ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN"

Transkript

1 NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken og er kun ment som et utfyllende notat til Kapittel 12 (og slutten på Ÿ 10.4 og begynnelsen på Ÿ 13.1.) 1. Definisjon av grenser (Ÿ 1.5 og Ÿ 12.2) Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner f denert på (delmengder av) R n. Dette vil si at denisjonsmengden til funksjonen, D(f) = {x f(x) er denert}, er en delmengde av R n, m.a.o. D(f) R n, og verdimengden V (f) = {f(x) x D(f) er en delmengde av R, m.a.o. V (f) R. For en slik funksjon f med denisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f : D(f) R n R. Vi vil nå generalisere grensebegrepet vi kjenner fra tilfellet n = 1. Vi starter med å repetere denisjonen i dette tilfellet. La c D(f) R. Husk at når vi snakker om grensen når x c, krever vi at funksjonen er denert på begge sider av c, men ikke nødvendigvis i c (slik at vi virkelig kan nærme oss c innenfor denisjonsmengden D(f) til funksjonen f); vi utvider dessuten grensebegrepet også til tilfeller der f er denert kun på den ene siden av c (f.eks. D(f) = (a, c) eller (c, b)) og snakker da gjerne om ensidige grenser. Felles er altså at f ihvertfall er denert på den ene siden av c. Det tilfellet vi ønsker å unngå, og der det ikke gir mening å snakke om grenser, er tilfellet der c er et isolert punkt i denisjonsmengden D(f). Et eksempel på dette er funksjonen i én variabel (1.1) f(x) = x, D(f) = {0} [1, 2]. Vi er vel alle enige om at grensen til f når x nærmer seg null ikke gir mening. I dette tilfellet sier vi at 0 er et isolert punkt i denisjonsmengden. Den formelle denisjonen kommer i Denisjon 1.1 rett under. Det er praktisk å formalisere disse begrepene og gi små intervall rundt c egne navn. De enkleste slike er intervaller av like stor lengde på begge sider av c: Denisjon 1.1. La c R. En omegn 1 om c er et intervall på formen (c δ, c + δ) for en δ > 0. Merk at vi også kan skrive dette som (1.2) (c δ, c + δ) = {x R x c < δ} = {x R avtanden mellom x og c er < δ}. Versjon datert På engelsk er dette neighborhood, se slutten av Ÿ 10.2 i læreboken. 1

2 2 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN La D R være en delmengde (eksempelvis denisjonsmengden til en funksjon). Vi sier at c er et isolert punkt i D dersom det nnes en omegn (c δ, c+δ) slik at (c δ, c+δ) D = {c}, dvs. slik at omegnen inneholder kun c innenfor D. Hvis c ikke er et isolert punkt i D, sier vi at c D er et ikke-isolert punkt. Slike punkter har egenskapen at enhver omegn om c inneholder punkter i D utenom c. I Eksempel (1.1) er 0 et isolert punkt i D(f), siden det nnes omegner rundt 0, feks. ( 1 2, 1 2 ), som kun inneholder 0 i denisjonsmengden. Vi kan nå gi denisjonen av begrepet grense for ikke-isolerte punkter, som også inkluderer begrepene høyresidig og venstresidig grense. Denisjon 1.2. La f : D(f) R R og c D(f) være et ikke-isolert punkt. Vi sier at grensen til f er L når punktet x nærmer seg punktet c (uttrykt som f(x) = x c L), hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som avhenger av ɛ) slik at { } (1.3) x D(f) og 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. (Denne denisjonen inkluderer også begrepene høyresidig og venstresidig grense, fordi vi har med betingelsen om at x D(f). Hvis f.eks. D(f) = [a, c] vil betingelsen x D(f) og 0 < x c < δ bety c δ < x < c.) Merk at betingelsen 0 < x c < δ kan skrives som x (c δ, c+δ)\c, der tegnet \ betyr bortsett fra. Vi merker hvorfor denisjonen ikke gir mening hvis c er et isolert punkt. For slike punkter vil det nnes en δ som er slik at (c δ, c + δ) D(f) = {c}, slik at det ikke nnes x som tilfredsstiller betingelsen x D(f) og 0 < x c < δ. Betingelsen(1.3) vil derfor trivielt være oppfylt for isolerte punkter, for en hvilken som helst L. Denisjonen stemmer med det vi forbinder med grenser rent intuitivt: Vi kan sørge for at (1.4) f(x) er så nær vi vil L så lenge (1.5) x er nær nok c (men x c). Matematisk uttrykkes (1.4) og (1.5) ved hjelp av avstander som (1.6) f(x) L < ɛ (for en vilkårlig gitt ɛ) så lenge (1.7) 0 < x c < δ (for en δ vi nner, gitt ɛ). Se Figur 1. Vi tar utgangspunkt nettopp i avstandsbegrepet når vi nå generaliserer grensebegrepet til en funksjon f med D(f) R n for n 2. Punktene x og c i Denisjon 1.2 er nå punkter (x 1,..., x n ) og (c 1,..., c n ) i rommet R n. Vi uttrykker gjerne n-tuplet av deres koordinater med fet skrift (som for vektorer, siden vi kan se på punkter i R n nettopp som vektorer): (1.8) x = (x 1,..., x n ) og c = (c 1,..., c n ). Det eneste som gjenstår å modisere (dvs. generalisere) i Denisjonene 1.1 og 1.2 er nå avstanden mellom x og c. For x, c R er dette enkelt og greit x c, mens for x = (x 1,..., x n ) og c = (c 1,..., c n ) er avstanden gitt ved (1.9) d(x, c) := (x 1 c 1 ) (x n c n ) 2 (se Ÿ 10.1 i læreboken). Vi generaliserer først begrepene omegn og isolert punkt:

3 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 3 Figur 1. f(x) ligger mellom L ɛ og L + ɛ når punktet x er i avstand < δ fra c. Denisjon 1.3. La c R n. En omegn om c er en mengde på formen B δ (c) := {x R n d(x, c) < δ}, for en δ > 0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c. La D R n være en delmengde (eksempelvis denisjonsmengden til en funksjon). Vi sier at c er et isolert punkt i D dersom det nnes en omegn B δ (c) slik at B δ (c) D = {c}, dvs. slik at omegnen inneholder kun c innenfor D. Hvis ikke, sier vi at c er et ikke-isolert punkt. Slike punkter har egenskapen at enhver omegn om c inneholder punkter i D utenom c. Eksempel 1.4. For n = 1, med x = x og c = c er B δ (c) = (c δ, c + δ). For n = 2 er B δ (c) det indre av en sirkel med radius δ om c, som vist i xy-planet i Figur 2 under. For n = 3 er B δ (c) det indre av en ball med radius δ om c, osv. Av denne grunnen kalles mengdene B δ (c) også åpne baller. Denisjonen av grense blir da, med notasjonen (1.8): Denisjon 1.5. La f : D(f) R n R og c D(f) være et ikke-isolert punkt. Vi sier at grensen til f er L når punktet (x 1,..., x n ) nærmer seg punktet (c 1,..., c n ) (uttrykt som f(x) = L), hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som x c avhenger av ɛ) slik at { } (1.10) x D(f) og 0 < d(x, c) < δ = f(x) L < ɛ (hvor d(x, c) er som i (1.9)). I tilfellet n = 2, får vi denisjonen i læreboken, nærmere bestemt Denisjon 2 i Ÿ (når vi skriver x = (x, y) og c = (a, b)): Denisjon 1.6. La f : D(f) R 2 R og (a, b) D(f) være et ikke-isolert punkt 2. Vi sier at grensen til f er L når punktet (x, y) nærmer seg punktet (a, b) (uttrykt som f(x, y) = L), hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som (x,y) (a,b) 2 At (a, b) er ikke-isolert er betingelse (i) i denisjonen i læreboken.

