STE6146 Signalbehandling =-WUDQVIRUPHQ

Transkript

1 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,QWURGXNVMRQ Fourier-transformen er et meget nyttig verktøy for diskrete signaler og systemer Fourier-transformen konvergerer ikke for alle følger Trenger mere generelt verktøy. For kontinuerlige systemer har vi Laplace-transformen Z-transformen tilsvarer Laplace-transformen for diskret tid Kapittel 3: Z-transformen 1

2 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,, Fourier-transformen definert som. ;ŸH MF l! [ Q H "MFQ Q". Z-transformen defineres som. ;Ÿ] l! [ Q ] "Q, ] kompleks variabel Q". Generelt (operatornotasjon). = [ Q! [ Q ] "Q ;Ÿ] = Q". [ Q ;Ÿ] Dette er den to-sidige (bilaterale) Z-transformen. En-sidig (unilateral) Z-transform definert med. = [ Q! [ Q ] "Q ;Ÿ] Q0 En-sidig og to-sidig transform ekvivalente hvis [ Q 0, Q 0. Kapittel 3: Z-transformen 2

3 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,,, Dersom den komplekse variabelene ] erstattes med H MF, reduseres Z-transformen til Fourier-transformen Forstår nå hensiktem med å la H MF være argumentet i Fourier-transformen, skiftet ] H MF medfører overgang fra Z-transform til Fourier-transform Merk at når ] H MF haren ] 1 Mere generelt har en ] UH MF, slik at.. ;ŸUH MF l! [ Q ŸUH MF "Q! Ÿ[ Q U "Q H "MFQ Q". Q". Fourier-transformen av [ Q og en eksponentiell følge U "Q. U 1 gir Fourier-transform. Z-transformen evaluert på enhetssirkelen i det komplekse plan gir Fourier-transformen. F angir vinkelen mellom den reelle aksen og en vektor fra origo til punktet ] på enhetssirkelen. Kapittel 3: Z-transformen 3

4 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,,,, Evaluering av Z-transformen på enhetssirkelen medfører at vinkelargumentet går fra 0 til 2= Periodisitet av Fourier-transformen er åpenbar, siden argumentet gjentas Må se på konvergens av Z-transformen. For hvilke verdier av ] konvergerer den uendelige følgen? Ønsker å angi NRQYHUJHQVRPUnGHW (ROC - region of convergence). er på! Ÿ[ Q U "Q H "MFQ Q". Vet at dersom følgen er absolutt summerbar, vil Fourier-transformen av [ Q U "Q konvergere til en kontinuerlig funksjon av F Må altså kreve.! Q". Ÿ[ Q U "Q. Kapittel 3: Z-transformen 4

5 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,,9 Merk at Z-transformen av [ Q kan konvergere selv om Fourier-transformen ikke konvergerer, fordi vi multipliser følgen med U "Q Konvergens av Z-transformen avhenger bare av ],siden;ÿ]., dersom.! Q". [ Q ] "Q. Dersom en verdi f.eks. ] 1 er i ROC, vil også alle ] slik at ] 1 ] være i ROC ROCeraltsåenringiz-planet Den ytre grensen vil være en sirkel, eller uendeligheten Den indre grensen vil være en sirkel, eller origo Dersom ROC inneholder enhetssirkelen, konvergerer Fourier-transformen. Kapittel 3: Z-transformen 5

6 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ RJ /DXUHQW-UHNNHU. Rekken gitt av ;Ÿ] l! [ Q ] "Q er en Laurent-rekke. Q". Finnes mange nyttige teoremer fra kompleks analyse for slike rekker En slik rekke representerer en analytisk funksjon i ethvert punkt i ROC Z-transformen og alle dens deriverte er kontinuerlige funksjoner av ] i ROC Dersom ROC inkluderer enhetssirkelen, vil Fourier-transform og alle dens deriverte være kontinuerlige funksjoner av F Følgen er videre absolutt summerbar, dvs. en stabil følge Kapittel 3: Z-transformen 6

7 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ:,NNH VXPPHUEDUH I OJHU er på [ [ 1 Q sinf FQ =Q, ". Q. [ [ 2 Q cos F 0 Q, ". Q. Ingen av disse følgene er absolutt summerbare. Det finnes heller ingen verdi av U slik at [ Q U "Q er absolutt summerbare. Følgene har ikke z-transform som konvergerer absolutt for noen ]. [ 1 Q har endelig energi, og Fourier-transformen konvergerer på en midlere måte til en diskontinuerlig periodisk funksjon [ 2 Q er hverken absolutt eller kvadratisk summerbar, men en Fourier-transform kan defineres vha. impulser. I begge tilfeller er Fourier-transformen ikke kontinuerlige, undelige mange ganger deriverbare funksjoner, og de kan derfor ikke være et resultat av Z-transformen evaluert på enhetsirkelen. I disse tilfellene er det ikke riktig å tenke på Fourier-transformen som et spesialtilfelle av Z-transformen, selv om notasjonen ;ŸH MF benyttes. Kapittel 3: Z-transformen 7

