Uke 9: Diskret Fourier Transform, I

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Uke 9: Diskret Fourier Transform, I"

Kathrine Abrahamsen
6 år siden
Visninger:

1 Uke 9: Diskret Fourier Transform, I Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011

2 2/23 Dagens temaer Sampling og periodisitet DFT DFT og DTFT

3 3/23 Tema Sampling og periodisitet

4 4/23 Sampling og periodisitet Sampling i tid periodisitet i frekvens Sampling i frekvens periodisitet i tid 4 muligheter: Tid Frekvens Metode kontinuerlig, aperiodisk kontinuelig, aperiodisk FT kontinuerlig, periodisk diskret, aperiodisk Fourier rekker diskret, aperiodisk kontinuelig, periodisk DTFT diskret, periodisk diskret, periodisk DFS/DFT

5 5/23

6 6/23 Tema DFT Definisjoner Egenskaper Noen DFT-par

7 7/23 DFT Definisjon X DFT [k] x[n]e ȷ2π k N n, k 0, 1, 2,..., N 1 x[n] 1 N Notasjon X DFT [k]e ȷ2π k N n, n 0, 1, 2,..., N 1 Notasjon: x[n] DFT N X DFT [k] ( X[k]) Merk: Diskret tid/frekvens diskrete summer. Periodisk tid/frekvens evaluerer en periode. Dette kan en datamaskin håndtere!

8 8/23

9 9/23 Egenskaper til DFT-transformasjonen Linearitet: F DFT {a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n]} a 1 X 1 [k] + a 2 X 2 [k] Energibevaring (Parsevals relasjon): x[n] 2 1 N X DFT [k] 2

10 DFT Egenskaper Egenskaper til DFT-transformasjonen Linearitet: FDFT{a1x1[n] + a2x2[n]} a1x1[k] + a2x2[k] Energibevaring (Parsevals relasjon): x[n] 2 1 N XDFT[k] 2 Linearitet: En viktig egenskap som sikrer at all informasjon om signalet bevares. Lineære transformer kan inverteres. Er lineært system er homogent, dvs. da vil y[n] x[n] og Y[k] X[k], og additivt, dvs. x 1 [n] + x 2 [n] y 1 [n] + y 2 [n] og X 1 [k] + X 2 [k] Y 1 [k] + Y 2 [k]. Bevis homogent: Z{a x[n]} Bevis additivt: Z{x 1 [n] + x 2 [n]} a x[n]e ȷ2π k N n a ( ) x 1 [n] + x 2 [n] e ȷ2π k N n x 1 [n]e ȷ2π k N n +.. x[n]e ȷ2π k N n a X[k] x 2 [n]e ȷ2π k N n X 1 [k] + X 2 [k]

11 10/23 Skifting i tid Å skifte noe i tid tilsvarer å legge på et faseskift i frekvens. F DFT {x[n n 0 ]} m0 e ȷ2π k N n 0 x[n n 0 ] e ȷ2π k N n m n n 0 x[m] e ȷ2π k N (m+n 0) m0 e ȷ2π k N n 0 X[k] x[m] e ȷ2π k N m

12 11/23 Modulering Å legge på et faseskift i tid tilsvarer å skifte i frekvens. F DFT {x[n] e ȷ2π k 0 N n } X[k k 0 ] x[n] e ȷ2π k 0 N n e ȷ2π k N n x[n] e ȷ2π k k 0 N n Å skifte noe i ett domene gir et faseskift i det andre.

13 12/23 Reversering Hvis et signal er odde- eller likesymmetrisk er det enkelt å finne transformen til det reverserte signalet. Hvis likesymmetri, x[n] x[ n]: F DFT {x[ n]} m0 Hvis odde x[n] x[ n]: x[ n] e ȷ2π k N n k ȷ2π x[m] e N m X[ k] F DFT { x[ n]} X[ k] Reversering i tid gir negative frekvenser. m n

14 Konjugert symmetri 13/23 F DFT {x [n]} n ( n ( n X [ k] x [n] e ȷ2π k N n x[n] ( e ȷ2π k n) ) N ) k ȷ2π x[n] e N n Hvis x[n] er reell, så er x[n] x [n] og også X[k] X [ k]. Kombinerer vi disse symmetri-egenskapene med det at DFT en er periodisk om N ser vi at vi kun trenger regne på frekvenser opp til halve samplingsfrekvensen.