4 4 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN avhenger av ɛ) slik at { (1.11) (x, y) D(f) og 0 < } (x a) 2 + (y b) 2 < δ = f(x) L < ɛ. Figur 2 er generaliseringen av Figur 1 til n = 2 og viser geometrisk hva som skjer. Figur 2. f(x, y) ligger mellom L ɛ og L + ɛ når punktet P (x, y) er i avstand < δ fra P 0 (a, b). Vi merker til slutt at dersom vi fjerner punktet c i B δ (c), da får vi mengden i (1.10) i Denisjon 1.5, som vi betegner som 3 (1.12) B δ (c) := B δ (c) \ {c} = {x R n d(x, c) < δ og x c} = {x R n 0 < d(x, c) < δ}. Disse mengdene har også fått egne navn Denisjon 1.7. La c R n. En punktert omegn 4 om c er en mengde på formen som i (1.12) for en δ > 0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c utenom punktet c selv. Uttrykket (1.10) i Denisjon 1.5 kan altså skrives som: (1.13) x B δ (c) D(f) = f(x) B ɛ (L). 2. Definisjon av kontinuitet (Ÿ 12.2) Som i én-variabeltilfellet, denerer vi en funksjon f : D(f) R n R til å være kontinuerlig i et ikke-isolert punkt c D(f) dersom grensen er lik funksjonsverdien, dvs. f(x) = f(c). x c Denne denisjonen er mer enn god nok til våre formål. La oss imidlertid for moro skyld bemerke at dersom vi setter dette sammen med den formelle denisjonen 1.5, da får vi den formelle denisjonen på kontinuitet: Denisjon 2.1. La f : D(f) R n R og c D(f). Vi sier at f er kontinuerlig i c hvis det til ethvert tall ɛ > 0 nnes et tall δ = δ(ɛ) > 0 (som avhenger av ɛ) slik at { } (2.1) x D(f) og d(x, c) < δ = f(x) f(c) < ɛ. 3 Husk at tegnet \ betyr bortsett fra. 4 På engelsk er dette punctured neighborhood, men står ikke nevnt i læreboken.

5 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 5 Merk at dersom d(x, c) = 0, vil x = c, slik at f(x) f(c) = 0 < ɛ er trivielt oppfylt. Det gjør at vi ikke trenger å ha med ulikheten 0 < d(x, c) i (2.1) i Denisjon 2.1. Merk også at denisjonen fungerer like godt for isolerte punkter i denisjonsmengden, og gir at f automatisk er kontinuerlig i isolerte punkter. Dette fordi det vil nnes en δ slik at eneste punkt som oppfyller x D(f) og d(x, c) < δ er c, slik at f(x) f(c) = 0 < ɛ automatisk er oppfylt. Det kan virke snålt at funksjonen i (1.1) er kontinuerlig i null, men slik er det altså per denisjon. Slike snåle egenskaper vil imidlertid ikke ha noen betydning for oss. Kontinuitet og grenser i isolerte punkter er ikke interessante, og vi kommer ikke til å se noe mer på isolerte punkter. Vi ser ellers at uttrykket (2.1) i Denisjon 2.1 kan skrives som: (2.2) x B δ (c) D(f) = f(x) B ɛ (f(c)) (sammenlign med (1.13)). Begrepet uniform kontinuitet har også sin helt naturlige generalisering til ere variable, men vi kommer ikke til å gå inn på det i dette kurset. Generelt kan alle begrepene som involverer grenser og kontinuitet deneres på funksjoner mellom mengder som har et avstandsbegrep, dvs. der vi kan måle avstand mellom punkter. Slike mengder kalles metriske rom, og studeres i ethvert innføringskurs i reell analyse Egenskaper ved grenser og kontinuerlige funksjoner (Ÿ 12.2) Siden Denisjon 1.5 er en rett frem generalisering av denisjonen for n = 1, og involverer egentlig kun den endringen at vi snakker om avstander mellom punkter i R n istedenfor i R, vil bevisene for entydighet av grenser, grensesetningene, skviseteoremet og grenser av sammensatte funksjoner fra (oppgavene) i Ÿ 1.5 i læreboken fungere (med de opplagte endringene). Vi oppsummerer egenskapene her: Teorem 3.1. (Entydighet av grenser) La f : D(f) R n R og c D(f) et ikke-isolert punkt. Grenser er entydige, dvs. at dersom f(x) = L og f(x) = M, da er L = M. x c x c Teorem 3.2. (Grensesetningene) La f : D(f) R n R, g : D(g) R n R og anta at c D(f) D(g) er et ikke-isolert punkt. Anta at begge grensene f(x) og g(x) eksisterer og k R. Da gjelder: x c x c ( ) (i) f(x) ± g(x) = f(x) ± g(x); x c x c x c ( )( ) (ii) f(x)g(x) = f(x) g(x) ; x c x c x c f(x) f(x) (iii) x c g(x) = x c g(x) ; x c (iv) kf(x) = k f(x); x c ) x c m/n ( = ( (iv) f(x) x c x c f(x) ) m/n (hvor uttrykkene er denert). Teorem 3.3. (Skviseteoremet) Anta at grensene f(x), g(x) og h(x) eksisterer x c x c x c og at f(x) g(x) h(x) for alle x i en punktert omegn 6 om et punkt c. 5 Her i Bergen dreier det seg om høstkurset MAT211-Reell analyse. 6 Se Def. 1.7.

