasjon eller inngangssignal og står for respons eller utgangssignal. Ved hjelp av H(z), finn først et utrykk for E(z). Utfør så en invers z-transformasjon på dette utrykket. c) Fra det invers z-transformerte uttrykket, finn en algoritme som beregner responsen eller med andre ord, det Chebychev lavpass filtrerte utgangssignalet når vi sender inn et vilkårlig signal. d) Finn maksimal inngangsfrekvens. La filteret ha en knekkfrekvens på ω c =1000 rad/sec og finn høyeste frekvens som inngangssignalet kan ha uten at vi får aliasing. 912 Trekantet strømpuls og spole (H98-1) i(t) A 0 T 2T t Laplacetransformasjon av strømpulsen i(t) vil gi følgende løsning. (Beregnet i tidligere oppgaver) 6

7 A Ts 2 I( s) (1 e ) 2 Ts Strømpulsen samples med en stabil samplefrekvens med periodetid Δt=T/2. Første sampling skjer ved tiden t=0. a) Finn den digitaliserte strømpulsen i(k) fra i(t) b) Utfør en z-transformasjon av strømpulsen i(k) og finn I(z) 1 1 c) Et diskret filter har følgende overføringsfunksjon H ( z) (1 z ) Finn responsen t (z) ut fra filteret når I(z) sendes inn i filteret. d) Finn og skisser responsen r(k). e) Hva slags filter er H(z) f) Utfør en diskret derivasjon av strømpulsen i(k) g) Send strømpulsen i(t) inn i en spole med induktans L. Finn spenningsfallet v(t) over spolen. sammenlikn v(t) med responsen r(k) og kommenter likheter og forskjeller. 914 Digitalisering av Besselfilter Modifisert eksamensoppgave fra H99 1 Finn H(s), H(z) og r [k] a) Skriv opp systemfunksjonen for et 2.ordens Bessel lavpassfilter. Lag figur i s-planet som presist viser polenes plassering. Hvilke egenskaper er karakteristiske for et Besselfilter? Figur 5 Skjema for et passivt lavpass-filter. b) Finn systemfunksjonen V 0 /V i for kretsen. Finn uttrykt ved L og C slik at kretsen blir et Bessel filter. c) Det er en likhet mellom den komplekse frekvensen, s, i beskrivelsen av analoge systemer og størrelsen, (1-z -1 )/Δt, for diskrete-tid systemer. Forklar sammenhengen. 7

8 d) Finn en rekursiv formel som beskriver et digitalt Bessel filter tilsvarende den analoge kretsen over. 8