15 Sirkulær/periodisk konvolusjon ( ) F DFT {x[n] h[n]} x[n] h[n] e ȷ2π k N n ( h[k] ) x[n k] h[k] e ȷ2π k N n x[n k] h[k] e ȷ2π k N n h[k] m0 X 2 [k] X 1 [k] h[k] e ȷ2π k N k x[n k] e ȷ2π k N n x[m] e ȷ2π k N (m+k) m0 x[m] e ȷ2π k N m m n k 14/23

16 15/23 Finne x[0] eller X DFT [0] x[0] 1 N X DFT [0] X DFT [k]e ȷ2π k N n 1 N x[n]e ȷ2π k N n x[n] X DFT [k] DC verdien

17 16/23 DFT par

18 17/23 Tema DFT og DTFT DFT av periodiske signaler; DFS DFT av ikke-periodiske signaler

19 18/23 Sammenheng DFT og DTFT, frekvens og tid X DFT [k] x[n]e ȷ2π k N n X DTFT [k] n x[n]e ȷ2πFn x[n] 1 X DFT [k]e ȷ2π k N n N x[n] 1 X DTFT [k]e ȷ2πFn N T Substituerer vi F k N og lar N burde altså DFT være en god approximasjon til DTFT. X DFT [k] X(Ω) Ω 2πk, N x 0, 1,..., N 1 X(z) ze ȷ2πk/N, x 0, 1,..., N 1

20 19/23 Sammenheng DFT og DTFT, frekvens og tid Når er DFT og DTFT like? y[n] 1 N 1 N l [ m X(k) e j2π k N n hvor X(k) X(F) ( x[l] 1 N l x[l mn] x[l] e j2π k N l ) e j2π k N (n l) ] R N (n), e j2π k N n F k N der R N (n) plukker ut indekser n 0, 1,..., N 1. l x[l] e j2π k N l { N når l n + mn, m Z 0 ellers

21 20/23 Sammenheng DFT og DTFT, frekvens og tid Konklusjoner? DTFT en vil være eksakt lik DFT en hvis vi setter F k N og x[n] en endlig diskret sekvens med lengde N, eller x[n] diskret periodisk sekvens med periodisitet N. Da er DFT(1/N X DFT ) eksakt match. Gjelder ikke dette vil DFT kun være en approximasjon til DTFT.

22 21/23 DFT av periodiske signaler X DFS [k] 1 N x[n]e ȷ2π k N n, k 0, 1,..., N 1 diskret Fourier serie x[n] X DFS [k]e ȷ2π k N n, n 0, 1,..., N 1 invers diskret Fourier serie Identisk med DFT med unntak av skaleringsfaktor! Likheter, DFT (X DFT [k]) av samplet periodisk signal x(t) og dets DFS (X[k]): Hvis x(t) er båndbegrenset og samplet et heltallig antall perioder, er X DFT [k] NX[k]. Hvis x(t) ikke er båndbegrenset, så er det aliasing. Hvis x(t) ikke er samplet et heltallig antall periodier, så er det lekkasje.

23 22/23

24 23/23 DFT av ikke-periodiske signaler Må anta at signalet er endelig periodisk. For å sample det må vi bestemme antall sampler N, og samplingsrate S. Siden antatt endelig, vil fmax ; aliasing. Velg S 2B der B er større enn største signifikante frekvens. Oppløsningen spektralt gitt fra S/N. Øke oppløsning ved å null-utvide. Gir ikke mer informasjon! Mer info fås fra større N (sample for en lengere tid).

Like dokumenter

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet

Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og