6 6 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Da vil f(x) g(x) h(x). x c x c x c Teorem 3.4. (Grenser av sammensetninger) La f : D(f) R n R slik at x c f(x) = L og F : D(F ) R R slik at L D(F ) og F er kontinuerlig i L. Da vil F (f(x)) = F ( f(x)) = F (L). x c x c Spesielt gir Teoremene 3.2 og 3.4 sammen med denisjon av kontinuitet at summer, dieranser, produkter, kvotienter og sammensetninger av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige (på sin denisjonsmengde), på nøyaktig samme måte som i én-variabeltilfellet: Teorem 3.5. (Kombinasjoner av kontinuerlige funksjoner) La f : D(f) R n R og g : D(g) R n R være kontinuerlige funksjoner. Da vil funksjonene f + g, f g, fg, f/g og f m/n, for m, n Z, være kontinuerlige funksjoner på sin denisjonsmengde. Teorem 3.6. (Sammensetninger av kontinuerlige funksjoner) La f : D(f) R n R og F : D(F ) R R være kontinuerlige funksjoner. Da vil den sammensatte funksjonen 7 F f (denert ved at F f(x) = F (f(x))) være kontinuerlig på sin denisjonsmengde. La oss (som i én-variabeltilfellet) begynne med å nne grenser (og dermed vise kontinuitet) for de enkleste funksjonene. I én-variabeltilfellet gjelder dette funksjonene f(x) = x og f(x) = k (konstant). I ere variable gjelder det koordinatfunksjonene f(x) = f(x 1,..., x n ) = x i for hver i = 1,..., x n og konstante funksjoner f(x) = f(x 1,..., x n ) = k. Dette nevnes ikke i læreboken. For ikke å henge oss opp i for mye notasjon, vil vi fra nå av konsentrere oss om tilfellet n = 2 og bruke koordinatene x og y, som vanlig. Teorem 3.7. Funksjonene f(x, y) = x, g(x, y) = y og h(x, y) = k (konstant) er alle kontinuerlige, dvs. at for alle (a, b) R 2. x = a, (x,y) (a,b) y = b, (x,y) (a,b) k = k, (x,y) (a,b) Bevis. Vi ser først på funksjonen f(x, y) = x. Gitt ɛ > 0, da lar vi δ = ɛ. Dersom vi har at 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ, da vil f(x, y) f(a, b) = x a = (x a) 2 (x a) 2 + (y b) 2 < δ = ɛ, som viser at f(x, y) = f(a, b) = a. (x,y) (a,b) Beviset for at g(x, y) = g(a, b) = b er (nesten) helt likt. (x,y) (a,b) Til slutt ser vi på h(x, y) = k. Gitt ɛ > 0, da kan vi velge en hvilken som helst δ > 0, siden f(x, k y) f(a, b) = k = 0 for alle (a, b) R 2. 7 Den sammensatte funksjonen F f er denert for alle x R n slik at f(x) D(F )

7 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 7 Et polynom i to variable x og y er en endelig sum av ledd på formen cx k y l, der c R og k, l N. En rasjonal funksjon i to variable x og y er en kvotient av polynomer i to variable x og y. Ved hjelp av teoremene over, kan vi konkludere at alle polynomer og rasjonale funksjoner i to variable er kontinuerlige på sin denisjonsmengde. Og ikke nok med det: siden alle potensfunksjoner (inkludert alle røtter) er kontinuerlige, vil også alle potenser av og uttrykk som innholder potenser av polynomer og rasjonale funksjoner være kontinuerlige. Det samme gjelder når vi lager funksjoner med x og y som involverer funksjoner av én variabel som vi vet er kontinuerlige, som de trigonometriske og deres inverser, logaritme- og eksponensialfunksjonen. Alle slike funksjoner vi være kontinuerlige i sin denisjonsmengde slik at alle grenser nnes ved direkte innsetting. Eksempler på dette er gitt i Eksempel 1-2 i Ÿ 12.2 i læreboken. Alle funksjonene der er kontinuerlige på sine denisjonsområder. La oss se på noen litt annerledes (og dypere!) eksempler der vi bruker resultatene over. (Forsøk gjerne på oppgavene selv først. Dette er oppgaver som ikke har blitt gjennomgått på forelesning.) Eksempel/Oppgave 3.8. Er funksjonen f : R 2 R gitt ved { ( ) x cos 1 + y f(x, y) = x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0) kontinuerlig? Løsning. Denisjonsområdet til funksjonen x cos ( 1 x 2 +y 2 ), og dermed også til funksjonen ( ) x cos 1 + x 2 +y 2 y, er hele R 2 bortsett fra origo. I denisjonsområdet er funksjonen kontinuerlig, ved Teoremene 3.5 og 3.6, siden x, 1 x 2 +y 2, cos t og y er kontinuerlige funksjoner. I origo er f denert til å være null. ( Vi undersøker først grensen x cos 1 ) x 2 + y 2. Vi har, for alle (x, y) 0, ( 1 ) cos 1, x 2 + y 2 slik at ( x 1 ) x, cos x 2 + y 2 hvilket gir ( 1 ) x x cos x 2 + y 2 x, slik at Skviseteoremet 3.3 gir at ( x cos 1 ) x 2 + y 2 = 0. Dermed er (ved Teorem 3.2(i)): ( f(x, y) = x cos 1 ) x 2 + y 2 + y = = 0 = f(0, 0). Følgelig er f også kontinuerlig i origo, og dermed er f kontinuerlig overalt. Eksempel/Oppgave 3.9. Finn grensen om den eksisterer. (x,y) (2,0) 1 cos y xy 2,

8 8 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Løsning. Vi observerer at funksjonen 1 cos y xy 2 er et produkt av funksjonene 1 x er funksjoner av én variabel som vi kjenner grensen til. Vi har nemlig og 1 (x,y) (2,0) x = 1 x 2 x = cos y (x,y) (2,0) y 2 = y 0 1 cos y y 2 = 1 2, 1 cos y og y 2, som ved l'hôpital 8. Ved produktregelen for grenser i Teorem 3.2 nner vi 1 cos y ( 1 )( 1 cos y ) (x,y) (2,0) xy 2 = (x,y) (2,0) x (x,y) (2,0) y 2 = = 1 4. Eksempel/Oppgave Betrakt funksjonen g(x, y) = sin(xy2 ) xy. (a) Hva er denisjonsmengden til g? (b) Har funksjonen en kontinuerlig utvidelse til hele R 2? Løsning. (a) Denisjonsmengden er alle (x, y) slik at xy 0, dvs. slik at både x 0 og y 0: D(f) = {(x, y) R 2 x 0 og y 0.} (Dette er hele R 2 bortsett fra koordinataksene.) (b) Spørsmålet er: Finnes det en funksjon G denert på hele R 2 som er slik at G = g på D(g). Dette er tilfellet hvis og bare hvis funskjonen g har veldenerte grenseverdier inn mot ethvert punkt utenfor D(g). Ved å studere funksjonsuttrykket, ser vi at vi kan skrive g(x, y) = y sin(xy2 ) (xy 2 ) og aner derfor at problemet kan løses ved hjelp av grensen til en velkjent funksjon i én sin t variabel, nemlig = 1. Dette betyr nemlig at funksjonen t 0 t { sin t F (t) = t når t 0, 1 når t = 0 er kontinuerlig på hele R. Siden funksjonen f(x, y) = xy 2 er kontinuerlig (ved Teoremene 3.2(ii) og 3.7), er den sammensatte funksjonen { sin(xy 2 ) F (f(x, y)) = F (xy 2 ) = xy 2 når xy 2 0, 1 når xy 2 = 0 kontinuerlig ved Teorem 3.6. Merk at xy 2 = 0 x = 0 eller y = 0. Funksjonen G(x, y) = yf (x, y) er kontinuerlig ved Teorem 3.2(ii), og kan uttrykkes som { sin(xy 2 ) G(x, y) = xy når x 0 og y 0, y når x = 0 eller y = 0. Dette er derfor en kontinuerlig utvidelse av g til hele R 2. 8 Merk at vi her bruker l'hôpital på en funksjon av én variabel. Det nnes ikke en tilsvarende regel for funksjoner av ere variable.

