Matematikk 1 (TMA4100)
|
|
- Bjørn-Erik Ask
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012
2 Den deriverte som momentan endringsrate
3 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere:
4 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere: Hvis vi tolker størrelsen f (x + h) f (x) h som en gjennomsnittlig endringsrate i intervallet fra x til x + h gir grenseverdien når h 0 oss ett uttrykk for den momentane endringsraten til f i punktet x.
5 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere: Hvis vi tolker størrelsen f (x + h) f (x) h som en gjennomsnittlig endringsrate i intervallet fra x til x + h gir grenseverdien når h 0 oss ett uttrykk for den momentane endringsraten til f i punktet x. Definisjon: Momentan endringsrate Den momentane endringraten til f med hensyn på x i punktet x 0 er den deriverte gitt at grensen eksisterer. f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim, h 0 h
6 Den deriverte som momentan endringsrate
7 Den deriverte som momentan endringsrate Uttrykket "momentan endringsrate" brukes selv om den uavhengige variabelen x ikke representerer tid.
8 Den deriverte som momentan endringsrate Uttrykket "momentan endringsrate" brukes selv om den uavhengige variabelen x ikke representerer tid. Konvensjon at "endringsrate" refererer til den momentane endringsraten med mindre noe annet spesifiseres.
9 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t)
10 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er:
11 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er: Endring i posisjon på tidsintervallet t til t + t: s = f (t + t) f (t).
12 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er: Endring i posisjon på tidsintervallet t til t + t: s = f (t + t) f (t). Gjennomsnittshastigheten på dette tidsintervallet: v av = s f (t+ t) f (t) t = t.
13 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0:
14 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0: Definisjon: (Momentan)hastighet Hastighet (momentanhastighet) er den deriverte av posisjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er hastigheten ved tiden t: v(t) = ds dt = lim f (t + t) f (t) t 0 t
15 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0: Definisjon: (Momentan)hastighet Hastighet (momentanhastighet) er den deriverte av posisjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er hastigheten ved tiden t: Definisjon: Fart v(t) = ds dt = lim f (t + t) f (t) t 0 t Fart er absoluttverdien av hastighet: fart = v(t) = ds dt
16 Bevegelse langs rett linje
17 Bevegelse langs rett linje Definisjon: Akselerasjon Akselerasjon er den deriverte av hastighet med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er akselerasjonen ved tiden t: a(t) = dv dt = d 2 s dt 2.
18 Bevegelse langs rett linje Definisjon: Akselerasjon Akselerasjon er den deriverte av hastighet med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er akselerasjonen ved tiden t: Definisjon: Rykk a(t) = dv dt = d 2 s dt 2. Rykk er den deriverte av akselerasjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er rykket ved tiden t: j(t) = da dt = d 3 s dt 3.
19 Bevegelse langs rett linje
20 Eksempel: Fritt fall Bevegelse langs rett linje
21 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er:
22 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er:
23 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er: v(t) = ds dt = gt, a(t) = dv dt = g, j(t) = da dt = 0.
24 Deriverte innen økonomi
25 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter.
26 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h
27 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim h 0 c(x + h) c(x). h
28 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1.
29 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1.
30 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1. Approksimasjonen fungerer best for store verdier av x.
31 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1. Approksimasjonen fungerer best for store verdier av x. Den totale kostnadsfunksjonen c(x) er ofte et kubisk polynom, αx 3 + βx 2 + γx 1 + δ, der δ er faste kostnader og resten er variable kostnader.
32 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner
33 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner
34 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx
35 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx Den deriverte av cosinus er minus sinus: d (cos x) = sin x dx
36 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx Den deriverte av cosinus er minus sinus: Den deriverte av tangens er: d (cos x) = sin x dx d 1 (tan x) = dx cos 2 x
37 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner
38 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet
39 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige.
40 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien.
41 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien.
42 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien. Eksempel: lim x 0 5 tan(x + π 4 cos x) 2 + cos 2 x = 5 tan(0 + π 4 cos 0) 2 + cos 2 0 = 5 tan( π 4 ) = 5 1 = = 5 tan(0 + π 4 1)
43 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen
44 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))?
45 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon
46 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2 x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x.
47 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x. Da har vi: dy dx = 5 2, dy du = 5, og du dx = 1 2.
48 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x. Da har vi: Vi ser dermed at: i dette tilfellet. dy dx = 5 2, dy du = 5, og du dx = 1 2. dy dx = dy du du dx,
49 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen
50 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x.
51 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og:
52 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: (f g) (x) = f (g(x)) g (x).
