Polare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo

Transkript

1 Universitetet i Oslo 27. oktober 2011

2 Pol og polare Enhetssirkelen har likningen q(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 For hvert punkt a = (a 1, a 2 ) på sirkelen er tangentlinja til sirkelen definert av likningen p a (x, y) = a 1 x + a 2 y 1 = 0

3 For hvert punkt a utenom origo definerer ei linje i planet. p a (x, y) = a 1 x + a 2 y 1 = 0 Linja kalles polaren til punktet m.h.p. sirkelen. Punktet kalles polen til linja m.h.p. sirkelen.

4 Punktet a ligger på sin polare det vil si p a (x, y) = a 1 x + a 2 y 1 = 0, p a (a) = a a = q(a) = 0 hvis og bare hvis punktet også ligger på sirkelen (og polaren er tangent til sirkelen i punktet).

5 Videre ser vi at dersom a = (a 1, a 2 ) og b = (b 1, b 2 ) er to punkter i planet, så er p a (b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 1 = p b (a). Det vil si at a ligger på polaren til b hvis og bare hvis b ligger på polaren til a

6 En trekant i planet med hjørner a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ), c = (c 1, c 2 ) kalles en polar trekant m.h.p. enhetssirkelen dersom hver kant ligger på polaren til det motstående hjørnet. Det vil si p a (b) = p b (a) = p b (c) = p c (b) = p a (c) = p c (a) = 0

7 Setningen om polare trekanter De tre polarene p a = a 1 x + a 2 y 1, p b = b 1 x + b 2 y 1, p c = c 1 x + c 2 y 1 danner en polar trekant mhp enhetssirkelen hvis og bare hvis det fins reelle tall A, B, C slik at x 2 + y 2 1 = Ap 2 a + Bp 2 b + Cp 2 c. Og, når trekanten er polar mhp enhetssirkelen så er A = 1, B = 1, C = 1, det vil si q(a) q(b) q(c) x 2 + y 2 1 = p2 a q(a) + p2 b q(b) + p2 c q(c) = (a 1x + a 2 y 1) 2 + (b 1x + b 2 y 1) 2 + (c 1x + c 2 y 1) 2 a1 2 + a2 2 1 b1 2 + b2 2 1 c1 2 + c 2 2 1

8 For å vise dette legger jeg til en hjelpevariabel. Egentlig går jeg til det projektive planet, men jeg trenger ikke hele den projektive teorien i mitt bevis. Min nye variable er z, og jeg homogeniserer alle mine polynomer med denne variabelen og kan gå tilbake med å sette z = 1. Så q = x 2 + y 2 1 Q = x 2 + y 2 z 2, p a = a 1 x + a 2 y 1 P a = a 1 x + a 2 y z etc

9 2P a får jeg da fra Q ved partiell derivasjon: (a 1 x + a 2 y + z )Q = 2(a 1x + a 2 y z) = 2P a Tilsvarende partiell derivasjon av P b = b 1 x + b 2 y z gir (a 1 x + a 2 y + z )P b = b 1 a 1 + b 2 a 2 1 = p b (a)

10 Vi bruker derfor notasjonen D a = a 1 x + a 2 y + z og tilsvarende for D b of D c og får Så D a (Q) = 2P a og D a (P b ) = p b (a), etc D 2 a (Q) = D a (2P a ) = 2p a (a) = 2q(a), D a D b (Q) = D a (2P b ) = 2p b (a)

11 Dersom a, b, c er hjørnene i en trekant så vil hver kvadratiske former i x, y, z være en lineær kombinasjon av kvadratene og produktene P 2 a, P a P b,..., P 2 c. Spesielt er q = x 2 + y 2 z 2 = k aa P 2 a + k ab P a P b +...k cc P 2 c for passe valg av koeffisienter. Siden a, b, c er hjørnene i en polar trekant, er D a D b (Q) = 2p b (a) = D a D c (Q) = 2p c (a) = D c D b (Q) = 2p b (c) = 0. Samtidig er D 2 a (Q) = 2q(a), D 2 b(q) = 2q(b), D 2 c (Q) = 2q(c) alle er ulik 0, siden ingen av hjørnene ligger på sirkelen.