9 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 9 Som i én-variabeltilfellet vil altså utfordringen i å nne grenser ligge i å nne grenser inn mot punkter der funksjonen ikke er denert, eller der funksjonsuttrykket er delt. Noen eksempler på dette er gitt i læreboken og vi skal se på noen ere i neste seksjon, samtidig som vi oppsummerer knepene vi bruker. 4. Å beregne grenser og avgjøre kontinuitet (Ÿ 12.2) Vi nevner først noen standardknep vi kan bruke for å vise at en grense ikke eksisterer eller for å nne en grense hvis vi ikke klarer å bruke grensesetningene direkte. Vi kommer til å konsentrere oss om grenser inn mot origo, siden alle andre grenser kan behandles likedan ved et koordinatskifte. Vi starter med å merke at Denisjon 1.6 sier at dersom f(x, y) = L, da må f (x,y) (a,b) nærme seg L uansett hvordan (x, y) nærmer seg punktet (a, b) innenfor denisjonsmengden D(f). F.eks. må grensen være den samme når vi nærmer oss (a, b) langs de rette linjene x = a, y = b og mer generelt langs alle andre kurver i planet. Substituerer vi inn i uttrykket for f(x, y) får vi en funksjon av én variabel, som er lettere å håndtere. Dette gir oss en måte å vise at en grense ikke eksisterer: Knep 4.1. (To-kurve-testen for ikke-eksistens av grense.) Dersom f nærmer seg to forskjellige verdier når (x, y) nærmer seg (a, b) langs to forskjellige kurver innenfor denisjonsmenden til f, da kan ikke grensen f(x, y) eksistere. (x,y) (a,b) Fornuftige kurver å bruke når (a, b) = (0, 0) kan være x-aksen (hvor f(x, y) = f(x, 0)) og y-aksen (hvor f(x, y) = f(0, y)), eller generelt rette linjer parabler y = kx, x = ly, y = kx 2, x = ly 2, osv. Utgangspunktet er at vi velger kurver (=uttrykk i x og y) som gir oss et enklere uttrykk for f(x, y). Dette knepet brukes i Eksemplene 3-4 i Ÿ 12.2 i læreboken. Å sjekke grensen langs kurver kan uansett være nyttig selv om vi ikke får forskjellige verdier: dersom vi sjekker mange kurver og får hele tiden samme grense L, kan vi begynne å ane at dette kan være grensen. Deretter kan vi forsøke å vise at grensen er L ved andre metoder, eksempelvis Knep 4.3 under. Det neste knepet vi kan bruke, når vi undersøker grenser inn mot origo, både til å vise eksistens og ikke-eksistens, er å omforme til polare koordinater ved x = r cos θ og y = r sin θ, med r > 0. At (x, y) (0, 0) er ekvivalent med at r 0 +, og grensen vi får kan være enklere å sjekke. Knep 4.2. (Omforming til polare koordinater.) Sett x = r cos θ og y = r sin θ og undersøk grensen f(r cos θ, r sin θ). Dersom denne nnes (uavhengig av θ), vil den være lik r 0 + f(x, y), og dersom denne avhenger av θ, vil f(x, y) ikke eksistere (siden f da nærmer seg forskjellige verdier når vi nærmer oss origo i forskjellige retninger gitt ved vinkelen θ). Dette knepet kan være spesielt lurt dersom uttrykket x 2 + y 2 forekommer, siden dette blir til r 2 ved omforming.

10 10 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette knepet står ikke nevnt i læreboken. Det er litt synd, fordi det kan være enkelt å bruke. Vær imidlertid obs på at dette knepet ikke alltid gir oss et svar (se Eksempel/Oppgave 4.8 under). Til slutt nevner vi et annet knep som kan brukes til å vise at en grense eksisterer, brukt i læreboken i Eksempel 5 i Ÿ Dersom vi har grunn til å tro at f(x, y) = L (f.eks. (x,y) (a,b) ved at vi har sjekket grensen langs spesielle kurver inn mot (a, b)), kan vi forsøke å vise at uttrykket f(x, y) L er mindre enn et uttrykk som går mot null: Hvis f(x, y) L g(x, y) ( ) og g(x, y) = 0, da vil også f(x, y) L = 0 ved Skviseteoremet 3.3. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (Eventuelt kan vi bruke Denisjon 1.6 direkte: gitt ɛ > 0, da vil den δ > 0 som fungerer for g(x, y) fungerer også for f(x, y).) Dette knepet er det vi i praksis brukte i Eksempel/Oppgave 3.8. Knep 4.3. (Skvis under en funksjon som går mot null.) Dersom f(x, y) L g(x, y) (i en punktert omegn 9 om (a, b)) og g(x, y) = 0, da vil f(x, y) = L. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) La oss se på noen eksempler i tillegg til Eksemplene 3-5 i Ÿ 12.2 i læreboken. Eksempel/Oppgave 4.4. Vurdér om grensen x x 2 + y 2 eksisterer. (Se guren under.) Løsning. Vi setter x f(x, y) = x 2 + y. 2 Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil, for r > 0, når vi bruker at cos 2 θ + sin 2 θ = 1: r cos θ cos θ (4.1) f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = = r = cos θ, r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ r som avhenger av θ (og antar alle verdier mellom 1 og 1 uansett hvor liten r er). Derfor vil grensen ikke eksistere. (Hvis f.eks. θ = 0, dvs. langs den positive x-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 1; hvis θ = 0, dvs. langs den negative x-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 1; og hvis θ = π 2, 3π 2, dvs. langs y-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 0. Dette ser vi tydelig i guren under.) Ved å sjekke grensen langs kurver: Vi sjekker grensen langs kurver gjennom origo. Vi starter gjerne med de enkleste kurvene vi kommer på, nemlig linjer gjennom origo, som har formen y = kx. I dette tilfelle ser vi at dette er en god idé også fordi uttrykket i nevner blir spesielt enkelt når vi setter inn y = kx: x f(x, kx) = x 2 + (kx) = x 2 x 1 + k = ± k 2, avhengig av fortegnet til x, og dette uttrykket avhenger klart av k, dvs. av stigningen til linjen gjennom origo. Grensen f(x, y) kan derfor ikke eksistere. 9 Se Def. 1.7.

