Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017

Transkript

1 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017

2 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2 )

3 Strengt avtagende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt avtagende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) > f (x 2 )

4 Sammenheng med f (Teorem 12 i Ÿ2.8) f > 0 i det indre av intervall I = f strengt voksende på I. f < 0 i det indre av intervall I = f strengt avtagende på I.

5 Sammenheng med f (forts.) Lett å se fra denisjon av derivert at: f strengt voksende på intervall I = f 0 på I f strengt avtagende på intervall I = f 0 på I. Grunn: f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h f strengt voksende f (x + h) f (x) og h har samme fortegn > 0 lim h h 0 h (grenser bevarer, T.2(7) i Ÿ1.2) f (x+h) f (x) Eks. f (x) = x 3 f (x) = 2x 2 f (x + h) f (x) 0 er strengt voksende på I = R, selv om = 0 i origo.

6 Krumning av (graf til) funksjon (Ÿ4.5) f er oppoverkrummet/konveks/concave up på et åpent intervall I dersom f er derivérbar på I og f er strengt voksende på I ; Ekvivalent: alle tangenter til grafen ligger under grafen. f > 0 på I = f konveks på I

7 Krumning av (graf til) funksjon (Ÿ4.5) f er nedoverkrummet/konkav/concave down på et åpent intervall I dersom f er derivérbar på I og f er strengt avtagende på I ; Ekvivalent: alle tangenter til grafen ligger over grafen. f < 0 på I = f konkav på I

8 Vendepunkt til (graf til) funksjon (Ÿ4.5) f har vendepunkt (inection point) i x dersom: f skifter krumning i x; og f har en tangentlinje i x, dvs. enten f er derivérbar i x (tangent med stigning f (x)) f (x + h) f (x) eller lim = eller (vertikal tangent). h 0 h Merk: Tangentlinjen til grafen skjærer grafen i vendepunktet

9 Asymptoter (Ÿ4.6) Linjen x = a kalles en vertikal asymptote til (grafen til) f hvis lim f (x) = ± eller lim f (x) = ± x a + x a Kurven y = g(x) er en asymptotekurve for (grafen til) f når x hvis (tilsvarende for x ). lim (f (x) g(x)) = 0 x kalles horisontal hvis y = g(x) = L (konstant), kalles skrå hvis y = g(x) = ax + b, a 0.

10 Eksempel f (x) = x2 +5x 4 2x 2 = 1 2 x x 1 (ved polynomdivisjon) lim f (x) = ± = x = 1 er vertikal asymptote. ± x 1 Ingen andre vert. as. siden f denert og kont. for x 1 [ )] lim f (x) = lim x ± x ± = y = 1 2 ( 1 2 x x 1 = 0 x + 3 er skrå asymptote når x ±

11 Eksempel f (x) = x3 9x 2 +27x 27 x+1 = x 2 10x x+1 (ved polynomdiv.) lim f (x) = = x = 1 er vertikal asymptote. ± x 1 Ingen andre vert. as. siden f denert og kont. for x 1 ( lim f (x) (x 2 10x + 37) ) = lim 64 x ± x ± x + 1 = 0 = y = x 2 10x + 37 er asymptotekurve når x ±

12 Symmetri om y-aksen f ( x) = f (x) for alle x D(f ), sier f jevn funksjon

13 Symmetri om origo f ( x) = f (x) for alle x D(f ), sier f odde funksjon

14 Omegn om et punkt (neighborhood) La x 0 være et punkt i denisjonsmengden til en funksjon f, dvs. x 0 D(f ). En δ-omegn om x 0 (eller bare omegn om x 0 ) er et åpent intervall om x 0 på formen (x 0 δ, x 0 + δ), eller evt. bare (x 0 δ, x 0 ] eller [x 0, x 0 + δ), hvis f bare er denert på den ene siden av x 0.

15 Lokale og globale ekstremalverdier f (x 0 ) er lokalt/relativt maksimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i en omegn om x 0 ; lokalt/relativt minimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i en omegn om x 0 ; (globalt/absolutt) maksimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i denisjonsmengden til f ; (globalt/absolutt) minimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i i denisjonsmengden til f.

16 Merk Alle globale ekstremalverdier er også lokale, mens ikke alle lokale ekstremalverdier er globale

17 Hvor nnes (lokale) ekstremalverdier? (T. 6 i Ÿ4.4) Hvis f denert på intervall I har ekstremalverdi i x 0, da er x 0 følgende tre typer: en av x 0 kritisk (stasjonært) punkt (KP), dvs. f (x 0 ) = 0; x 0 singulært punkt (SP), dvs. f (x 0 ) er ikke denert; x 0 endepunkt (EP) i I.

18 Men... f trenger ikke ha lokale ekstremalverdier i disse punktene: KP SP EP

19 Er det lokalt maks. eller min.? 1. derivert-testen i punkter der f er kont. (T. 7 i Ÿ4.4) (Lignende i endepunkt) 2. derivert-testen i kritiske punkt (T. 10 i Ÿ4.5)

20 Finnes globale maks eller min? Ekstremalverditeoremet (Maks-Min-teoremet) T. 8 i 1.4 Hvis f kontinuerlig på lukket, begrenset intervall [a, b], da har f (globalt) maksimum og minimum på [a, b] Ikke nødvendigvis sant om f ikke kontinuerlig eller intervall ikke lukket og begrenset:

21 Konsekvens: Strategi for å nne globale maks/min for f kont. på [a, b] Begrunn at Ekstremalverditeoremet garanterer at maks og min nnes. Vi vet disse kan kun forekomme i kritiske punkt, singulære punkt og endepunkt ved T. 6 i Ÿ4.4 Den største (hhv. minste) funksjonsverdien i disse punktene er maks (hhv. min). NB: noen ganger kan svaret nnes ved å tenke logisk fremfor å derivere og regne ut mange funksjonsverdier!

22 Konsekvens: Strategi for å nne globale maks/min ellers Finn kritiske punkt, singulære punkt (inkl. punkt der f ikke er kont.) og endepunkt. Den største (hhv. minste) funksjonsverdien i disse punktene er kandidaten til global maks (hhv. min), men det kan hende at f ikke har noen global maks/min. Sjekk hvor f er strengt voksende/avtagende, sjekk grenser mot eventuelle endepunkter, punkter der f ikke er kont. og ±, og tenk logisk, for å nne ut om kandidatene virkelig er globale maks/min! NB: Se Teorem 8 i Ÿ4.4, men det er bedre å forstå teoremet enn å pugge det. Les godt Eks. 5-6 i Ÿ4.4 NB: igjen kan svaret noen ganger nnes ved å tenke logisk fremfor å derivere og regne ut mange funksjonsverdier!

23 Eksempel på å tenke enkelt! Finn maks/min til y(t) = y 0 e ( 6k π sin( πt 6 )) på (, ) ( ) πt Siden sin svinger mellom 1 og 1 og disse verdiene oppnås, vil 6 y(t) svinge mellom maksimalverdi y 0 e 6k π og minimalverdi y 0 e 6k π.

24 Annet eksempel på å tenke enkelt! Finn maks/min til f (x) = x2 1+x 2 på (, ) Vi ser med en gang at 0 f (x) < 1 for alle x f (0) = 0 = f (0) = 0 er derfor (globalt og lokalt) minimum. lim x ± f (x) = lim x ± 1 = x 2 = f (x) kommer så nær vi vil 1 uten å bli lik = f har ikke noe globalt maksimum