Analyse og metodikk i Calculus 1

Transkript

1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1

2 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner Hva er en funksjon? Hvilke typer funksjoner har vi? Jevne og odde funksjoner Trigonometriske funksjoner De grunnleggende trigonometriske funksjonene Eksakte sinus- og cosinusverdier Trigonometriske identiteter Injektive og inverse funksjoner Metoder oppsummert

3 Forord Etter hvert som man traverserer gjennom Matematikk 1 og begynner å se seg ferdig med Calculus 1, får man kanskje følelsen av at mye er glemt og at metodene kanskje ikke sitter helt som de skal. Det er i all hovedsak to faktorer som gir dette utfallet; for lite mengdeøving og manglende forståelse av stoffet. Mengdeøving er nyttig for at metoder skal sitte, men for at en skal få mest mulig ut av mengdeøving er det viktig at man bruker et sett med metoder som fungerer bra, og at man på forhånd har dannet seg en inngående forståelse for hvorfor metodene fungerer. På den måten får en mest mulig ut av mengdeøving, og en kan forvente å raskere finne løsninger på problemer, å finne de rette løsningene på problemer og dessuten å bli mer konsis. Vi tar derfor i dette dokumentet til mål å tilby et sett med metoder som vi av erfaring vet at er gode for å løse oppgaver i Calculus 1, samt en forklaring på når disse metodene fungerer, hvorfor de fungerer og til tider også memoriseringsteknikker. Dokumentet tar dessuten til mål å presentere stoffet på en kortest og mest mulig konsis måte, dog det for noen lesere ikke vil virke slik. Merk deg før du tar i bruk dette dokumentet at det av leseren forventes generelt god forståelse av matematikk. Dersom leseren har gått glipp av eller glemt deler av pensum er ikke dette et videre problem, men dersom leseren vanligvis har vansker for å forstå seg på de matematiske fenomener som blir presentert, er nok ikke dette dokumentet for vedkommende. Vi håper dette dokumentet vil vise seg nyttig for deg, Sign 3

4 1 Vurdering av grafer og funksjoner En rekke oppgaver i Calculus dreier seg om grunnleggende forståelse av grafer og funksjoner. Disse oppgavene er som regel kjedelige og leseren har en tendens til å ignorere viktigheten i å mestre dette området. Det kan være av stor nytte å forstå seg på grafer og funksjoner, både for videre læring og for å kunne løse de vanskeligere oppgavene gitt innenfor temaet på eksamen. 1.1 Hva er en funksjon? I oppgaver der en blir bedt om å bedømme om en graf er en funksjon er det kun én definisjon som er viktig å huske: Definisjon 1. En funksjon fra en mengde D til en mengde Y, er en regel som tilegner ett unikt element f(x) Y til ethvert element x D. Vi kan bestemme om en graf også er en funksjon ved å bruke denne definisjonen. Dersom en graf på på ett eller annet punkt på x-aksen tar to verdier, kan vi ikke kalle grafen en funksjon. Sirkelen er et eksempel på en graf som ikke kan være en funksjon (se side 6). Oppgaver: Kapittel 1.1: 1,, 3, 4, 5, 6, Hvilke typer funksjoner har vi? Vi har en rekke type funksjoner, og ikke alle begrepene er kjente for alle. Derfor lister vi dem her og forklarer kort hvordan de ser ut. Lineære funksjoner En lineær funksjon er på formen f(x) = mx + b, der stigningstallet m og konstantleddet b er konstanter. Grafen til en lineær funksjon er helt rett. Potensfunksjoner En potensfunksjon er på formen f(x) = x a, der a er en konstant. Dersom a < 0 er en slik funksjon ikke definert for x = 0, men ellers er funksjonen definert for alle relle tall. Dersom a er en brøk, får vi det vi kaller rotfunksjoner, der graden av rotfunksjonen er bestemt av nevneren til a. For eksempel er x 1 = x. Dersom graden 4

5 av en rotfunksjon er jevn er domenet til funksjonen [0, ), men dersom graden er odde er funksjonen definert for alle relle tall. Polynomer En funksjon p er et polynom dersom p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 der n er et ikke-negativt heltall, og koeffisientene a 0, a 1, a,..., a n alle er relle konstanter. Graden av et polynom er n, og for n = har vi en kvadratisk funksjon, mens vi for n = 3 har en kubisk funksjon. Rasjonelle funksjoner En rasjonell funksjon er på formen f(x) = p(x)/q(x), der p og q begge er polynomer. Algebraiske funksjoner En algebraisk funksjon er et uttrykk med polynomer sammensatt av de algebraiske operasjonene (addisjon, substraksjon, multiplikasjon, divisjon og røtter). Trigonometriske funksjoner En funksjon på formen Eksponensielle funksjoner En eksponensiell funksjon er på form f(x) = a x, der grunntallet a er et positivt heltall ulikt 1. Logaritmefunksjoner En logaritmefunksjon er på formen f(x) = log a x, der basen a er en positiv konstant ulik 1. Disse funksjonene er de inverse funksjonene av eksponensialfunksjonene. 5

