Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011

2 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

3 3 Lokale ekstrema Definisjon Gitt en funksjon f med definisjonsmengde D og et indre punkt c i D Lokalt maksimum i x = c: f(x) f(c) for alle x i et åpent intervall som inneholder c Lokalt minimum i x = c: f(x) f(c) for alle x i et åpent intervall som inneholder c

4 4 Førstederivertetesten for lokale ekstrema Teorem Hvis Da er f(x) har lokalt eksremverdi i indre punkt x = c og f (c) er definert. f (c) = 0

5 5 Kritisk punkt Gitt funksjon f med definisjonsmengde D Definisjon Et indre c punkt i D kalles et kritisk punkt for f hvis enten f (x) ikke er definert i x = c eller f (c) = 0 Finn kritiske punkt for f(x) = 3 (9 x) x 2, 4 x 8.

6 6 Figur for eksempel f(x) = 3 (9 x) x 2, 4 x Kritiske punkter

7 7 Analyse - å finne ekstrema Om å finne absolutte ekstrema av kontinuerlig funksjon på et lukket begrenset intervall. 1 Finn f sin verdi i alle kritiske punkter og endepunktene 2 Plukk den minste og største verdien. Finn den største og minste verdien av f(x) = 3 (9 x) x 2

8 Kapittel 4.2. Mellomverdisatsen

9 9 Rolles teorem Teorem (Rolles teorem) Hvis f(x) kontinuerlig på [a, b], y f (c) = 0 deriverbar på (a, b) og f(a) = f(b) Da finnes minst en c på (a, b) slik at f (c) = 0. a c b x Vis at x 3 + 6x + 1 = 0 har bare en løsning.

10 10 Mellomverdisatsen Teorem (Mellomverdisatsen) Hvis f(x) kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på (a, b) Da finnes minst en c på (a, b) slik at f(b) f(a) b a = f (c). a c b x y Stigning f (c) La f(x) = x 2 og [a, b] = [0, 1]. Venstre side: f(b) f(a) b a = = 1. Løser d dx x 2 = 2x = 1. Dvs c = 0,5.

11 11 Innlysende??? Korollar (1) Hvis f (x) = 0 for hvert punkt i det åpne området (a, b) så er f(x) konstant på (a, b). f(x) = C.

12 11 Innlysende??? Korollar (1) Hvis f (x) = 0 for hvert punkt i det åpne området (a, b) så er f(x) konstant på (a, b). f(x) = C. Korollar (2) f (x) = g (x) for hvert punkt i det åpne området (a, b) så finnes en konstant C slik at f(x) = g(x) + C for alle x (a, b). Det betyr f g er konstant på (a, b).

13 12 Logaritme-lovene Vi kan bruke korollar 2 av mellomverdisatsen for å vise Logaritme lovene. Bevis av at ln x a = ln x ln a. La f(x) = ln(x/a) med derivert f (x) = 1 x/a (1/a) = 1 x. La g(x) = ln x ln a med derivert g = 1 x. Fra korollaret har vi f(x) = g(x) + c. Bestemmer c ved å sette x = a: c = f(x) g(x) = f(a) g(a) = ln(x/a) (ln a ln a) = ln 1 0 = 0

14 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

15 14 Voksende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f definert på intervallet I kalles 1 voksende hvis f(a) < f(b) for alle par a < b av tall i I. 2 avtagende hvis f(a) > f(b) for alle par a < b av tall i I.

16 15 En konsekvens av mellomverdisatsen Korollar (3) Anta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på (a, b). 1 Hvis f (x) < 0 for hver x i (a, b) så er f avtagende på [a, b]. 2 Hvis f (x) > 0 for hver x i (a, b) så er f voksende på [a, b]. Finn de kritiske punktene til f(x) = x 3 3x 1 og hvor den vokser og avtar.

17 16 Førstederiverte-testen for lokale ekstrema Setning Gitt kritisk punkt c for kontinuerlig funksjon f og la f(x) være deriverbar i et intervall rundt c, muligens med untak av i c. Lest fra venstre til høyre, hvis 1 f endrer verdi fra negativ til positiv, i c så har f(x) lokalt minimum i c 2 f endrer verdi fra positiv til negativ, i c så har f(x) lokalt maksimum i c 3 f ikke endrer verdi fra negativ til positiv, i c så har f(x) hverken lokalt minimum elller lokalt maksimum i c.

18 17 Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning:

19 17 Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x

20 17 Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x

21 17 Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x Kritiske punkter x = 1 og x = 3.

22 17 Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x Kritiske punkter x = 1 og x = 3. (x + 3) (x 1) f (x)

23 17 Finn ekstrempunktene til f(x) = (2x 2 6)e x og bestem monotoni-egenskapene. Løsning: Vi deriverer f (x) = (2x 2 + 4x 6)e x Vi faktoriserer f (x) = 2 (x 1) (x + 3) e x Kritiske punkter x = 1 og x = 3. (x + 3) (x 1) f (x) f(x) øker på (, 3], har maks i x = 3, avtar på [ 3, 1], minimum i x = 1 og øker på [1, )

24 Kapittel 4.4. Konkavitet og kurve-skisser

25 19 Konkavitet Definisjon (Konkavitet) En funksjon er konkav opp på et åpent intervall I hvis f øker på intervallet I. En funksjon er konkav ned på et åpent intervall I hvis f avtar på intervallet I.

26 20 Andre-deriverttesten for konkavitet Setning La f(x) være 2 ganger deriverbar. Dvs f (x) er fefinert for alle x I og f (x) også eksisterer. Da gjelder 1 Hvis f (x) > 0 på I, så er grafen til f(x) konkav opp på I. 2 Hvis f (x) < 0 på I, så er grafen til f(x) konkav ned på I.

27 21 Vendepunkt Definisjon (Vendepunkt) Et vendepunkt er et punkt på grafen til en funksjon der konkaviteten skifter y = 3 x 1 π/2 π/2 y = sin x

28 22 Andrederiverttesten for lokale ekstrema Teorem Anta at f (x) er kontinuerlig på et åpent inervall som inneholder c. Hvis f (c) = 0 og 1 f (c) < 0, så har f lokalt maksimum i x = c. 2 f (c) > 0, så har f lokalt minimum i x = c. 3 f (c) = 0, så feiler testen. Anvend teoremet på y = x 4, y = x 3 og y = x x 4 1 x

29 23 Strategi illustrert ved eksempel Tegn grafen til funksjonen x x Symmetrier, definisjonsmengde?? 2 Finn y og y 3 Finn de kritiske punktene 4 Hvor stiger kurven og hvor avtar kurven? 5 Finn vendepunkter og bestem konkavitet. 6 Finn asymptotene 7 Tegn inn punktene fra 1 til 6 og skisser kurven