Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Transkript

1 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter Presentasjon av bokens e-læringsystem

2 2 Grenseverdier Uformell definisjon La f være definert på et åpent intervall som inneholder x 0, bortsett muligens fra x 0 selv. Vi sier at et tall L er grenseverdien til f (x) for x gående mot x 0, og skriver lim x x0 f (x) = L, dersom f (x) nærmer seg L når x nærmer seg x 0.

3 3 Den formelle definisjonen av grenseverdi Definisjon, side 75 Anta at det finnes h > 0 slik at f er definert på intervallene (x 0 h, x 0 ) og (x 0, x 0 + h). Vi sier at et tall L er grenseverdien til f (x) for x gående mot x 0, og skriver lim x x0 f (x) = L, dersom følgende gjelder: For ethvert tall ɛ > 0 eksisterer en δ > 0 slik at f (x) L < ɛ når 0 < x x 0 < δ.

4 4 Regneregler for grenseverdier Teorem 1, side 65 Anta at lim x x0 f (x) = L og lim x x0 g(x) = M. Da gjelder at 1 lim x x0 (f (x) + g(x)) = L + M, 2 lim x x0 (f (x)g(x)) = LM, 3 lim x x0 (kf (x)) = kl, ( ) 4 lim f (x) x x0 g(x) = L M hvis M 0, 5 lim x x0 (f (x) p ) = L p hvis L p eksisterer.

5 5 Skviseteoremet (The Sandwich Theorem) Teorem 4, side 69 Anta at det finnes h > 0 slik at f, g og h er definert på intervallene (x 0 h, x 0 ) og (x 0, x 0 + h). Anta også at lim g(x) = lim h(x) = L. x x 0 x x0 Da er lim x x0 f (x) = L.

6 Teorem 5, side 70 Anta at det finnes h > 0 slik at f og g er definert på intervallene (x 0 h, x 0 ) og (x 0, x 0 + h) og at f (x) g(x) for alle x (x 0 h, x 0 ) (x 0, x 0 + h). Anta også at grenseverdiene til f og g eksisterer når x x 0. Da er lim f (x) lim g(x). x x 0 x x0

7 7 Ensidige grenser Definisjon, side 86 Anta at det finnes h > 0 slik at f er definert på intervallet (x 0 h, x 0 ). Vi sier at et tall L er grenseverdien til f (x) for x gående mot x 0 fra venstre, og skriver lim x x 0 f (x) = L, dersom følgende gjelder: For ethvert tall ɛ > 0 eksisterer en δ > 0 slik at f (x) L < ɛ når 0 < x 0 x < δ.

8 8 Ensidige grenser Definisjon, side 86 Anta at det finnes h > 0 slik at f er definert på intervallet (x 0, x 0 + h). Vi sier at et tall L er grenseverdien til f (x) for x gående mot x 0 fra høyre, og skriver lim x x + 0 f (x) = L, dersom følgende gjelder: For ethvert tall ɛ > 0 eksisterer en δ > 0 slik at f (x) L < ɛ når 0 < x x 0 < δ.

9 9 Ensidige og tosidige grenser Teorem 6, side 85 lim x x0 f (x) = L hvis og bare hvis f (x) = L og lim x x + f (x) = L. 0 lim x x 0

10 10 Regneregler for ensidige grenser Merknad Teorem 1 5 i kap. 2.1 gjelder også for ensidige grenser. Teorem 5 for ensidige grenser Anta at det finnes h > 0 slik at f og g er definert på intervallet (x 0 h, x 0 ) og at f (x) g(x) for alle x (x 0 h, x 0 ). Anta også at grenseverdiene til f og g eksisterer når x x 0. Da er lim x x 0 f (x) lim x x 0 g(x).

11 11 Grenser når x ± Definisjon, side 90 Anta at det finnes A slik at f er definert på intervallet (A, ). Vi sier at et tall L er grenseverdien til f (x) for x gående mot uendelig, og skriver lim x f (x) = L, dersom følgende gjelder: For ethvert tall ɛ > 0 eksisterer en N slik at f (x) L < ɛ når x > N.

12 12 Grenser når x ± Definisjon, side 90 Anta at det finnes B slik at f er definert på intervallet (, B). Vi sier at et tall L er grenseverdien til f (x) for x gående mot minus uendelig, og skriver lim x f (x) = L, dersom følgende gjelder: For ethvert tall ɛ > 0 eksisterer en N slik at f (x) L < ɛ når x < N.

13 13 Regneregler for grenser i uendelig Merknad Teorem i kap. 2.1 gjelder også for grenser i uendelig.

14 14 Horisontale asymptoter Definisjon, side 92 En linje y = b er en horisontal asymptote for grafen til en funksjon f hvis enten lim f (x) = b eller lim f (x) = b. x x

15 y 2x+1 x y = 2 x y = 2 er en horisontal asymptote for grafen til f (x) = 2x+1 x.

16 16 Skrå asymptoter Definisjon, side 93 En linje y = ax + b er en horisontal asymptote for grafen til en funksjon f hvis enten lim (ax + b f (x)) = 0 eller lim (ax + b f (x)) = 0. x x

17 y y = 2x 3 y = 2x 3 er en skrå asymptote for grafen til f (x) = 4x 2 sin(x) 2x+3. 4x 2 sin(x) 2x+3 x

18 18 Plan for resten av uken Tirsdag 10:15 11:00 i S7 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet Onsdag 8:15 10:00 i R Derivasjon Torsdag 8:15 10:00 i R1 Studieteknikk Derivasjon av trigonometriske funksjoner, kjerneregelen, parametriske kurver