TTT4110 Informasjons- og signalteori Løsningsforslag eksamen 9. august 2004

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "TTT4110 Informasjons- og signalteori Løsningsforslag eksamen 9. august 2004"

Torfinn Gjerde
6 år siden
Visninger:

Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon TTT40 Informasjons- og signalteori Løsningsforslag eksamen 9.

1 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for elektronikk og telekommunikasjon TTT40 Informasjons- og signalteori Løsningsforslag eksamen 9. august 004 Oppgave (a) Et lineært tidinvariant filter gitt ved differensligning: y(n) 0.9y(n ) + 0.x(n) Figur : Direkte form -struktur for filteret (b) Finner først frekvensresponsen ved å Fourier-transformere differensligningen: Y (ω) 0.9e jω Y (ω) + 0.X(ω) Y (ω)( 0.9e jω ) 0.X(ω) H(ω) Y (ω) X(ω) e jω H(ω) H(ω) e jφ(ω) hvor H(ω) frekvensrespons, H(ω) amplituderespons, Φ(ω) faserespons. H(ω) H(ω)H 0. (ω) 0.9e jw e jw e jw 0.9e jw (e jw + e jw ) cos ω 0. H(ω).8.8 cos ω

2 Φ(ω) arctan Im(H(ω)) Re(H(ω)) ejω 0.( 0.9 cos ω j0.9 sin ω) H(ω) 0.9e jω 0.9ejω.8.8 cos ω 0.( 0.9 cos ω) Re(H(ω)).8.8 cos ω sin ω Im(H(ω)).8.8 cos ω 0.9 sin ω Φ(ω) arctan 0.9 cos ω (c) Amplituderesponsen er gitt ved: H(ω) cos ω Denne funksjonen har maksimal verdi for ω 0 H(0) Funksjonen er monotont avtagende for ω [0, π]. Dette betyr at filteret demper mer høyere frekvenskomponenter. Dette er er lavpassfilter. (d) Amplituderesponsen viser hvor mye ulike frekvenskomponenter i et signal lir forsterket eller dempet. Faseresponsen viser hvor mye ulike frekvenskomponenter i et signal blir forskjøvet i fase. Først foretar vi frekvensanalyse av inngangssignalet (finner amplituden og fasen til alle frekvenskomponenter, dvs. amplitude- og fasespektrum). Utgangssignalet vil bestå av de samme frekvenskomponentene, men deres amplitude og fase vil kunne forandres av filteret. La A x (ω 0 ) og ϕ x (ω 0 ) være amplitude og fase til en frekvenskomponent i inngangssignalet. Da vil amplituden og fasen til denne frekvenskomponenten i utgangssignalet finnes ved: A y (ω 0 ) A x (ω 0 ) H(ω 0 ) og ϕ y (ω 0 ) ϕ x (ω 0 ) + Φ(ω 0 ) x(n) cos( π n) + 9 cos(πn + π 4 ) Inngangssignalet består av to kosinuskomponenter, den første med frekvens ω π, amplitude A x ( π ) og fase ϕ x( π ) 0 og den andre frekvensen med frekvens ω π, amplitude A x (π) 9 og fase ϕ(π) π 4.

3 Utgangssignalet vil derfor også bestå av to kosinussignaler med frekvenser ω π og ω π, men deres amplituder og faser vil bli endret av filteret til: A y ( π ) A x( π ) H(π +. ) ϕ y ( π ) ϕ x( π ) + Φ(π 0.9 ) 0 + arctan 4 o 0.733(rad) 0. A y (π) A x (π) H(π) ϕ y (π) ϕ x (π) + Φ(π) π 4 + arctan 0 π 4 Utgangssignalet er derfor gitt ved: y(n) 0.49 cos( π n 0.733) + cos(πn + π 4 ) Alternativt (men noe mer tungvint), kan oppgaven løses ved å dekomponere x(n) i komplekse eksonentielle basisfunskjoner x(n) e j π n + e j π n + 9 ej(πn+ π 4 ) + 9 e j(πn+ π 4 ) H( π ) H(π ) Φ( π ) Φ(π ) H( π) H(π) Φ(π) Φ( π) 0 [ y(n) e j( π n 0.733) + e j( π n 0.733)] + 9 [e j(πn+ π 4 ) + e j(πn+ π )] cos( π n 0.733) + cos(πn + π cos( π n 0.733) + cos(πn + π 4 ) Oppgave (a) ˆx N (t) α k φ k (t) hvor t [, T ] φ k (t) - reelle φ k (t) innbyrdes ortogonale, dvs. < φ k (t), φ i (t) > T φ k (t)φ i (t)dt 0 for k i. D [x(t) ˆx N (t)] dt [x(t) α k φ k (t)] dt 3