11 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 11 Vi kunne også sjekket kun langs de to koordinataksene x = 0 og y = 0. Langs y-aksen (utenom origo) har vi f(0, y) = 0 y 2 = 0, mens vi langs x-aksen (utenom origo) har { f(x, 0) = x = 1 hvis x > 0 x 2 1 hvis x < 0, slik at vi har funnet tre forskjellige grenser om vi nærmer oss origo langs y-aksen (grense 0), langs den positive x-aksen (grense 1) og langs den negative x-aksen (grense 1). Dette ser vi tydelig i guren under. Som vi ser, kan altså problemet løses på ere måter. Figur 3. Grafen til f(x, y) = x. x 2 +y 2 Eksempel/Oppgave 4.5. Hva er denisjonsmengden til f(x, y) = 2xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2? Vurdér om f har en kontinuerlig utvidelse til hele R 2. (Se guren under.) Løsning. Vi ser med en gang at f er denert overalt bortsett fra i origo, dvs. at svaret på første del er D(f) = R 2 \ {(0, 0)}. På sin denisjonsmengde er f en kombinasjon av kontinuerlige funksjoner, slik at den er kontinuerlig. For å vurdere om f har en kontinuerlig utvidelse til origo, må vi nne ut om f(x, y) eksisterer. (Oppgaven kunne også ha vært formulert slik, men noen ganger liker vi å formulere oppgaver slik at vi sjekker ere sider av forståelsen.) Igjen kan dette løses på ere måter. Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil, for r > 0, f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = 2(r cos θ)(r sin θ)(r2 cos 2 θ r 2 sin 2 θ) r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 2r4 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) r 2 = 2r 2 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ).

12 12 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN (Igjen har vi brukt cos 2 θ + sin 2 θ = 1). Dette siste uttrykket 0 når r 0 uansett θ, slik at f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = r 0 + r 0 2r2 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) = 0. + Følgelig vil funksjonen F (x, y) = { f(x, y) når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0) være en kontinuerlig utvidelse av f til hele R 2. Ved å sjekke grensen langs kurver først og så bruke skviseteknikken: Vi skal nne ut av om grensen f(x, y) eksisterer. Langs rette linjer gjennom origo, på formen y = kx, har vi at f(x, kx) = 2x(kx)(x2 (kx) 2 ) x 2 + (kx) 2 = 2kx 2 x2 (1 k 2 ) 1 k2 x 2 (1 + k 2 = 2kx2 ) 1 + k 2 som 0 når x 0 uansett k. Vi kan nå fortsette ved å forsøke å sjekke langs y = kx m for m 2, men får alltid samme svar. Vi begynner derfor å ane at grensen kanskje er null og skriver uttrykket som en dieranse og bruker Knep 4.3: f(x, y) = 2xy(x2 y 2 ) = 2x 3 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 2x 3 y 2xy 3 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 2x3 y 2xy3 x 2 + y 2 2xy 3 + x 2 y 2 = 2xy + 2xy = 4xy 0 når (x, y) (0, 0). Som forklart i Knep 4.3 (f.eks. ved Skviseteoremet 3.3), vil dette medføre at 0, som vist over. f(x, y) = Figur 4. Grafen til f(x, y) = 2xy(x2 y 2 ) x 2 +y 2.

13 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 13 Bemerkning 4.6. Funksjonen F (x, y) = { 2xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0) skal vi se litt mer på i Oppgave 16 i Ÿ 12.4 i læreboken. Den har nemlig den spesielle egenskapen at de to høyere ordens partielt deriverte F 12 og F 21 tilfredsstiller F 12 (0, 0) F 21 (0, 0). Dette skjer ikke for tilstrekkelig pene funksjoner: Husk Teorem 1 i Ÿ 12.4, som sier i to-variabeltilfellet at f 12 (a, b) = f 21 (a, b) dersom f 1 og f 2 er kontinuerlige i en omegn om (a, b) og f 12 og f 21 er kontinuerlige i (a, b). Eksempel/Oppgave 4.7. Vurdér om eksisterer. (x y) 2 x 2 + xy + y 2 Løsning. Vi setter (x y)2 f(x, y) = x 2 + xy + y 2. Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = 1 2 cos θ sin θ 1 + cos θ sin θ, som helt klart vil variere når θ varierer (selv om r 0, siden r ikke dukker opp i uttrykket), slik at grensen f(x, y) ikke eksisterer. Ved å sjekke grensen langs kurver: Vi ser etter kurver (eller om vi vil, etter substitusjoner av x og y) som gir opplagte grenser. F.eks. ser vi med en gang at dersom y = x, så vil f(x, x) = 0 = 0 (utenfor origo) 3x2 slik at f nærmer seg 0 når vi nærmer oss origo langs kurven y = x. Imidlertid vil vi når y = 0 ha f(x, 0) = x2 x 2 = 1, slik at f nærmer seg 1 når vi nærmer oss origo langs kurven y = 0, dvs. x-aksen. Følgelig vil f(x, y) ikke eksistere. I alle eksemplene over fungerte de polare koordinatene godt. Dette er dessverre ikke alltid tilfellet, som neste eksempel viser. Eksempel/Oppgave 4.8. Vurdér om eksisterer. (Se guren under.) xy 2 x 2 + y 4 Løsning. Vi setter f(x, y) = xy2 x 2 + y 4.

14 14 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Med polarkoordinater: Vi lar x = r cos θ og y = r sin θ. Da vil f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = (r cos θ)(r sin θ)2 (r cos θ) 2 + (r sin θ) 4 = r 3 cos θ sin 2 θ r 2 (cos 2 θ + r 2 sin 4 θ) r cos θ sin 2 θ = cos 2 θ + r 2 sin 4 θ. Dette uttrykket vil 0 når r 0, såfremt ikke cos θ 0, samtidig, dvs. at θ ± π 2. Hvis dette er tilfellet, kan vi ikke si hva som skjer. (Husk at vi må sjekke at grensen er den samme uansett θ). Denne fremgangsmåten fungerer dessverre ikke, dvs. vi klarer hverken å vise at grensen nnes og er uavhengig av θ, ei heller at grensen faktisk avhenger av θ. Ved å sjekke grensen langs kurver: Prøver vi med linjer x = ly får vi f(ly, y) = ly 3 l 2 y 2 + y 4 = ly l 2 + y 2, som vil 0 når y 0. Det samme skjer langs linjen y = 0. Vi kan kanskje bli fristet til å tro at grensen skal være null og sløse bort masse tid på å vise dette. Imidlertid bør vi heller se mer på funksjonsuttrykket for å se om det nnes kurver langs hvilke funksjonsuttrykket til f forenkles. Et viktig spor kommer av at uttrykket inneholder y med doble potenser i forhold til x. Vi forsøker derfor med å sette x = ly 2, dvs. å sjekke grensen langs parabler istedenfor rette linjer: (4.2) f(ly 2, y) = ly 4 l 2 y 4 + y 4 = l l 2 + 1, og vi ser at grensen når (x, y) 0 langs x = ly 2 avhenger av l. (Ta en titt på guren under. Langs f.eks. x = y 2, dvs. for l = 1, gir (4.2) at f(x, y) = 1 2 utenom origo, og nærmer seg derfor z = 1 2 på z-aksen, som vi tydelig ser. Langs f.eks. x = 0 (som er y-aksen), dvs. for l = 0, gir (4.2) at f(x, y) = 0 utenom origo, og nærmer seg derfor z = 0 på z-aksen, som vi også ser.) Følgelig eksisterer ikke grensen f(x, y). Så moralen er: Let etter kurver som gjør at funksjonsuttrykket, etter forkortninger/forenklinger, blir enkelt, f.eks. en konstant, som i dette tilfellet. Figur 5. Grafen til f(x, y) = xy2 x 2 +y 4.

