Oppgaven må gis etter at vi har gjennomgått bodeplot for resonanskretser. Anta at opampen er ideell og kun fungerer som en ren forsterker Rf

Transkript

1 Oppgaver med løsningsforslag FYS30 H009 Uke 40 H.Balk 4.4 Bodeplot for krets med reelle og komplekse poler Oppgaven må gis etter at vi har gjennomgått bodeplot for resonanskretser Anta at opampen er ideell og kun fungerer som en ren forsterker Rf med H Rg Denne skiller også LRC kretsen fra det siste RC leddet slik at disse kan behandles som individuelle kretser. a) Finn overføringsfunksjonen H for leddet foran og H 3 for leddet etter opampen. b) Finn så overføringsfunksjonen for hele kretsen og vis at den kan uttrykkes som sg ( s p)( s p ) s

2 Hvor p kommer fra LRC leddet og τ kommer fra det siste RC leddet. G er en konstant. c) Finn resonans frekvens, dempingsfaktor ξ og Q verdi for LRC leddet. d) Finn tidskonstanten for RC leddet. e) Tegn amplitude og fasebodeplot. Løsningsforslag Operasjonsforsterkeren gjør det enkelt for oss. Vi kan regne de to filtrene som uavhengige. Vut Itot Ztot SL R / sc a) Finn overføringsfunksjonen H for leddet foran og H 3 for leddet etter opampen. Vut Itot Xc SL R / sc sc R SL / sc sc S LC RCs S LC RCs som også kan skrives slik

3 as bs c a LC 00mH nf 0 0 b RC 00Ohm nf 0 7 P, b b a 4ac Tester om polene til H er komplekse b 4ac H( s) ( s p)( s p*) Ser at de må være komplekse og at vi derfor kan skrive 3 Vut Finner H 3 Itot Ztot R / sc Vut Itot R R R / sc 3 R R / sc RCs RCs 3( ) H s s s sc sc Denne formen er egnet til bodeplot Tidskonstanten for C leddet τ= RC=0-7 Rad/sec

4 R 00 ( ) 3 k H s 00 R k HH H 3 Gs ( s p)( s p*)( s ) Kan nå sette det hele sammen S LC RCs S o s o Bruk standardlikningen for kvadratiske kretser for å finne ω, ξ og Q S S LC o Resonansfrekvens o LC mh nf MEG rad / sec 00k 59kHz s RCs o Demping og godhet RCo RC LC R C L 0 Q 0 dbq 0log(0) 0dB Siste ledd RC uf kohm 0 3 Rad / sec / krad / sec 59Hz

5 mHz.0Hz.0KHz.0MHz.0GHz db(v(ut)) Frequency Figur. Når H(s) i dette eksemplet er utvidet med komplekse poler med ω0=meg rad/sec og en reell pol på τ=/000 sec / rad får vi et Bodeplot med disse tre linjene som kan summeres til et endelig plot.

6 Finn H(S) og fasebodeplot gitt amplitudebodeplot Gitt følgende bodeplot M(ω)dB 0dB -0dB -0dB -5dB -40dB ω a) Hva kaller vi en krets med en slik AC-respons b) Skriv ned reglene for å lage amplitudebodeplot c) Finn en systemfunksjon H(s) som vil gi bodeplottet i figuren over. Hint: Dekomponer bodeplotet ved å tegne et bodeplot for hvert linjestykke relativt til 0 db linjen. Deretter identifiser leddene som H(s) må bestå av. a. Skriv ned reglene for å lage fasebodeplot d) Tegn Fasebodeplot for den H(s) som du har funnet e) Har du noen ide om hvordan du kunne realisert denne kretsen? Løsningsforslag a) Svar: Båndpassfilter b) reglene bodeplot Amplitude bodeplot Reelle konstantledd gir horisontale linjer, poler av typen τs+ knekker ned med 0dB/dek ved ω 0 =/τ

7 poler av typen as splittes i konstantledd a og linje som faller kontinuerlig med -0dB per dekade 0-punkt resulterer i det samme men speilet om x-aksen fase bodeplot Reelle konstantledd gir ingen bidrag, Imaginære konstantledd gir horisontale linjer poler av typen τs+ knekker ned med 45deg/dek i området ω =[0./τ 0/τ] poler av typen s gir konstant linje på -90 grader 0-punkt resulterer i det samme men speilet om x-aksen c) Finn en systemfunksjon H(s) Vi dekomponerer først linjene. M(ω)dB s/ω 0dB -0dB -40dB ω konst =-0dB ( s/ω +) ( s/ω +) k 0 log( x) 0 0 log( x) 0 Vi må ha et negativt konstantledd som kan senke båndet log( x) 0.5 x

8 s 00 ) : 0.0s Vi må ha et 0-punkt i teller som er slik at linja krysser 0 db ved 00 rad per sec. En ren s ville gitt en kontinuerlig stigende linje (0dB/dek) som krysser 0-dB linja ved ω=. Senker vi linja ned med 0dB krysser den ved ω=0. For å krysse ved 00 må den senkes med 40 db. Vi kan enten tegne to linjer, en konstant linje ved - 40dB=0log(0.0) og en stigende linje som krysser ved ω=, eller slå disse sammen til en stigene linje som krysser ved ω=00 s 00 ) : 0.0s Vi må ha en pol som knekker ned ved 00 rad/sec for å motvirke den stigende linjen. Dette vil gi konstant frekvensrespons etter 00rad/sec. s 000 ) : s 0.0s 0.00s 0.0s Når vi nå har stabilisert frekvensresponsen til å være konstant, så trenger vi nå en ekstra pol for å knekke ned med -0dB/dek ved 000Rad/sec. Endelig svar. H(S) som gir båndpassfilteret i figuren Tegn Fasebodeplot

9 0.0s s 0.00s Starter med H(s) K Reelle konstanter bidrar ikke til fasen s 0 j en enkelt s i teller (0-punkt for H) bidrar med +90 grader. a tan s j 0.0 a tan 0.0s j 0.0 a tan Ser at når ω=00 da har vi inne i parentesen. Fasen endrer i området Siden dette er en pol, faller fasen Siden vi har kun en pol faller fasen med *45 db per dekade. Ser at når ω=000 da har vi inne i parentesen. Fasen endrer i området Siden dette er en pol, faller fasen. Siden vi har kun en pol faller fasen med *45 db per dekade. θ(ω)deg s/ω ω s i teller gir 90deg ( s/ω +) ( s/ω +) d) Hvordan realisere? Forslag Bruker ett høypassfilter, og ett lavpassfilter adskilt med skilleforsterkere for å unngå at filtrene påvirker hverandre.

10 Forslag Wienbrofilter. Forslag 3 Koble ett Høypass og aett lavpass filter etter hverandre i serie uten skilleforsterker. Medfører mye regning da filtrene påvirker hverandre.