8 TE6146 ignalbehandling 1\WWHYHUGL DY =-WUDQVIRUPHQ Z-transformen har størst nytteverdi når den uendelige summen kan uttrykkes på lukket form De mest anvendelige og brukte Z-transformene er rasjonale funksjoner, dvs. ;Ÿ] 3Ÿ], 3Ÿ] og 4Ÿ] polynomer i ] 4Ÿ] Nullpunkter er gitt av ;Ÿ] 0 Poler defineres av ] slik at ;Ÿ] v. Poler med endelige verdier er gitt som røtter av 4Ÿ] 0.I tillegg kan det være poler i ] 0 eller i uendeligheten, dvs. for ]. For rasjonale funksjoner finnes det en rekke sammenhenger mellom plasseringen av polene og ROC I det komplekse plan betegnes poler med og nullpunkter med ( Kapittel 3: Z-transformen 8

9 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ: (NVHPOHU, Høyresidig eksponentiell følge: Eks. 3.1: [ Q D Q X Q ]"D ], ] D Eks. 3.2: [ Q "D Q X "Q " 1 ]"D ], ] D Begge følger har samme algebraiske funksjonsuttrykk, men forskjellig ROC ROC må spesifiseres for å få entydighet mellom følge og Z-transform um av eksponentielle følger: Eks. 3.3: [ Q Ÿ 1 Q X Q Ÿ" 1 Q X Q 2]Ÿ]" 1 12, ] Ÿ]" 1 2 Ÿ] Antyder at ;Ÿ] er rasjonal når [ Q er en lineær kombinasjon av reelle eller kompleks eksponentialfunksjoner Når [ Q er en sum av to følger, vil Z-transformen være summen av de to individuelle transformene (linearitet). Når [ Q er en sum av to følger, vil ROC være snittet av de to individuelle ROC, dvs. verdiene av ] slik at begge de to individuelle Kapittel 3: Z-transformen 9

10 TE6146 ignalbehandling transformene konvergerer, se Eks. 3.4 Kapittel 3: Z-transformen 10

11 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ: (NVHPOHU,, To-sidig eksponentiell følge Eks. 3.5: [ Q Ÿ" 1 Q X Q " Ÿ 1 Q X "Q " 1 2]Ÿ]" 1 12, ] 1, ] Ÿ]" 1 2 Ÿ] [ ROCerenring [ Enhetssirkelen ikke inkludert, så Fourier-transformen eksisterer ikke Har uttrykt Z-transformen som funksjon av ] eller også ] "1 Følger som er null for Q 0 gir Z-transform som bare inneholder negative potenser av ]. Naturlig å benytte ] "1 i uttrykket Følger som ikke er null for Q 0 kan uttrykkes med ledd av formen Ÿ1 " D] "1. Leddet introduserer både pol og nullpunkt (se senere) Kapittel 3: Z-transformen 11

12 TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ: (NVHPOHU,,, Følger av endelig lengde: Q1 2 [ Generelt ;Ÿ]! [ Q ] "Q Q1 1 [ Konvergerer så lenge hvert enkelt ledd er begrenset [ Ikke alltid mulig å uttrykke summen på lukket form Eks. [ Q - Q - Q " 5 1 ] "5, ] 0 e Eks. 3.6 for Z-transform av følge med endelig lengde uttrykt på lukket form e Tabell 3.1 for noen vanlige Z-transformer Kapittel 3: Z-transformen 12

13 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU WLO 52& IRU =-WUDQVIRUPHQ,, Antar at det algebraiske uttryket for z-transformen er en rasjonal funksjon, og at [ Q har begrenset amplitude, muligens med unntak av Q. eller Q "..ROC har følgende egenskaper:. ROC er en ring eller skive i ]-planet sentrert om origo, dvs. 0 t U 5 ] U / t.. Fourier-transformen av [ Q konvergerer absolutt hvis og bare hvis ROC av Z-transformen inkluderer enhetsirkelen. ROC kan ikke inneholde poler. Dersom [ Q er av endelig lengde, så er ROC lik hele z-planet, muligens med unntak av ] 0 eller ].. Kapittel 3: Z-transformen 13