15 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE Noen eksempler med partielt deriverte (Ÿ 12.3), retningsderiverte (Ÿ 12.7) og derivérbarhet (Ÿ 12.6) Vi henviser til læreboken for denisjon av partielt deriverte (Ÿ 12.3), retningsedriverte (Ÿ 12.7) og derivérbarhet (Ÿ 12.6). Som med grenser og kontinuitet ligger det en ekstra utfordring i å beregne og vurdere disse begrepene i spesielle punkter der funksjonen skifter uttrykk. Læreboken gir noen oppgaver om dette, men mangler eksempler. Vi skal derfor se på et par eksempler, der vi bruker noen av funksjonene fra forrige seksjon og lar igjen det spesielle punktet være origo. Eksempel/Oppgave 5.1. La F (x, y) = { xy 2 x 2 +y 4 når (x, y) (0, 0), 0 når (x, y) = (0, 0). (i) Avgjør hvor F er kontinuerlig. (ii) Finn de partielt deriverte F 1 (x, y) og F 2 (x, y). (iii) Finn den retningsderiverte i origo i en vilkårlig retning gitt ved en enhetsvektor u = ui + vj. (iv) Er F derivérbar i origo? (v) Er F derivérbar utenfor origo? Løsning. (i) Funksjonen F er denitivt kontinuerlig utenfor origo, siden er en kombinasjon av kontinuerlige funksjoner. I Eksempel/Oppgave 4.8 viste vi at xy2 x 2 +y 4 xy 2 x 2 + y 4 ikke eksisterer, så F kan ikke være kontinuerlig i origo. (iv) Vi svarer med en gang på spørsmålet om F er derivérbar i origo: Nei, F er ikke derivérbar i origo, siden F ikke er kontinuerlig i origo. Det er et veldig viktig resultat (i to variable som i én variabel) at derivérbarhet medfører kontinuitet (Oppgave 21 i Ÿ 12.6 i lærebokens utg. 7, evt. Oppg. 17 i utg.6, som er pensum). (ii) Utenfor origo er F gitt ved ett uttrykk, slik at vi kan bruke de vanlige derivasjonsreglene (dvs. derivasjon mhp. én av variablene om gangen, der vi betrakter den andre variabelen som en konstant): F 1 (x, y) = xy 2 x x 2 + y 4 = y2 x2 y 4 (x 2 + y 4 ) 2, F 2 (x, y) = xy 2 y x 2 + y 4 = 2xy x2 y 4 (x 2 + y 4 ) 2. Men i origo må vi bruke denisjonen på de partielt deriverte. Per denisjon har vi F 1 (0, 0) = F (h, 0) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0, h 0 h h 0 h h 0 F 2 (0, 0) = F (0, k) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0. k 0 k k 0 k k 0 Uttrykkene for de partielt deriverte blir derfor også delte uttrykk, og er: { y2 (x 2 y 4 ) F 1 (x, y) = (x 2 +y 4 ) 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0)

16 16 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN og F 2 (x, y) = { 2xy(x 2 y 4 ) (x 2 +y 4 ) 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0). Merk spesielt at begge de partielt deriverte eksisterer i origo, selv om F ikke er kontinuerlig der. Dette kan komme som en overraskelse når man sammenligner med én-variabeltilfellet. Men vi må huske på at de partielt deriverte bare måler endringen til funksjonen langs to utvalgte retninger, x-aksen og y-aksen, og er derfor mye mer restriktive i sin denisjon enn begrepet kontinuitet, som tar hånd om alle retninger inn mot punktet. I dette konkrete tilfellet viste vi i Eksempel/Oppgave 4.8 over at F (x, y) = 0 langs både x-aksen og y-aksen, og som nettopp gir at de to retningsderiverte er null. Men dette gir altså ikke et korrekt bilde av funksjonen utenfor x-aksen og y-aksen. (v) Vi kan nå allerede svare på spørsmålet om F er derivérbar utenfor origo uten å måtte bruke denisjonen: det skyldes at begge de partielt deriverte F 1 og F 2 er kontinuerlige funksjoner utenfor origo (siden de er rasjonale funksjoner der). Dette medfører at F er derivérbar utenfor origo (ved Teorem 4 i Ÿ 12.6 i læreboken). At kontinuerlige partielt deriverte i en omegn om et punkt medfører derivérbarhet er igjen et veldig viktig resultat, og er det vi som oftest bruker i praksis for å konkludere at en funksjon er derivérbar i et punkt. (iii) For å nne den retningderiverte kunne det være fristende å bruke Teorem 7 i Ÿ 12.7 i læreboken 10. Dette teoremet kan vi imidlertid ikke bruke, siden F ikke er derivérbar i origo. Vi må bruke denisjonen på retningsderivert. La da u = ui + vj være en enhetsvektor. Da vil F (hu, hv) F (0, 0) D u F (0, 0) = = h 0 + h h 0 + (hu)(hv) 2 (hu) 2 +(hv) 4 h h 2 uv 2 = h 0 + h 2 (u 2 + h 2 v 4 ) = uv 2 h 0 + u 2 + h 2 v 4. Her må vi være litt forsiktige. Dersom u 0, har vi uv 2 h 0 + u 2 + h 2 v 4 = uv2 u 2 = v2 u. Dersom u = 0, må v = 1, siden u er en enhetsvektor, og vi har uv 2 h 0 + u 2 + h 2 v 4 = 0 h 0 + h 2 = 0 = 0. h 0 + (Dette visste vi egentlig allerede, siden u = j og D j F (0, 0) = F 2 (0, 0).) Oppsummerer vi, får vi: { v 2 D u F (0, 0) = u hvis u 0, 0 hvis u = Dette teoremet gir formelen D uf (a, b) = u F (a, b) dersom F er derivérbar i (a, b). I vårt tilfelle ville dette gitt svaret D uf (0, 0) = u F (0, 0) = 0 for alle u, siden F (0, 0) = 0. Men dette er feil svar, som vi vil se.

