Andre del av forelesningen om funksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utfyllende enn forelesningen.

Transkript

1 NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Andre del av orelesningen om unksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utyllende enn orelesningen. GRENSEVERDI Man kan or eksempel undre seg over hva skjer med unksjonsverdiene når går mot uendelig, dvs. når blir veldig stor? Og hva skjer med når går mot minus uendelig? Hva skjer i nærheten av et punkt der ikke er deinert, dvs. når ikke er med i deinisjonsmengden til? For å svare på disse og andre spørsmål, kommer begrepet grenseverdi til nytte, som er et helt grunnleggende begrep i orbindelse med analyse av unksjoner. For å inne ut hva som skjer med når blir veldig stor, må vi inne grenseverdien til går mot uendelig. Det matematiske uttrykket or denne grenseverdien er lim ( ), som leses «grenseverdien til limes, som betyr grense (limit på engelsk). når når går mot uendelig». Forkortelsen lim kommer ra det latinske ordet For å inne ut hva som skjer med uttrykket 1 når går mot 0, må vi inne grenseverdien til 1 1 når går mot 0, som skrives lim. Merk at «å gå mot» betyr det samme som «å nærme seg». 0 Det innes en mer ormell deinisjon av grenseverdi enn den vi skal bruke. Det viktige i denne sammenheng er å en viss orståelse av begrepet, samtidig som man har en rimelig grad av matematisk presisjon. Vi deinerer: Vi sier at tallet b er grenseverdien til mot uendelig. Vi skriver lim ( ) b. Merk: At grenseverdien er lik b, betyr ikke at b, dvs. orskjellen mellom når går mot uendelig hvis noen gang blir lik b, men at og b går mot 0, når verdiene går mot uendelig. går mot b når går nærmer seg Hvis er deinert or alle verdier i «nærheten av» et punkt a, kan vi se på grenseverdien til uttrykket når går mot a. Hva betyr det at grenseverdien til nærmer seg b når nærmer seg a : når går mot tallet a hvis mot et tall a? Det vil si at Vi sier at tallet b er grenseverdien til mot a. Vi skriver lim ( ) b. a er lik tallet b når går går mot b når går Når vi sier at lim ( ) eksisterer, mener vi at det ins et tall C slik at lim ( ) C. Det er ikke a a alltid tilellet, or eksempel kan det hende at lim ( ). Det betyr at a når nærmer seg a. går mot uendelig

2 Vi deinerer: La C være et tall. Når vi skriver lim ( ) C a så mener vi at unksjonsverdien vil ligge så nært C vi måtte ønske, bare velges tilstrekkelig nær a. Hvorvidt a, er i denne orbindelse uvesentlig. Derimot er det underorstått at det innes tall i deinisjonsmengden til så nær a man måtte ønske. er deinert or ENSIDIG GRENSEVERDI La oss betrakte en unksjon med gra som antydet på iguren under. Slik vi har deinert grensebegrepet, vil 1 ikke gå mot noe bestemt tall når går mot 1. lim ( ) eksisterer ikke. Lar vi derimot gli mot 1 ra venstre, tyder iguren på at seg 1. Vi skriver: lim ( ) 1 (venstresidig grenseverdi) 1 nærmer Tilsvarende, hvis vi lar gli mot 1 ra høyre, vil nærme seg, og vi skriver lim ( ) (høyresidig grenseverdi) 1 VERTIKAL ASYMPTOTE Hvis lim ( ) eller lim ( ) er lik eller, kalles linja c en vertikal asymptote til c unksjonen. c HORISONTAL ASYMPTOTE Hvis lim ( ) er lik tallet b, kalles linja y mot. Tilsvarende or. b en horisontal asymptote til unksjonen når går