53 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: Med notasjonen til Leibnitz: (f g) (x) = f (g(x)) g (x).
54 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: (f g) (x) = f (g(x)) g (x). Med notasjonen til Leibnitz: Hvis y = f (u) og u = g(x), da er: hvor dy/du evalueres i u = g(x). dy dx = dy du du dx,
55 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen
56 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen
57 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx
58 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g:
59 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g: 1. Deriver den ytre funksjonen f (u) m.h.p. u og la den indre funksjonen u = g(x) være uendret.
60 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g: 1. Deriver den ytre funksjonen f (u) m.h.p. u og la den indre funksjonen u = g(x) være uendret. 2. Multipliser dette med den deriverte av den indre funksjonen g(x).
61 Parametriske kurver og ligninger
62 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x).
63 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t).
64 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet.
65 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet. Kan beskrive kurver som ikke er grafen til en funksjon fordi de krysser samme vertikale linje flere ganger.
66 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet. Kan beskrive kurver som ikke er grafen til en funksjon fordi de krysser samme vertikale linje flere ganger. t er gjerne tid og ligningene gir oss dermed posisjonen, (x, y) = (f (t), g(t)), til en partikkel ved tiden t direkte.
67 Parametriske kurver og ligninger
68 Parametriske kurver og ligninger Definisjon: Parametriske ligninger Hvis x og y er gitt som funksjoner x = f (t), y = g(t) over et intervall av t-verdier, kalles settet av punkter (x, y) = (f (t), g(t)) definert ved disse ligningene en parametrisk kurve. Ligningene er parametriske ligninger for kurven.
69 Parametriske kurver og ligninger Definisjon: Parametriske ligninger Hvis x og y er gitt som funksjoner x = f (t), y = g(t) over et intervall av t-verdier, kalles settet av punkter (x, y) = (f (t), g(t)) definert ved disse ligningene en parametrisk kurve. Ligningene er parametriske ligninger for kurven.
70 Parametriske kurver og ligninger
71 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven.
72 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet.
73 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet.
74 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet. Når vi gir ligninger og et parameterintervall for en kurve sier vi at vi har parametrisert kurven.
75 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet. Når vi gir ligninger og et parameterintervall for en kurve sier vi at vi har parametrisert kurven. Ligningene og intervallet utgjør en parametrisering av kurven.
76 Stigningstall for parametriske kurver
77 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t.
78 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t. For et punkt på en deriverbar parametrisert kurve hvor y i tillegg er en deriverbar funksjon av x gir kjerneregelen: dy dt = dy dx dx dt.
79 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t. For et punkt på en deriverbar parametrisert kurve hvor y i tillegg er en deriverbar funksjon av x gir kjerneregelen: Hvis dx dt dy dt = dy dx dx dt. 0 kan vi dele ligningen på dx dt og løse for dy dx.
80 Stigningstall for parametriske kurver
81 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx for parametriske kurver
82 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt.
83 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx Formel: d 2 y dx 2 og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt. for parametriske kurver
84 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt. Formel: d 2 y for parametriske kurver dx 2 Hvis ligningene x = f (t) og y = g(t) definerer y som en to ganger deriverbar funksjon av x vil det i etthvert punkt hvor dx dt 0: hvor y = dy/dx. d 2 y dx 2 = dy /dt dx/dt,
Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerOppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
DetaljerMA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerTMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016
TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerVolum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerFremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
Detaljer. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
DetaljerDerivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerMA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering
MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 8 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8 Derivasjon I agens forelesning skal vi se på følgene: 1 Kjerneregelen 2 Deriverte til trigonometriske
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2012
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,
DetaljerLøsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A
Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon
DetaljerVi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerKap : Derivasjon 1.
Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042
DetaljerFasit, Kap : Derivasjon 2.
Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerStigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
DetaljerAndre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Detaljerarbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
Detaljer11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
Detaljerlny = (lnx) 2 y y = 2lnx x y = 2ylnx x = 2xlnx lnx
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 3.7 95 Vi antar at > 0 og får Avsnitt 3.8 6 a) 2π/3 b) π/4 c) 5π/6 ln = (ln) 2 = 2ln = 2ln = 2ln ln.
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38 Oppgaver til seminaret 22/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerPlan. I dag. Neste uke
Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt
DetaljerMA0003-8. forelesning
Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerNewtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerLøysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016
Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
Detaljerdx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I
DetaljerANDREAS LEOPOLD KNUTSEN
NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 1
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 1 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Mandag 6. august 2018 Om meg Bachelor- og mastergrad i matematiske fag (2014, 2016) Doktorgradsstipendiat i matematikk (2016
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerTrasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerSkoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon
Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
Detaljer