14 TE6146 ignalbehandling. Dersom [ Q er en høyre-sidig følge (lik null for Q 1 1.), strekker ROC seg utover fra den ytterste polen (størst absoluttverdi) og til (muligens også inkludert) ].. Dersom [ Q er en venstre-sidig følge (lik null for Q 1 2 ".), strekker ROC seg innover fra den innerste polen (minst absoluttverdi) og til (muligens også inkludert) ] 0. Dersom [ Q er en to-sidig følge (dvs. følge av uendelig lengde som hverken er høyre- eller venstre-sidig), består ROC av en ring begrenset internt og ekstern av en pol, og inneholder ingen poler. ROC er et sammenhengende område Kapittel 3: Z-transformen 14

15 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU WLO 52& IRU =-WUDQVIRUPHQ,,, Det algebraiske uttrykket eller konfigurasjonen av poler og nullpunkter spesifiserer ikke Z-transformen fullstendig. ROC må også spesifiseres Egenskapene over kan benyttes til lettere å spesifisere ROC Egenskapene begrenser ROC er som kan assosieres med en gitt pol-nullpunkt konfigurasjon e Fig a- e, som angir konvergensområder ROC kan også angis implisitt gjennom egnskaper som stabilitet og kausalitet, se Eks Kapittel 3: Z-transformen 15

16 TE6146 ignalbehandling 'HQ LQYHUVH =-WUDQVIRUPHQ Z-transformen benyttes ved analyse av diskrete lineære systemer Manipulerer algebraiske uttrykk Må ofte finne følgen som svarer til den z-transformerte Kjennskap til den inverse Z-transformen er altså nødvendig Finnes formell metode basert på Cauchy-integralet Finne en rekke praktiske metoder for å invers z-transformere: [ Inspeksjonsmetoden [ Delbrøkoppspaltning [ Rekkeutvikling Kapittel 3: Z-transformen 16

17 TE6146 ignalbehandling,qvhnvmrqvphwrghq Går ut på å kjenne igjen transformasjonspar Eks.: D Q X Q 1, ] D 1"D] "1 er umiddelbart at 1 Ÿ, ] 1 Ÿ 1 Q X Q 1" 1 2 ]"1 2 2 Tilsvarende ser en fra Tabell 3.1 at 1 Ÿ, ] 1 "Ÿ 1 Q X "Q " 1 1" 1 2 ]"1 2 2 Tabeller som 3.1 benyttes på en omfattende måte ved bruk av denne metoden Viktig å få et uttrykk over på en form som er kjent Kapittel 3: Z-transformen 17

18 TE6146 ignalbehandling 'HOEU NRVDOWQLQJ,, Ved bruk av tabell er det viktig å få et utrykk for z-transformen over på en form som er kjent. Rasjonale funksjoner kan omformes til summeravenklereutrykk Anta ;Ÿ] 0! E N ] "N N0 1! D N ] "N N0 eller på ekvivalent form ;Ÿ] 0 ] 1! E N ] 0"N N0 1 ] 0! D N ] 1"N N0 0 nullpunkter og 1 poler ulik null. 0 " 1 poler i ] 0dersom0 1 eller 1 " 0 nullpunkter i ] 0dersom1 0 Alltid samme antall endelige nullpunkter og poler. Ingen poler eller nullpunkter i ]. Kapittel 3: Z-transformen 18

19 TE6146 ignalbehandling 'HOEU NRVDOWQLQJ,,, Kan skrive ;Ÿ] 0 E 0 Ÿ1"F N ] "1 N1 1 D 0 Ÿ1"G N ] "1 N1, F N nullpunkter ulik null, G N poler ulik null Dersom 0 1 og alle poler er av første orden, kan en skrive 1 $ ;Ÿ]! N, hvor $ 1"G N1 N ] "1 N Ÿ1 " G N ] "1 ;Ÿ] ]GN e Eks. 3.8 for anvendelse Dersom 0 u 1 må et polynom av orden 0 " 1 adderes, slik at 0"1 ;Ÿ]! U0 1 % U ] "U! N1 $ N 1"G N ] "1 (3.43) % U finnes ved divisjon ( long division ) av teller med nevner, inntil resten har mindre grad enn nevneren. $ N finnes som før Kapittel 3: Z-transformen 19