3 Regneregler or grenseverdier: Hvis lim ( ) b og lim g( ) c, så er a a 1)lim ( ) g( ) b c a )lim ( ) g( ) b c a 3)lim ( ) g( ) a ( ) b 4) lim or c 0 a g( ) c bc Det er viktig å vite hva det vil si at en grenseverdi eksisterer. At en grenseverdi eksisterer, betyr at den er lik et reelt tall. Hvis grenseverdien er uendelig eller minus uendelig, eksisterer den altså ikke. Et annet tilelle der grenseverdien ikke eksisterer, er hvis de ensidige grensene er orskjellige. KONTINUITET La være en vilkårlig unksjon. Det kan ote være nyttig å vite or hvilke er ( ) 0, og or hvilke er positiv eller negativ, dvs. or hvilke graen til ligger over eller under aksen. Som hjelp i denne sammenheng deinerer vi nullpunkt: Et tall c kalles et nullpunkt or hvis c 0. Det betyr at graen til vil skjære -aksen i c. Graisk kan vi inne nullpunktene ved å lese av hvor graen skjærer aksen. Algebraisk (ved regning) inner vi nullpunktene til en unksjon ved å løse ligningen ( ) 0. Eksempel: Nullpunktene til unksjonen annengradslikningen a b c 0. Løsningene inner vi ra ABC-ormelen: a b c a inner vi ved å løse ( ) ( 0) b b 4ac a Løsningene kalles også or ligningens røtter. Ser vi nærmere på løsningen ser vi at hvis b under rottegnet blir negativt). Har vi derimot b b 4ac 0 er de to løsningene like). 4ac 0har ligningen ingen reelle løsninger (tallet 4ac 0 har vi to løsninger (merk at i tilellet Vi deinerer hva vi mener med en kontinuerlig unksjon: La være en unksjon, og la a være et punkt i deinisjonsmengden til. Vi sier at er kontinuerlig i punktet a hvis lim ( ) ( a ). Funksjonen kalles kontinuerlig hvis den er a kontinuerlig i alle punktene i deinisjonsmengden D. Et viktig resultat når det gjelder kontinuerlige unksjoner og reelle tall, er skjærsetningen:

4 La være en kontinuerlig unksjon på et intervall ab,, dvs. er deinert or alle verdier ra og med a til og med b. Anta at a og b. FORTEGNSSKJEMA a og Vi skal nå se på or hvilke unksjonen b har motsatt ortegn. Da har et nullpunkt mellom (mindre enn null). Vi sier at vi skal drøte ortegnet til uttrykket. Generelt har lineære unksjoner punktet, ra negativt til positivt, eller omvendt. er positiv (større enn null) og når den er negativ a b nullpunkt or b, og vil skite ortegn i dette a For en mer komplisert unksjon, betrakter vi ortegnet ved å aktorisere uttrykket i lineære aktorer. Når uttrukket er aktorisert kan vi tegne opp ortegnet or hver av aktorene og så inne ortegnet or hele uttrykket. POLYNOMDIVISJON Har vi polynomunksjoner av tredje grad eller høyere kan vi bruke det vi kaller polynomdivisjon til å aktorisere uttrykkene, så remt divisjonen går opp. Teknikken går ut på at vi dividerer et polynom på et annet polynom(av lavere grad), resultatet kan vi bruke til å aktorisere et uttrykk. Hvis vi har kommet rem til: 3 3 : 1 betyr dette at 3 3 aktoriseringen , og vi kan multiplisere med nevneren og komme rem til. Hvordan andregradsuttrykket aktoriseres har vi sett på tidligere og vi kan aktorisere uttrykket i lineære aktorer. Og vi kan inne ortegnet til uttrykket. FUNKSJONSDRØFTING Vi har sett hvordan vi kan inne nullpunktene til en unksjon, og hvordan vi kan inne intervallene der unksjonen er positiv og intervallene der den er negativ. Man kan også undre seg over hvilken betydning koeisientene har i uttrykket. Vi skal se hva som skjer med graen til en unksjon når vi oretar visse typer enkle justeringer av unksjonsuttrykket. Vertikal orskyvning: Erstatter vi unksjonen y ( ) med y ( ) b, der b er et gitt tall, så er det nokså opplagt at graen orskyves i vertikal retning, oppover hvis b er positiv, og nedover hvis b er negativ. Horisontal orskyvning: Erstatter vi unksjonen y ( ) med y ( a), så vil vi med litt tankearbeid orstå at graen orskyves i horisontal retning. Det er viktig å orstå at orskyvningen skjer til høyre hvis a er positiv, og til venstre hvis a er negativ.