4 α i, i 0,..., N som minimerer D finnes fra D α i 0, for i 0,..., N () D T [x(t) α i α n φ k (t)]()φ i (t)dt 0 x(t)φ i (t)dt α i x(t)φ i (t)dt α i T T x(t)φ i (t)dt φ i (t)dt α k φ k (t)φ i (t)dt T } {{} 0 for k i pga ortogonalitet φ i (t)φ i (t)dt (b) Dette forenkler beregningen av koeffisientene i rekkeutviklingen (hver ligning i lignigsettet () er bare avhengig av en α k ). Koeffisientene som tilsvarer en basisfunksjon er uavhengig av andre basisfunskjoner brukt i approksimasjonen. Dvs. at flere ledd kan legges til approksimasjonen uten at koeffisientene må beregnes på nytt. Vi benytter følgende basisfunksjoner: ϕ k (t) e j π T 0 kt, k Z, T0 T (c) Basisfunksjonene er gitt ved φ k (t) cos(kπt). Sjekker ortogonalitet: < φ k (t), φ i (t) > [ [ cos(kπt) cos(iπt)dt ] cos[(k + i)πt]dt + cos[(k i)πt]dt (k + i)π sin[(k + i)πt] + ] (k i)π sin[(k i)πt] for k i og k, i N 0 basisfunsjonene er ortogonale (fordi indreproduktet er 0 når k i). Signalet Finner koeffesientene. Antar k 0: { t ( x(t), ) ellers α 0 {}}{ x(t) cos(0) dt 0 cos (0)dt 0 }{{} 4

5 (Middelverdi 0 gir DC komponent 0) Antar k 0: α k I {}}{ x(t) cos(kπt)dt cos (kπt)dt } {{ } II I: / / + / [ sin(kπt) ] / () cos(πkt)dt (sin(k π ) kπ kπ ) sin(kπ) cos(πkt)dt (sin(k π kπ ) + sin(k π ) ) + () cos(πkt)dt (sin(kπ) sin(k π ) / kπ ) ( sin(k π kπ ) sin(kπ) + sin(k π ) + sin(k π ) + sin(kπ) sin(k π ) ) ( sin(k π ) kπ ) sin(k π kπ ) sinc( k ) II: cos (πkt)dt dt + cos(πkt)dt }{{}}{{} 0 Dette gir koeffisientene: α k { 0 k 0 sinc( k ) k > 0 Oppgave 3 (a) Approksimasjonsformelen for beregning av kvantiseringsstøyeffekt for en uniform kvantiserer σq gir eksakt resultat i dette tilfellet fordi sannsynlighetstetthetsfunksjonen er konstant på hvert kvantiseringsintervall. Lengden til kvantiseringsintervallene er σ q 4 3 5

6 Alternativt kan man finne σ q ved: σ q (x Q[x]) f x (x)dx xn+ n (x x n ) x n }{{} x n xn+ x n f x (x)dx ( ) 3 ( ) (x y n ) f x (x)dx n (x ) f x (x)dx Man kan designe en 4 nivå kvantiserer som gir lavere kvantiseringsstøyeffekt med en ikke-uniform kvantiserer. Ved ha kortere kvantiseringsintervaler der sannsynlighetstetthetsfunksjonen er høy vil kvantiseringstøyeffekten reduseres. (b) Ja, fordi ingen kodeord er prefiks i et annet kodeord. Gjennomsnittslengden er gitt ved: L p n l n n hvor p n er sannsynligheten for n-te kodeord, og l n er lengden (i bit) til n-te kodeord. L p l + p l + p 3 l 3 + p 4 l Den teoretiske nedre grense for gjennomsnittelig kodeordslengden er gitt ved entropien, H 4 n p n log ( p n ): H 8 log 8 + log + 4 log log Siden L H er det ikke mulig å finne en annen kode som gir lavere gjennomsnittelig antall bit per symbol. 6

Oppgave 4 (a) Delbåndskoder: Figur : Blokkskjema av en delbåndskoder i) En filterbank med N delbåndsfiltre brukes til å splitte signalet i N like store delbånd.

Etter nedsampling vil det totale antall punktprøver i sekvensen bli lik som for x(n). iii) Delbåndssignalene kvantiseres med hver sin kvantiserer som optimaliseres til det aktuelle delbåndssignalet.

7 Oppgave 4 (a) Delbåndskoder: Figur : Blokkskjema av en delbåndskoder i) En filterbank med N delbåndsfiltre brukes til å splitte signalet i N like store delbånd. ii) Siden delbåndssignalene har N ganger mindre båndbredde enn det opprinnelige signalet kan de nedsamples N ganger (samplingsteorem vil forbli oppfylt). Etter nedsampling vil det totale antall punktprøver i sekvensen bli lik som for x(n). iii) Delbåndssignalene kvantiseres med hver sin kvantiserer som optimaliseres til det aktuelle delbåndssignalet. Kodingsgevinst kan oppnås ved å bruke færre bit i delbånd med lavere signaleffekt. (b) Hvit støy har ukorrelerte punktprøver. Autokorrelasjonsfunksjonen R ee (k) er derfor lik 0 for k 0, og R ee (0) σ e. Effektspekteret er flatt, S ee (f) s 0 σ e. Figur 3: Autokorrelasjonsfunksjonen og effektspektraltettheten for hvit støy med varians. Man kan ikke opnå noen kodingsgevinst i dette tilfellet (dvs. G) fordi S ee (f) er flatt, og delbåndseffektene er dermed like store (ingen korrelasjon i signalet). 7

Like dokumenter

Hjelpemidler: D Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt.

Hjelpemidler: D Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Side av 5 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON Faglig kontakt under eksamen: Navn: John Torjus Flåm Tlf.: 957602 EKSAMEN I EMNE TTT40 INFORMASJONS-