20 TE6146 ignalbehandling 'HOEU NRVDOWQLQJ,,,, Dersom ;Ÿ] har poler av høyere orden og 0 u 1 må fremgangsmåten over endres Anta at ;Ÿ] har pol av orden V i ] G L, og at alle andre poler er av første orden. Kan skrive 0"1 ;Ÿ]! U0 1 % U ] "U! N1,NpL V $ N 1"G N! ] "1 P1 & P Ÿ1"G L ] "1 P (3.44) 1 & P GV"P Ÿ1 " G ŸV"P!Ÿ"G V"P L GZ V"P L Z V ;ŸZ "1 ZGL "1 Tilsvarende for flere multiple poler Dersom 0 1 forsvinner polynomdelen (første sum) amme resultat oppnås ved å gå ut fra ;Ÿ] uttrykt i ] istedenfor ] "1,dvs. med faktorer Ÿ] " D istedenfor Ÿ1 " D] "1 Velger her å operere med ] "1 Kapittel 3: Z-transformen 20

21 TE6146 ignalbehandling 'HOEU NRVDOWQLQJ,,9 Fra (3.43) eller (3.44) kan en gå videre på følgende måte: [ De inverse transformene av de ulike delen i summen kan adderes sammen (Z-transformen er lineær) [ Leddene % U ] "U tilsvarer skiftede og skalerte impulsresponser, dvs. % U - Q " U [ $ N 1"G N ] "1 kan tilsvare ŸG N Q X Q eller "ŸG N Q X "Q " 1 [ Må se på ROC [ Dersom ;Ÿ] bare har enkle poler og ROC er av formen U 5 ] U /, vil en gitt pol G N tilsvare en høyre-sidig eksponentiell følge ŸG N Q X Q dersom G N U 5 og en venstre-sidig eksponentiell følge dersom G N U / [ ROC benyttes for å bestemme invers Z-transform [ Tilsvarende for multiple poler e forøvrig Eks. 3.9 Kapittel 3: Z-transformen 21

22 TE6146 ignalbehandling 5HNNHXWYLNOLQJ Utrykket for Z-transformen er en Laurent-rekke. Koeffisienten foran ] "Q er [ Q Har altså. ;Ÿ]! [ Q ] "Q T[ "2 ] 2 [ "1 ] [ 0 [ 1 ] "1 T Q". Kan finne følgen ved å se på koeffisientene i en rekkeutvikling Har allerede blitt benyttet for å finne den inverse transformen til polynomdelen ved delbrøkoppspaltning, dvs. når 0 u 1 Nyttig fremgangsmåte når rekken er endelig. Ikke sikkert at det er enklere form av ;Ÿ] enn som polynom i ] "1 e Eks for anvendelse Dersom vi ønsker å benytte rekkeutvikling for finne et utrykk for en følge fra en z-transformert funksjon som er på lukket form, må vi først rekkeutvikle den z-transformerte. e Eks Kapittel 3: Z-transformen 22

23 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU WLO =-WUDQVIRUPHQ,, Z-transformen er lineær: = D[ 1 Q E[ 2 Q D; 1 Ÿ] E; 2 Ÿ], ROCer5 [1 9 5 [2 Tidsskift: = [ Q " Q 0 ] "Q 0 ;Ÿ], ROCer5[ (mulig endring av ] 0 eller ]. Multiplikasjon med eksponentiell følge: ] Q = 0 [ Q ;Ÿ]/] 0,ROCer ] R 5 [ Derivasjon av ;Ÿ] = Q[ Q "] G;Ÿ],ROCer5 G] [ Konjungering av en kompleks følge [ ' = Q ; ' Ÿ] ',ROCer5 [ Kapittel 3: Z-transformen 23

24 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU WLO =-WUDQVIRUPHQ,,, Reversering av tid [ ' = "Q ; ' Ÿ1/] ',ROCer1/5 [ Konvolusjon av følger = [ 1 Q ' [ 2 Q ; 1 Ÿ] ; 2 Ÿ], ROCer5 [1 9 5 [2 Initialverditeoremet Dersom [ Q 0 for Q 0([ Q kausal), så er [ 0 lim ;Ÿ] ]v0 Kapittel 3: Z-transformen 24

25 TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ Z-transformen kan tolkes som en transform analog til Laplace-transformen, men for diskret tid Fourier-transformen er Z-transformen evaluert på enhetsirkelen Z-transformen er mere generell enn Fourier-transformen Z-transformen eksisterer for følger som ikke er absolutt summerbare Konvergensområdet må spesifiseres sammen med det algebraiske uttrykket for Z-transformen for å oppnå entydighet Finnes flere metoder for å beregne den inverse Z-transformasjonen: [ Inspeksjonsmetoden [ Delbrøkoppspaltning [ Rekkeutvikling Z-transformen vil bli et nyttig verktøy i det videre arbeidet med diskrete systemer Kapittel 3: Z-transformen 25