5 Strekke, krympe og speile: Det er viktig å være klar over at det å multiplisere en unksjon med et gitt positivt tall c svarer til å orstørre eller orminske graen i y retningen, mens ingen orandring inner sted i retningen. Hvorvidt vi år orstørrelse eller orminskelse, avhenger av om vi har c 1 eller om 0c 1. Å multiplisere en unksjon med 1 svarer til å speile graen om aksen. Vi skal nevne en type justering som opptrer hyppig i praksis. Den består i å erstatte unksjonen y ( ) med unksjonen y ( k), der k er et gitt tall. Prøv å inne ut selv hvordan ulike verdier av k påvirker graen. Andre ting som ote er interessant å vite, det er når en unksjon har sin største og minste verdi, og intervallene hvor unksjonen vokser og avtar. De såkalte vendepunktene svarer også til bestemte egenskaper som kan være av interesse. Og det vil ote være av interesse å vite hvor unksjonen krummer oppover eller nedover. VOKSENDE FUNKSJON: Vi sier at en unksjon er voksende på et intervall ab, hvis ( 1) ( ) or alle punkter 1, i ab, slik at 1. Vi sier at en unksjon vokser på et intervall når en betingelse er oppylt or alle par av punkter i intervallet. Det betyr at vi kan sjekke at ikke vokser på et intervall ved å inne ett par av punkter i intervallet som ikke oppyller betingelsen. For å inne ut om vokser, må vi sjekke alle par av punkter i intervallet or å se om de oppyller betingelsen. Dette er tungvint, i neste leksjon vil vi lære en lettere måte å gjøre det på. AVTAGENDE FUNKSJON: Vi sier at avtar/er avtagende på intervallet ab, hvis ( 1) ( ) or alle punkter 1, i ab, slik at 1. I de punktene unksjonen skiter ra å være voksende til å være avtagende, eller motsatt, har vi såkalte maksimums- eller minimumspunkter, med ellesbetegnelse ekstremalpunkter, de kalles også topp- eller bunnpunkter. De kan være både lokale og globale. MAKSIMIMSPUNKT Vi sier at et punkt er et lokalt maksimumspunkt til en unksjon hvis a er større enn eller lik alle unksjonsverdiene til i umiddelbar nærhet av punktet a. Et lokalt maksimumspunkt a, ( a ) er et globalt maksimumspunkt hvis ( a) ( ) or alle i deinisjonsmengden til. MINIMUMSPUNKT Vi sier at et punkt er et lokalt minimumspunkt til en unksjon hvis a er mindre enn eller lik alle unksjonsverdiene til i umiddelbar nærhet av punktet a. Et lokalt minimumspunkt a, ( a ) er et globalt minimumspunkt hvis ( a) ( ) or alle i deinisjonsmengden til. Merk at en unksjon trenger hverken å ha maksimums- eller minimumspunkt.

6 Graen til en unksjon som ikke er lineær vil krumme. Det er ote nyttig å vite om graen krummer oppover eller nedover. I matematikk omtaler vi dette som konvekse eller konkave unksjoner: Vi sier at en unksjon er konveks på intervallet ab, hvis hver gang vi velger to punkter 1, i ab,, så vil ikke noe punkt på linjestykket mellom 1, ( 1) og, ( ) ligge nedenor graen til. Tilvarende sier vi at er konkav på intervallet ab, hvis hver gang vi velger to punkter 1, i ab,, så vil ikke noe punkt på linjestykket mellom, ( ) og, ( ) ligge ovenor graen til. 1 1 I et vendepunkt skiter graen ra å krumme oppover til å krumme nedover, eller motsatt. Vi sier at a, a er et vendepunkt til unksjonen hvis skiter ra å være konveks til å være konkav, eller motsatt i punktet. Vi merker oss at en unksjon trenger ikke å ha noen vendepunkter. Hvis vi har tegnet graen til en unksjon, kan vi lese av eventuelle maksimums-, minimums- og vendepunkter. Vi kan også inne intervallene der unksjonen vokser eller avtar, og der unksjonen er konveks eller konkav. Men vi vil gjerne gå motsatt vei, dvs. ra unksjon til gra. Det er dette unksjonsdrøting dreier seg om. Når vi drøter en unksjon, inner vi ut så mye om ulike egenskaper til unksjonen at vi kan skissere en rimelig god tilnærming av graen til.