17 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 17 Eksempel/Oppgave 5.2. La F (x, y) = { 2xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0). (Denne funksjonen er kontinuerlig overalt, som vist i Eksempel/Oppgave 4.5.) Finn de partielt deriverte i origo og avgjør om F er derivérbar i origo. Løsning. Vi bruker igjen denisjonen på de partielt deriverte og får F 1 (0, 0) = F (h, 0) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0, h 0 h h 0 h h 0 F 2 (0, 0) = F (0, k) F (0, 0) 0 0 = = 0 = 0. k 0 k k 0 k k 0 Så sjekker vi grensen i denisjonen på derivérbarhet (Denisjon 5 i Ÿ 12.6): F (h, k) F (0, 0) hf 1 (0, 0) kf 2 (0, 0) (h,k) (0,0) h 2 + k 2 F (h, k) = (h,k) (0,0) h 2 + k 2 2hk(h 2 k 2 ) 0 h = 2 +k 2 (h,k) (0,0) h 2 + k 2 2hk(h 2 k 2 ) = (h,k) (0,0) (h 2 + k 2 ) 3/2. Denne grensen ligner den vi regnet ut i Eksempel/Oppgave 4.5 og kan faktisk regnes ut på samme måte. Også her kan vi innføre polare koordinater h = r cos θ og k = r sin θ og få 2hk(h 2 k 2 ) (h 2 + k 2 ) 3/2 = 2r4 cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) r 3 = 2r cos θ sin θ(cos 2 θ sin 2 θ) som 0 når r 0 uansett θ. Vi har dermed vist at F er derivérbar i origo. Vi kunne også brukt Knep 4.3 for å beregne (h,k) (0,0) 2hk(h 2 k 2 ) (h 2 + k 2, som i Eksem- ) 3/2 pel/oppgave 4.5. Vi har nemlig 2hk(h2 k 2 ) 2h 3 k = (h 2 + k 2 ) 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 2hk 3 2h 3 k 2hk 3 + (h 2 + k 2 ) 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 (h 2 + k 2 ) 3/2 2h3 k 2hk 3 + = 2k + 2h 0 når (h, k) (0, 0). h 3 k 3 Eksempel/Oppgave 5.3. Finn de partielt deriverte til funksjonen { ( ) x cos 1 + y f(x, y) = x 2 +y 2 når (x, y) (0, 0) 0 når (x, y) = (0, 0). i origo. Er f derivérbar i origo? (Denne funksjonen er kontinuerlig overalt, som vist i Eksempel/Oppgave 3.8.)

18 18 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Løsning. Vi bruker igjen denisjonen på de partielt deriverte og får ( ) F (h, 0) F (0, 0) h cos 1 0 ( h F 1 (0, 0) = = 2 1 ) = cos h 0 h h 0 h h 0 h 2 som ikke eksisterer (vi husker dette igjen fra én-variabeltilfellet, fordi cos ( 1 ) x 2 vil svinge mellom 1 og 1 uansett hvor nær x er null). Imidlertid vil den partielt deriverte m.h.p. y eksistere: F (0, k) F (0, 0) (0 + k) 0 F 2 (0, 0) = = = 1. k 0 k 0 k k Svaret på siste spørsmål er enkelt: For at f skal være derivérbar i origo må per denisjon begge de partielt deriverte eksistere (se igjen denisjonen på derivérbarhet Denisjon 5 i Ÿ 12.6). Derfor er f ikke derivérbar i origo. 6. Litt mer mengdelære i R n (slutten av Ÿ 10.4 og begynnelsen på Ÿ 13.1) Vi denerte begrepet omegn om et punkt c R n i Denisjon 1.3 og brukte det til å denere hva vi mener med et isolert punkt, siden vi trengte det i denisjonen av grense. Men omegner spiller også en annen sentral rolle: de er nemlig utgangspunktet for å kunne denere hva vi mener med åpne og lukkede mengder i R n. Motivasjonen for dette (innenfor pensum av MAT112) er at vi vil generalisere resultater om ekstremalverdier som vi kjenner fra én-variabeltilfellet til ere variable (nærmere bestemt Teoremene 1 og 2 i Ÿ 13.1). Stoet vi går gjennom her står på slutten av Ÿ 10.1 og begynnelsen av Ÿ 13.1 i læreboken. Vi går gjennom det her mest for å slå fast hva de norske uttrykkene er. Vi starter med å gjenta Denisjon 1.3 (se også Eksempel 1.4) Denisjon 6.1. La c R n. En omegn om c er en mengde på formen B δ (c) := {x R n d(x, c) < δ}, for en δ > 0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c. For n = 1 er altså B δ (c) lik det åpne intervallet (c δ, c + δ). For n = 2 er B δ (c) det indre av en sirkel med radius δ om punktet c = (a, b), dvs. B δ (c) = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < δ 2 }. Vi kaller dette gjerne en åpen sirkel eller åpen disk. For å skille mellom denne åpne sirkelen og den lukkede sirkelen {(x, y) R 2 x 2 + y 2 δ 2 } (der randen x 2 + y 2 = δ 2 er med i mengden), kan vi tegne den åpne sirkelen med en stiplet rand og den lukkede med en heltrykket rand, som vist i Figur 6 under. Figur 6. En åpen sirkel (til venstre) og en lukket sirkel (til høyre)

19 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 19 Begrepet omegn spiller en viktig rolle i denisjonen av lokale ekstremalverdier, selv om læreboken utelater å bruke omegner i denisjonen helt i begynnelsen av Ÿ Her er samme denisjon uttrykt med omegner: Denisjon 6.2. La f : D(f) R n R og c D(f). Vi sier at f har en lokal maksimalverdi i c hvis det nnes en omegn B δ (c) om c slik at f(x) f(c) for alle x D(f) B δ (c). Vi sier at f har en lokal minimalverdi i c hvis det nnes en omegn B δ (c) om c slik at f(x) f(c) for alle x D(f) B δ (c). La nå R R n være en delmengde. Vi ønsker å denere hva det vil si at R er åpen eller lukket. (Som for intervaller, trenger en mengde imidlertid hverken å være åpen eller lukket.) Denisjon 6.3. La R R n. Et punkt x R er et indre punkt dersom det nnes en omegn B δ (x) om x slik at B δ (x) R. (I R 2 betyr dette at vi kan slå en sirkel innenfor R med sentrum i x = (a, b), se Figur 6.) Mengden av alle indre punkter i R kalles det indre av R og betegnes 11 med int(r). Mengden R kalles åpen dersom alle x R er indre punkter; ekvivalent dersom int(r) = R. Dette betyr at alle punkter i R har en omegn om seg som ligger innenfor R. (I R 2 betyr dette at alle punkter i R har en sirkel rundt seg som ligger innenfor R.) Figur 7. Et indre punkt Bemerkning 6.4. Det er lett å se at mengden R n er åpen. Per denisjon er også den tomme mengden åpen. (Siden mengden er tom, oppfyller den trivielt kravet om at alle dens punkter er indre punkter, fordi punktene ikke nnes!) Eksempel 6.5. Mengden (0, 1) er åpen siden det rundt enhver x (0, 1) nnes en liten nok omegn (x δ, x + δ) (0, 1). Imidlertid er (0, 1] ikke åpen, siden enhver omegn (1 δ, 1 + δ) om 1 vil inneholde punkter utenfor (0, 1]. 11 Etter engelsk interior.

