z = a + jb Mål Komplekse tall: Sum og produkt Komplekse tall

Transkript

1 Mål IN3190/4190 Digital signalbehandling Andreas Austeng og Stine Hverven (INF3470/4470, H18). Repetisjon av komplekse tall og trigonometri Beherske komplekse tall. Beherske trigonometriske funksjoner. Huske og forstå de fleste trigonometriske identiteter. = Matematisk grunnlag for faget. Forventet at dere kan dette fra tidligere fag Komplekse tall a = Re{z} er realdelen til z b = Im{z} er imaginærdelen til z j = roten av -1, (j 2 = -1): den imaginære enheten i eller j Opprinnelig stod i for imaginær: matematikk I elektrofag er i strøm, derfor brukes heller j z = a + jb Komplekse tall: Sum og produkt Regning følger vanlig aritmetikk, med j 2 = -1 Gitt at vi har: z 1 = a 1 + jb 1 og z 2 = a 2 + jb 2 Sum: z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + j(b 1 + b 2 ) Produkt: z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b 1 b 2 ) + j(a 1 b 2 + a 2 b 1 )

2 Komplekse tall: Visualisering og koordinatsystemer Reelle tall: et punkt på en tallinje Komplekse tall: et punkt i planet. Caspar Wessel 1799 Regneoperasjoner à vektoroperasjoner. To mulige koordinatsystemer: kartesiske koord. polarkoord. Komplekse tall på kartesisk form Realdel: a = r cos(φ) = Re{z} Imaginærdel: b = r sin(φ) = Im{z} Gir enkel addisjon z 1 +z 2 = a 1 +a 2 + j(b 1 +b 2 ) z = a + jb Kilde: Wikipedia Komplekse tall på polarform Tallverdi, magnitude: r = (a 2 + b 2 ) 1/2 = z # = %& '( Komplekse tall: komplekskonjugering Kartesisk form: z * = (x + jy) * = x jy Fase: φ = tan -1 (b/a)= ang{z} Polar form: z * = (re jφ ) * = re -jφ Gir enkel multiplikasjon: z 1! z 2 = r 1! r 2 e j(φ 1 + φ 2) Kilde: Wikipedia 9

3 Komplekse tall: komplekskonjugering Multiplikasjon: zz * = (a + jb)(a - jb) = a 2 + b 2 = z 2 Eulers identiteter: Addisjon: z + z * = (a + jb) + (a - jb) = 2a = 2Re{z} Subtraksjon: z - z * = (a + jb) - (a - jb) = 2jb = 2j Im{z} Så en tidsavhengig cosinusfunksjon med frekvens f og fase φ: Kilde: Wikipedia cos 2 φ + sin 2 φ=? cos 2 φ + sin 2 φ =! (ejφ + e jφ ) +! & (ejφ e jφ ) =?! (ejφ + e jφ ) +! & (ejφ e jφ ) =?! ' ej2φ e j2φ! ' ej2φ 2 + e j2φ = 1 Viktig resultat som er lett å utlede med komplekse eksp. Tilsvarende lett å finne cos(2φ), sin(2φ), cos(φ/2), osv

4 Eksempel 1: Modulasjon cos(φ 1 )cos(φ 2 ) =? = (1/2)(cos(φ 1 + φ 2 ) + cos(φ 1 - φ 2 )) hvis φ 1 =ω 1 t & φ 2 =ω 2 t dannes det nye frekvenser (ω 1 +ω 2 & ω 1 -ω 2 ) Eksempel 2: Sum av cosinuser med samme frekvens å k A k cos(2πft + φ k ) =? der Ae jφ = å k {A k e jφ k} = Acos(2πft + φ) Eksponensialform er mye enklere å bruke for regning i disse eksemplene Kompleks amplitude (fasor) Acos &' + ) = Re A-. /012 = Re A /0 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase: A cos &' + ) + A * cos &' + ) * =?

5 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase: A cos &' + ) + A * cos &' + ) * =? Re A / Re A * / = Re A / A * / = 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase: A cos &' + ) + A * cos &' + ) * =? Re A / Re A * / = Re A / A * / = Re / 012 (A / A * / 04 6) = Re / A : / 04 ; = A : cos &' + ) : Hva er A og #? A $ %& ' = (A * $ %& + + A - $ %&.) Hva er A og #? A $ %& ' = (A * $ %& + + A - $ %&.) Skriver om til reell og imaginær del og får: Skriver om til reell og imaginær del og får: A - = (A * cos# * + A - cos# - ) - + (A * sin# * + A - sin# - ) - # =arctan 9 +sin& + :9. sin&. 9 + cos& + :9. cos&

6 Potensfunksjoner, a Potens a ; grunntall a, eksponent b a $% = a ' a % ( * = +,* ) Oppg: (2 + j) 6 =? Potensfunksjoner, a Potens a ; grunntall a, eksponent b a $% = a ' a % ( * = +,* ) Oppg: (2 + j) 6 = ' 2j + j 6 = 3 + 4j i slike oppgaver skal svaret alltid på formen a + jb Geometriske rekker Sum av konvergent geometrisk rekke (brukes mye!) %&' 1 ( - ( 1! ( = * 1 ( #$. ( = 1 Uendelig rekke, dvs M : 3! #$ ( = 1 1 (, ( < 1 Utledes i fasit til Øving 1 Periodiske, diskrete funksjoner cos(0.25* +, - ) vs. cos(/* +, - )? cos(2/f 1 * + 2) er periodisk hvis frekvensen F 1 kan skrives på formen: F 1 = k/n der k og N er heltall, og N=perioden Eksempel: cosinussignal med egentlig periode på 10 sek. Vi sampler hvert 0.5 sek. Hva blir vår diskrete cosinusfunksjon?

7 Tips: Magnituderespons er plott av X(... ). Siden e^{j...} er periodisk, holder det å beregne for noen utvalgte verdier mellom 0 og pi. Fasen er «phi» når skrevet på formen A exp{j «phi»}