12 Partiellderiverer vi hvert enkelt produkt Pa 2, P a P b, etc får vi Da 2 (Pa 2 ) = 2pa(a) 2 = 2q(a) 2, D a D b (P a P b ) = D a (p a (b)p b +p b (b)p(a)) = p b (b)d a (P a ) = q(a)q(b), D b (Pa 2 ) = 2p a (b)p a = 0 og D b (P a P c ) = p a (b)p c + p c (b)p a = 0 Så D a D b (Q) = k ab q(a)q(b) = 0. Derfor er k ab = 0, og tilsvarende k ac = k bc = 0

13 Videre er D 2 a (Q) = 2k aa q(a) 2 = 2q(a) og tilsvarende D 2 b (Q) = 2q(b) og D2 c (Q) = 2q(c), så og k aa = 1 q(a), k bb = 1 q(b), k cc = 1 q(c), Ved å sette z = 1 får vi Q = 1 q(a) P2 a + 1 q(b) P2 b + 1 q(c) P2 c. q = 1 q(a) p2 a + 1 q(b) p2 b + 1 q(c) p2 c.

14 For å fullføre beviset, må vi vise at om polarene p a = 0, p b = 0 og p c = 0 danner en trekant og q = Ap 2 a + Bp 2 b + Cp 2 c = x 2 + y 2 1 med ABC 0 så definerer a, b, c en polar trekant mhp enhetssirkelen, det vil si at p a (b) = p a (c) = p b (c) = 0.

15 Igjen bruker vi hjelpevariabelen z og får Q = AP 2 a + BP 2 b + CP 2 c = x 2 + y 2 z 2 La a = (a 1, a 2) være skjæringspunktet mellom polarene p b = 0 og p c = 0. Da er siden 2P a = D a (Q) = 2Ap a (a )P a D a (BP 2 b + CP 2 c ) = 2Bp b (a )P b + 2Cp c (a )P c = 0. P a og P a er derfor proporsjonale. Men det betyr at polarene p a = p a og dermed a = a. Tilsvarende følger det at b er skjæringspunktet mellom polarene p a = 0 og p c = 0 og c er skjæringspunktet mellom polarene p a = 0 og p b = 0. Dermed er a, b, c hjørnene i en polar trekant mhp enhetssirkelen.

16 Et eksempel Punktene (1, 2), ( 1, 1), ( 1 3, 2 3 ) er hjørner i en polar trekant med polarer og x + 2y 1 = 0, x + y 1 = 0, 1 3 x y 1 = 0 (x + 2y 1) 2 4 +( x+y 1) 2 9( 1 3 x y 1)2 4 = x 2 +y 2 1.

17 Setningen om polare trekanter mhp til enhetssirkelen generaliserer til vilkårlig sirkler, parabler, hyperbler og ellipser. I hvert tilfelle har polare samme geometriske tolkning. Som for enhetssirkelen er definisjoner og regning enklest når en bruker hjelpevariabelen z og partiell derivasjon.

18 I projektiv notasjon avleder vi den opprinnelige likningen for enhetssirkelen som et spesialtilfelle: z = 0 er polaren til origo, og er linja i det uendelige. Punktet i det uendelige på x aksen har som polare y aksen, mens punktet i det uendelige på y aksen har som polare x aksen. Så xyz danner en polar trekant til enhetssirkelen. Q kan skrives x 2 + y 2 z 2 og enhetssirkelen er gitt ved likningen som vi startet med q = x 2 + y 2 1 = 0

19 Disse notatene kan snart lastes ned fra web-siden min. Takk for oppmerksomheten