20 20 ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Mengden R = {(x, y) R 2 x > 0, y > 0} er åpen. Dette er 1. kvadrant uten aksene, og vi kan slå en sirkel rundt ethvert punkt som ligger helt innenfor mengden. Imidlertid er R = {(x, y) R 2 x 0, y > 0} ikke åpen, siden enhver sirkel rundt et punkt på y-aksen vil inneholde punkter med x < 0, dvs. punkter utenfor R. Vi denerer en mengde som lukket dersom mengden av alle punkter utenfor mengden er åpen: Denisjon 6.6. La R R n. Komplementet til R er mengden av alle punkter i R n som ikke er inneholdt i R, og betegnes som R c. Formelt har vi Merk også at R c = R n \ R = {x R n x R}. R n = R R c, som betyr helt enkelt at ethvert punkt i R n er enten i R eller utenfor R. Mengden R kalles lukket dersom komplementet R c er en åpen mengde. Eksempel 6.7. Mengden [0, 1] er lukket fordi komplementet er (, 0) (1, ), som er åpent. Av samme grunn er mengden [0, ) lukket, fordi komplementet er (, 0). Mengden [0, 1) er ikke lukket, fordi komplementet (, 0) [1, ) ikke er åpent: enhver omegn om punktet 1 vil inneholde punkter utenfor [1, ). Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0} er lukket. Rundt ethvert punkt i komplementet R c = {(x, y) R 2 x < 0 eller y < 0} kan vi slå en sirkel som ligger helt innenfor mengden. Mengdene R n og er lukket, siden komplementene (hhv. og R n ) er åpne ved Bemerkning 6.4. Så disse to mengdene er både åpne og lukkede. Fra tilfellet n = 1 er vi imidlertid kanskje mest vant til å tenke på en mengde som lukket dersom det inneholder sine endepunkter: slik ser vi f.eks. at [0, 1] og [0, ) er lukket, mens (0, 1] og (0, ) ikke er lukket. Det nnes en generalisering av begrepet endepunkter i R n : Denisjon 6.8. La R R n. Et punkt x R n er et randpunkt til R hvis enhver omegn om x innholder både punkter i R og utenfor R. (I R 2 betyr dette at enhver sirkel vi slår med sentrum i x = (a, b), vil inneholde punkter både i og utenfor R, se Figur 6.) Et randpunkt til R kan være med i R eller ikke, men det er lett å se at et indre punkt i R ikke kan være randpunkt. Mengden av alle randpunkter til R kalles randen til R og betegnes 12 med bdry(r). Merk at bdry(r) = bdry(r c ). Vi har følgende resultat, som også kan tas som ekvivalent denisjon på det å være lukket: Sats 6.9. En mengde R er lukket R inneholder alle sine randpunkter. Bevis. Vi har R lukket R c åpen alle punkter i R c er indre punkter R c inneholder ingen av sine randpunkter bdry(r c ) R, og vi er ferdig siden bdry(r) = bdry(r c ). 12 Etter engelsk boundary.

21 FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE 21 Figur 8. Et randpunkt Eksempel Hver av mengdene (0, 1), [0, 1), (0, 1] og [0, 1] har 0 og 1 som randpunkter. Bare [0, 1] er lukket, siden bare denne inneholder begge randpunktene. Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0} har rand bdry(r) = {(0, y) y 0} {(x, 0) x 0}, som er unionen av de to ikke-negative delene av koordinataksene. Siden bdry(r) R, er R lukket. Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0 og x 2 + y 2 < 1} har rand bdry(r) = {(x, y) R 2 y = 0, 1 x 1 eller y 0, x 2 + y 2 = 1}, som er en halvsirkel. Men øverste del av denne halvisirkelen er ikke med i R, slik at R ikke er lukket. Til slutt trenger vi å generalisere hva vi mener med at en mengde er begrenset: Denisjon En delmengde R R n er begrenset dersom det nnes en konstant K 0, slik at alle punktene i R har avstand K fra origo. Ekvivalent er R begrenset dersom det nnes en lukket ball B = {x R n d(x, 0) K} som inneholder R. (Her er d som denert i (1.9).) I R får vi at en mengde R begrenset dersom det nnes en K slik at x K for alle x R, som er det vi er vant til. I R 2 vil R være begrenset dersom vi kan slå en sirkel som inneholder mengden R. Eksempel Et intervall er begrenset hvis og bare hvis endepunktene ikke er eller. Mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0} fra Eksempel 6.10 er ikke begrenset, mens mengden R = {(x, y) R 2 x 0, y 0 og x 2 + y 2 < 1} fra Eksempel 6.10 er begrenset. Studiet av åpne og lukkede mengder og deres egenskaper kalles generalt for topologi. Over har vi denert hva vi mener med åpne og lukkede mengder ved hjelp av begrepet omegn, som igjen bygger på at vi har et avstandbegrep i R n. Det viser seg imidlertid at det nnes en mer generell, aksiomatisk denisjon på åpne og lukkede delmengder av en mengde. Mengder der vi har en slik aksiomatisk denisjon på hva det vil si at en delmengde er åpne eller lukket kalles topologiske rom. Generelt kan begrepet kontinuitet deneres på funksjoner mellom topologiske rom 13. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 12, 5008 Bergen. 13 Her i Bergen er innføringskurset i topologi høstkurset MAT242-Topologi.

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende

Detaljer

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan

Detaljer

Løsningsforslag øving 6

Løsningsforslag øving 6 Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten

Detaljer

Brukerkurs i Gauss feilforplantning

Brukerkurs i Gauss feilforplantning Brukerkurs i Gauss feilforplantning Knut S. Gjerden 9. august 2011 evt. gaussisk feilforplantning eller bruk av Gauss lov for feilforplantning. Samt litt generelt om fysikkting.

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)

y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t) NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3

y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3 Løsning Øvingsoppgaver Funksjoner i ere variabler MET 1180 Matematikk April 017 Oppgave 1. (a) Vi har at f = 3 og f = +. Hessematrisen blir dermed 6 (b) Ved kvotientregelen har vi at f = f = og de andreordens

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Trasendentale funksjoner

Trasendentale funksjoner Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Øving 1 Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1.

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4.

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4. Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 1. januar 1 kl. 14. Antall oppgaver: 4 Løsningsforslag Oppgave 1 a = [3, 1, ], b = [, 4, 7] og c = [ 4, 1, ]. a) a = 3 + ( 1)

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 6

MAT Grublegruppen Notat 6 MAT00 - Grublegruppen Notat 6 Jørgen O. Lye Vektorrom og indreprodukt Vektorrom Vi trenger å si litt om vektorrom og indreprodukt for å formulere Fourierrekker. Denisjonen av vektorrom kan man tenke på

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i. Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med

Detaljer

Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer