Grenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419

Transkript

1 Grenseverdier og asymptoter Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 40, 4, 42, 44, 46, 47, 48, 49 Grenseverdier Grenseverdien til en funksjon, lim x a f x g, er en verdi vi kan komme så nær vi vil, når vi lar x nærme seg a. Eller: Hvis vi velger en x nærme nok a, det vil si at differansen mellom x og a gjøres svært liten: x a, så kan vi få f x så nærme g vi vil: f x g, unasett hvor liten måtte være. Resonnementet her er at uansett hvor liten du forlanger, så kan jeg finne en liten slik at f x g er oppfyllt. Noen poenger: To skrivemåter: lim x a f x g x a f x g (Den siste notasjonen kan brukes også når g går mot uendelig: x a f x, men da har vi ingen grenseverdi.) Grenseverdien g må være et unikt tall. (Samme verdi om vi kommer fra høyre eller venstre!) Grenseverdien g må være et endelig tall. Hvis f a er definert så er grenseverdien f a rett og slett. Hvis f a ikke er definert, så kan likevel grenseverdien være definert! Dette er noe av poenget, grenseverdien er den verdien f x hadde hatt, hvis den hadde eksistert! Asymptoter Asymptoter er rette linjer, som funksjonen nærmer seg når x går mot en verdi: x a f x :Vertikal asymptote: x a (Vertikal asymptote vanligvis når nevner er null i en brøkfunksjon.) går mot uendelig: x f x a :Horisontal asymptote: y a (Eller: x f x a 0) x f x ax b :Skrå asymptote: y ax b (Eller: x f x ax b 0) Oppgaver: 403 a) f x 4x 8 x 5 To måter å omskrive denne brøkfunksjonen på: Polynomdivisjon: f x 4 2 x 5 Divisjon med x: f x 4 8 x 5 x I II Definisjonsmengde: D f 5 (Alle tillatte x verdier.) av 5 grenseverdier.tex

2 x 5 f x :Vertikal asymptote: x 5 x f x 4 : Horisontal asymptote: y 4 (I og II viser dette!) Verdimengde: V f g x 4x 4x x 2 25 x 5 x 5 4 x 25 x (Alle mulige y verdier.) D g 5,5 x 5 g x : VA : x 5 x 5 g x : VA : x 5 x g x 0 : HA : y f x x2 3x x x 2 x (Polynomdivisjon gir siste uttrykk.) a) D f x f x : VA : x b) Allerede gjort... c) x f x x 2 0 : SA : y x 2 Da f x x 2 x går mot 0 når x går mot. d) Begrunnelsen er at forskjellen mellom f x og y x 2 går mot null når x går mot, da dette er selve definisjonen av en asymptote. e) Legg merke til at verdimengden her er: V f GeoGebra: 2 av 5 grenseverdier.tex

3 Inntastinger: f(x) (x^2 3x )/(x ) x - y 409 Kommentarer: 409 og 40 har disse tre viktige eksemplene som illusterer forskjellige situasjoner vi kan ha: x 2 : Her eksisterer både grenseverdien og funksjonsverdien. De er lik hverandre så her er funksjonen kontinuerlig. (Kontinuerlig i x 2 hvis lim x 2 f x f 2 ) x 2 : 40 x 2 : Her eksisterer funksjonsverdien, men ikke grenseverdien. Altså ikke kontinuerlig. Her eksisterer ikke funksjonsverdien, men grenseverdien eksisterer. Altså ikke kontinuerlig 4 a) lim x 3 2x Når funksjonsverdien eksisterer er grenseverdien selvsagt like funksjonsverdien! (Nokså uinteressant å bruke grenseverdi her, men tatt med for eksemplets skyld.) b) og c) tilsvarende 42 c) Dette er mer interessant, her eksisterer ikke funksjonsverdien, men grenseverdien eksisterer. (Den er den verdien vi har i "hullet" i kurven, som ikke eksisterer som 3 av 5 grenseverdier.tex

4 funksjonsverdi, men som likevel kan være interessant å vite hva er, det er derfor vi har definert grenseverdibegrepet!) lim x 2 5x 4 lim x 7 lim x f x x3 x 2 4 x 2 x 2, x 2 (Polynomdivisjon) D f 2 Her er ikke x 2 vertikal asymptote, f x nærmer seg ikke en rett linje i dette punktet, f x har bare et "hull" i kurven når x 2. På lommeregner bruker vi TBLSET og TABLE. Med GeoGebra kan vi gjøre slik: GeoGebra: Inntastinger: f(x) (x^3-x^2-4)/(x-2) Vi definerer en "glider", a med Min:.9, Maks: 2. og Animasjonstrinn: 0.0. Vi viser GeoGebras regneark (pre-release versjonen har regneark) med Vis, Regneark. Vi definerer et punkt på grafen: P (a,f(a)) Høyreklikk på punktet P og velg: Spor til regneark Høyreklikk på glideren a og velg: Animation On Jeg la også inn Udef (2,8) for å vise hvor "hullet" i kurven er. 4 av 5 grenseverdier.tex

5 46 f x x Grafen er kontinuerlig i x 0, da både funksjonsverdien og grenseverdien eksisterer, og da de er lik hverandre: lim x 0 f x f 0 0 Legg merke til at siden det er en knekk på kurven eksisterer ikke den deriverte f x for x 0, da grenseverdiene for den deriverte fra høyre og venstre er forskjellige! ( og ). 47 a) Vi ser at dette blir en "trappe"-funksjon. b) Da funksjonen ikke er definert for x 0, er funksjonen ikke kontinuerlig i x Som 47, bare forskjøvet til x lim x 3 x 3 2x 2 5x 6 lim x x x x 2 x 6 x lim x 3 x2 x 6 5 av 5 grenseverdier.tex