6 Transcendente funksjoner Alle funksjonene som ikke er algebraiske går under kategorien transcendente funksjoner. For eksempel er de trigonometriske, inverse trigonometriske, eksponensielle og logaritmiske funksjonene transcendente. Men det finnes mange andre funksjoner som ikke lar seg uttrykke algebraisk. 1.3 Jevne og odde funksjoner Såkalte jevne og odde funksjoner har spesielle egenskaper som kan bli svært hendige når vi skal jobbe med dem på et mer generelt plan. Definisjon. En funksjon y = f(x) er en 1. jevn funksjon av x dersom f( x) = f(x),. odde funksjon av x dersom f( x) = f(x), for enhver x i funksjonens domene. Det som avgjør om en funksjon blir jevn eller odde er funksjonens potens av x. Vi ser for eksempel at ( x) = x, mens ( x) 3 = x 3. Jevne potenser av x gir jevne funksjoner, mens odde potenser av x gir odde funksjoner. På grafene av jevne funksjoner ser vi en symmetri om y-aksen, mens de odde funksjonene er symmetriske om origo. Merk også at de trigonometriske funksjonene kan være jevne og odde. cos x er en jevn funksjon ettersom cos( x) = cos x, mens sin x er en odde funksjon, ettersom sin( x) = sin x. Oppgaver: 1.1: 31-4, 57, Trigonometriske funksjoner Trigonometriske funksjoner er for mange de som er vanskeligst å relatere seg til, men et svært viktig verktøy å mestre. I Calculus er bruken av trigonometri svært omfattende, så det er viktig at de ulike funksjonene er godt kjente for studenten. Egenskapene er mange, men de er også alle svært nyttige De grunnleggende trigonometriske funksjonene De grunnleggende trigonometriske funksjonene vi har er sinus-, cosinus-, tangens-, cosecant-, secant- og cotangensfunksjonene. Standard notasjon er sin, cos, tan, csc, sec og cot. 6

7 Vi bør fra før av svært godt huske formlene for de tre første, og en god huskeregel er at vi reverserer brøkene til sin for å få sec, og tilsvarende for cos og csc, og igjen for tan og cot Eksakte sinus- og cosinusverdier Dersom studenten ikke allerede er kjent med de eksakte verdiene for sinus- og cosinusfunksjoene, er det på tide at det gjøres. Vi kan lage en tabell ved å huske at vi skal ha verdier for θ {0, π 6, π 4, π 3, π }, og deretter at sinusverdiene er n, der n {0, 1,, 3, 4} og verdien av n inkrementeres når vi går gjennom hver verdi av θ fra minst til størst. Ved cosinusfunksjonen reverserer vi rekkefølgen vi velger n med. Oppgaver: θ 0 π 6 sin θ 0 1 cos θ 1 1.3: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1 Hint: Tegn opp enhetssirkelen 3 π 4 π π Trigonometriske identiteter Det er en rekke identiteter som rett og slett må huskes, du bør prøve å utlede dem alle, men vi har ikke tid til å utlede dem her. 1. cos θ + sin θ = tan θ = sec θ 1 + cot θ = csc θ cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B cos θ = cos θ sin θ sin θ = sin θ cos θ 7

8 5. cos 1 + cos θ θ = sin 1 cos θ θ = Oppgaver: Vis at cos(a B) = cos A cos B + sin A sin B og at sin(a B) = sin A cos B cos A sin B Hint: Cosinus og sinus er jevne og odde henholdsvis. Utled identitetene i 4. ved å bruke identitene i 3. Utled identitetene i 5. ved å bruke den første identiteten i Injektive og inverse funksjoner Inverse funksjoner er for mange nytt, men er ikke så vanskelig å forstå seg på. Det første vi er nødt til å huske er at en invers funksjon kun eksisterer dersom funksjonen vi startet med er injektiv (en-til-en). Det vil si at det aldri eksisterer to like funksjonsverdier av f. Definisjon 3. En funksjon f(x) sies å være injektiv dersom alle x 1, x D med x 1 x gir f(x 1 ) f(x ). Vi sier dessuten at injektive funksjoner er en-til-en. Vi kan teste om en funksjon er injektiv ved å se etter om den er strengt stigende eller avtagende. Dersom den ikke besitter noen av disse egenskapene, må det for et eller annet utvalg x 1 x være slik at f(x 1 ) = f(x ). Da er ikke funksjonen lenger injektiv, og den har heller ingen invers. Grafisk kan vi bruke den horisontale linjetesten for å se etter om en funksjon er injektiv. Dersom enhver horisontale linje skjærer grafen til funksjonen mer enn én gang, er ikke funksjonen injektiv (se side 37). Definisjon 4. Gitt at f er en injektiv funksjon på et domene D med verdimengde R. Den inverse funksjonen f 1 er gitt ved f 1 (a) = b dersom f(b) = a. Domenet til f 1 er R, og verdimengden er D. En måte å forstå seg på den inverse funksjonen på, er å tenke seg at den inverse funksjonen tar inn en funksjon og gir tilbake argumentet. Husk dessuten at den inverse funksjonen av en invers funksjon, er funksjonen vi startet med. Dette gir oss at f 1 (f(a)) = a, og dessuten at f(f 1 (a)) = a. 8

9 Da blir det dessuten klart at en funksjon ikke kan ha en invers uten å være injektiv, ettersom funksjonen f 1(f(a)) vil ta to verdier for en eller annen f(a), hvilket ikke er tillatt for funksjoner. 1.6 Metoder/huskeregler oppsummert 1. Vertikallinjemetoden for å sjekke om en graf er en funksjon. Jevne og odde potenser gir jevne og odde funksjoner heholdsvis 3. 9